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Theorem colinearalglem1 24000
Description: Lemma for colinearalg 24004. Expand out a multiplication. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
colinearalglem1  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( B  -  A
)  x.  ( F  -  D ) )  =  ( ( E  -  D )  x.  ( C  -  A
) )  <->  ( ( B  x.  F )  -  ( ( A  x.  F )  +  ( B  x.  D
) ) )  =  ( ( C  x.  E )  -  (
( A  x.  E
)  +  ( C  x.  D ) ) ) ) )

Proof of Theorem colinearalglem1
StepHypRef Expression
1 simpl2 1000 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  B  e.  CC )
2 simpl1 999 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  A  e.  CC )
31, 2subcld 9940 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( B  -  A )  e.  CC )
4 simpr3 1004 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  F  e.  CC )
5 simpr1 1002 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  D  e.  CC )
63, 4, 5subdid 10022 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( B  -  A )  x.  ( F  -  D
) )  =  ( ( ( B  -  A )  x.  F
)  -  ( ( B  -  A )  x.  D ) ) )
71, 2, 4subdird 10023 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( B  -  A )  x.  F )  =  ( ( B  x.  F
)  -  ( A  x.  F ) ) )
81, 2, 5subdird 10023 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( B  -  A )  x.  D )  =  ( ( B  x.  D
)  -  ( A  x.  D ) ) )
97, 8oveq12d 6312 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( B  -  A
)  x.  F )  -  ( ( B  -  A )  x.  D ) )  =  ( ( ( B  x.  F )  -  ( A  x.  F
) )  -  (
( B  x.  D
)  -  ( A  x.  D ) ) ) )
10 simp2 997 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
11 simp3 998 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )  ->  F  e.  CC )
12 mulcl 9586 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  CC  /\  F  e.  CC )  ->  ( B  x.  F
)  e.  CC )
1310, 11, 12syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( B  x.  F )  e.  CC )
14 simp1 996 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
15 mulcl 9586 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  F  e.  CC )  ->  ( A  x.  F
)  e.  CC )
1614, 11, 15syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( A  x.  F )  e.  CC )
1713, 16subcld 9940 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( B  x.  F )  -  ( A  x.  F ) )  e.  CC )
18 simp1 996 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )  ->  D  e.  CC )
19 mulcl 9586 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  ( B  x.  D
)  e.  CC )
2010, 18, 19syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( B  x.  D )  e.  CC )
21 mulcl 9586 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  ( A  x.  D
)  e.  CC )
2214, 18, 21syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( A  x.  D )  e.  CC )
2317, 20, 22subsub3d 9970 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( B  x.  F
)  -  ( A  x.  F ) )  -  ( ( B  x.  D )  -  ( A  x.  D
) ) )  =  ( ( ( ( B  x.  F )  -  ( A  x.  F ) )  +  ( A  x.  D
) )  -  ( B  x.  D )
) )
2417, 22, 20addsubd 9961 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( ( B  x.  F )  -  ( A  x.  F )
)  +  ( A  x.  D ) )  -  ( B  x.  D ) )  =  ( ( ( ( B  x.  F )  -  ( A  x.  F ) )  -  ( B  x.  D
) )  +  ( A  x.  D ) ) )
259, 23, 243eqtrrd 2513 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( ( B  x.  F )  -  ( A  x.  F )
)  -  ( B  x.  D ) )  +  ( A  x.  D ) )  =  ( ( ( B  -  A )  x.  F )  -  (
( B  -  A
)  x.  D ) ) )
2613, 16, 20subsub4d 9971 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( B  x.  F
)  -  ( A  x.  F ) )  -  ( B  x.  D ) )  =  ( ( B  x.  F )  -  (
( A  x.  F
)  +  ( B  x.  D ) ) ) )
