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Theorem colinearalglem1 23164
Description: Lemma for colinearalg 23168. Expand out a multiplication. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
colinearalglem1  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( B  -  A
)  x.  ( F  -  D ) )  =  ( ( E  -  D )  x.  ( C  -  A
) )  <->  ( ( B  x.  F )  -  ( ( A  x.  F )  +  ( B  x.  D
) ) )  =  ( ( C  x.  E )  -  (
( A  x.  E
)  +  ( C  x.  D ) ) ) ) )

Proof of Theorem colinearalglem1
StepHypRef Expression
1 simpl2 992 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  B  e.  CC )
2 simpl1 991 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  A  e.  CC )
31, 2subcld 9731 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( B  -  A )  e.  CC )
4 simpr3 996 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  F  e.  CC )
5 simpr1 994 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  D  e.  CC )
63, 4, 5subdid 9812 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( B  -  A )  x.  ( F  -  D
) )  =  ( ( ( B  -  A )  x.  F
)  -  ( ( B  -  A )  x.  D ) ) )
71, 2, 4subdird 9813 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( B  -  A )  x.  F )  =  ( ( B  x.  F
)  -  ( A  x.  F ) ) )
81, 2, 5subdird 9813 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( B  -  A )  x.  D )  =  ( ( B  x.  D
)  -  ( A  x.  D ) ) )
97, 8oveq12d 6121 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( B  -  A
)  x.  F )  -  ( ( B  -  A )  x.  D ) )  =  ( ( ( B  x.  F )  -  ( A  x.  F
) )  -  (
( B  x.  D
)  -  ( A  x.  D ) ) ) )
10 simp2 989 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
11 simp3 990 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )  ->  F  e.  CC )
12 mulcl 9378 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  CC  /\  F  e.  CC )  ->  ( B  x.  F
)  e.  CC )
1310, 11, 12syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( B  x.  F )  e.  CC )
14 simp1 988 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
15 mulcl 9378 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  F  e.  CC )  ->  ( A  x.  F
)  e.  CC )
1614, 11, 15syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( A  x.  F )  e.  CC )
1713, 16subcld 9731 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( B  x.  F )  -  ( A  x.  F ) )  e.  CC )
18 simp1 988 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )  ->  D  e.  CC )
19 mulcl 9378 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  ( B  x.  D
)  e.  CC )
2010, 18, 19syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( B  x.  D )  e.  CC )
21 mulcl 9378 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  ( A  x.  D
)  e.  CC )
2214, 18, 21syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( A  x.  D )  e.  CC )
2317, 20, 22subsub3d 9761 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( B  x.  F
)  -  ( A  x.  F ) )  -  ( ( B  x.  D )  -  ( A  x.  D
) ) )  =  ( ( ( ( B  x.  F )  -  ( A  x.  F ) )  +  ( A  x.  D
) )  -  ( B  x.  D )
) )
2417, 22, 20addsubd 9752 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( ( B  x.  F )  -  ( A  x.  F )
)  +  ( A  x.  D ) )  -  ( B  x.  D ) )  =  ( ( ( ( B  x.  F )  -  ( A  x.  F ) )  -  ( B  x.  D
) )  +  ( A  x.  D ) ) )
259, 23, 243eqtrrd 2480 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( ( B  x.  F )  -  ( A  x.  F )
)  -  ( B  x.  D ) )  +  ( A  x.  D ) )  =  ( ( ( B  -  A )  x.  F )  -  (
( B  -  A
)  x.  D ) ) )
2613, 16, 20subsub4d 9762 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( B  x.  F
)  -  ( A  x.  F ) )  -  ( B  x.  D ) )  =  ( ( B  x.  F )  -  (
( A  x.  F
)  +  ( B  x.  D ) ) ) )
2726oveq1d 6118 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( ( B  x.  F )  -  ( A  x.  F )
)  -  ( B  x.  D ) )  +  ( A  x.  D ) )  =  ( ( ( B  x.  F )  -  ( ( A  x.  F )  +  ( B  x.  D ) ) )  +  ( A  x.  D ) ) )
286, 25, 273eqtr2d 2481 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( B  -  A )  x.  ( F  -  D
) )  =  ( ( ( B  x.  F )  -  (
( A  x.  F
)  +  ( B  x.  D ) ) )  +  ( A  x.  D ) ) )
29 simpr2 995 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  E  e.  CC )
3029, 5subcld 9731 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( E  -  D )  e.  CC )
31 simpl3 993 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  C  e.  CC )
3231, 2subcld 9731 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( C  -  A )  e.  CC )
3330, 32mulcomd 9419 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( E  -  D )  x.  ( C  -  A
) )  =  ( ( C  -  A
)  x.  ( E  -  D ) ) )
3432, 29, 5subdid 9812 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( C  -  A )  x.  ( E  -  D
) )  =  ( ( ( C  -  A )  x.  E
)  -  ( ( C  -  A )  x.  D ) ) )
3531, 2, 29subdird 9813 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( C  -  A )  x.  E )  =  ( ( C  x.  E
)  -  ( A  x.  E ) ) )
3631, 2, 5subdird 9813 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( C  -  A )  x.  D )  =  ( ( C  x.  D
)  -  ( A  x.  D ) ) )
3735, 36oveq12d 6121 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( C  -  A
)  x.  E )  -  ( ( C  -  A )  x.  D ) )  =  ( ( ( C  x.  E )  -  ( A  x.  E
) )  -  (
( C  x.  D
)  -  ( A  x.  D ) ) ) )
38 simp3 990 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  C  e.  CC )
39 simp2 989 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )  ->  E  e.  CC )
40 mulcl 9378 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  CC  /\  E  e.  CC )  ->  ( C  x.  E
)  e.  CC )
4138, 39, 40syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( C  x.  E )  e.  CC )
42 mulcl 9378 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  E  e.  CC )  ->  ( A  x.  E
)  e.  CC )
4314, 39, 42syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( A  x.  E )  e.  CC )
4441, 43subcld 9731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( C  x.  E )  -  ( A  x.  E ) )  e.  CC )
45 mulcl 9378 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  ( C  x.  D
)  e.  CC )
4638, 18, 45syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( C  x.  D )  e.  CC )
4744, 46, 22subsub3d 9761 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( C  x.  E
)  -  ( A  x.  E ) )  -  ( ( C  x.  D )  -  ( A  x.  D
) ) )  =  ( ( ( ( C  x.  E )  -  ( A  x.  E ) )  +  ( A  x.  D
) )  -  ( C  x.  D )
) )
4844, 22, 46addsubd 9752 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( ( C  x.  E )  -  ( A  x.  E )
)  +  ( A  x.  D ) )  -  ( C  x.  D ) )  =  ( ( ( ( C  x.  E )  -  ( A  x.  E ) )  -  ( C  x.  D
) )  +  ( A  x.  D ) ) )
4937, 47, 483eqtrrd 2480 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( ( C  x.  E )  -  ( A  x.  E )
)  -  ( C  x.  D ) )  +  ( A  x.  D ) )  =  ( ( ( C  -  A )  x.  E )  -  (
( C  -  A
)  x.  D ) ) )
5041, 43, 46subsub4d 9762 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( C  x.  E
)  -  ( A  x.  E ) )  -  ( C  x.  D ) )  =  ( ( C  x.  E )  -  (
( A  x.  E
)  +  ( C  x.  D ) ) ) )
5150oveq1d 6118 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( ( C  x.  E )  -  ( A  x.  E )
)  -  ( C  x.  D ) )  +  ( A  x.  D ) )  =  ( ( ( C  x.  E )  -  ( ( A  x.  E )  +  ( C  x.  D ) ) )  +  ( A  x.  D ) ) )
5249, 51eqtr3d 2477 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( C  -  A
)  x.  E )  -  ( ( C  -  A )  x.  D ) )  =  ( ( ( C  x.  E )  -  ( ( A  x.  E )  +  ( C  x.  D ) ) )  +  ( A  x.  D ) ) )
5333, 34, 523eqtrd 2479 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( E  -  D )  x.  ( C  -  A
) )  =  ( ( ( C  x.  E )  -  (
( A  x.  E
)  +  ( C  x.  D ) ) )  +  ( A  x.  D ) ) )
5428, 53eqeq12d 2457 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( B  -  A
)  x.  ( F  -  D ) )  =  ( ( E  -  D )  x.  ( C  -  A
) )  <->  ( (
( B  x.  F
)  -  ( ( A  x.  F )  +  ( B  x.  D ) ) )  +  ( A  x.  D ) )  =  ( ( ( C  x.  E )  -  ( ( A  x.  E )  +  ( C  x.  D ) ) )  +  ( A  x.  D ) ) ) )
5516, 20addcld 9417 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( A  x.  F )  +  ( B  x.  D ) )  e.  CC )
5613, 55subcld 9731 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( B  x.  F )  -  ( ( A  x.  F )  +  ( B  x.  D
) ) )  e.  CC )
5743, 46addcld 9417 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( A  x.  E )  +  ( C  x.  D ) )  e.  CC )
5841, 57subcld 9731 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( C  x.  E )  -  ( ( A  x.  E )  +  ( C  x.  D
) ) )  e.  CC )
5956, 58, 22addcan2d 9585 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( ( B  x.  F )  -  (
( A  x.  F
)  +  ( B  x.  D ) ) )  +  ( A  x.  D ) )  =  ( ( ( C  x.  E )  -  ( ( A  x.  E )  +  ( C  x.  D
) ) )  +  ( A  x.  D
) )  <->  ( ( B  x.  F )  -  ( ( A  x.  F )  +  ( B  x.  D
) ) )  =  ( ( C  x.  E )  -  (
( A  x.  E
)  +  ( C  x.  D ) ) ) ) )
6054, 59bitrd 253 1  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( B  -  A
)  x.  ( F  -  D ) )  =  ( ( E  -  D )  x.  ( C  -  A
) )  <->  ( ( B  x.  F )  -  ( ( A  x.  F )  +  ( B  x.  D
) ) )  =  ( ( C  x.  E )  -  (
( A  x.  E
)  +  ( C  x.  D ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756  (class class class)co 6103   CCcc 9292    + caddc 9297    x. cmul 9299    - cmin 9607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-op 3896  df-uni 4104  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-ltxr 9435  df-sub 9609
This theorem is referenced by:  colinearalglem2  23165
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