2726oveq1d 6309 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( ( B  x.  F )  -  ( A  x.  F )
)  -  ( B  x.  D ) )  +  ( A  x.  D ) )  =  ( ( ( B  x.  F )  -  ( ( A  x.  F )  +  ( B  x.  D ) ) )  +  ( A  x.  D ) ) )
286, 25, 273eqtr2d 2514 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( B  -  A )  x.  ( F  -  D
) )  =  ( ( ( B  x.  F )  -  (
( A  x.  F
)  +  ( B  x.  D ) ) )  +  ( A  x.  D ) ) )
29 simpr2 1003 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  E  e.  CC )
3029, 5subcld 9940 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( E  -  D )  e.  CC )
31 simpl3 1001 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  C  e.  CC )
3231, 2subcld 9940 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( C  -  A )  e.  CC )
3330, 32mulcomd 9627 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( E  -  D )  x.  ( C  -  A
) )  =  ( ( C  -  A
)  x.  ( E  -  D ) ) )
3432, 29, 5subdid 10022 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( C  -  A )  x.  ( E  -  D
) )  =  ( ( ( C  -  A )  x.  E
)  -  ( ( C  -  A )  x.  D ) ) )
3531, 2, 29subdird 10023 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( C  -  A )  x.  E )  =  ( ( C  x.  E
)  -  ( A  x.  E ) ) )
3631, 2, 5subdird 10023 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( C  -  A )  x.  D )  =  ( ( C  x.  D
)  -  ( A  x.  D ) ) )
3735, 36oveq12d 6312 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( C  -  A
)  x.  E )  -  ( ( C  -  A )  x.  D ) )  =  ( ( ( C  x.  E )  -  ( A  x.  E
) )  -  (
( C  x.  D
)  -  ( A  x.  D ) ) ) )
38 simp3 998 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  C  e.  CC )
39 simp2 997 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )  ->  E  e.  CC )
40 mulcl 9586 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  CC  /\  E  e.  CC )  ->  ( C  x.  E
)  e.  CC )
4138, 39, 40syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( C  x.  E )  e.  CC )
42 mulcl 9586 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  E  e.  CC )  ->  ( A  x.  E
)  e.  CC )
4314, 39, 42syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( A  x.  E )  e.  CC )
4441, 43subcld 9940 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( C  x.  E )  -  ( A  x.  E ) )  e.  CC )
45 mulcl 9586 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  ( C  x.  D
)  e.  CC )
4638, 18, 45syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( C  x.  D )  e.  CC )
4744, 46, 22subsub3d 9970 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( C  x.  E
)  -  ( A  x.  E ) )  -  ( ( C  x.  D )  -  ( A  x.  D
) ) )  =  ( ( ( ( C  x.  E )  -  ( A  x.  E ) )  +  ( A  x.  D
) )  -  ( C  x.  D )
) )
4844, 22, 46addsubd 9961 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( ( C  x.  E )  -  ( A  x.  E )
)  +  ( A  x.  D ) )  -  ( C  x.  D ) )  =  ( ( ( ( C  x.  E )  -  ( A  x.  E ) )  -  ( C  x.  D
) )  +  ( A  x.  D ) ) )
4937, 47, 483eqtrrd 2513 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( ( C  x.  E )  -  ( A  x.  E )
)  -  ( C  x.  D ) )  +  ( A  x.  D ) )  =  ( ( ( C  -  A )  x.  E )  -  (
( C  -  A
)  x.  D ) ) )
5041, 43, 46subsub4d 9971 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( C  x.  E
)  -  ( A  x.  E ) )  -  ( C  x.  D ) )  =  ( ( C  x.  E )  -  (
( A  x.  E
)  +  ( C  x.  D ) ) ) )
5150oveq1d 6309 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( ( C  x.  E )  -  ( A  x.  E )
)  -  ( C  x.  D ) )  +  ( A  x.  D ) )  =  ( ( ( C  x.  E )  -  ( ( A  x.  E )  +  ( C  x.  D ) ) )  +  ( A  x.  D ) ) )
5249, 51eqtr3d 2510 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( C  -  A
)  x.  E )  -  ( ( C  -  A )  x.  D ) )  =  ( ( ( C  x.  E )  -  ( ( A  x.  E )  +  ( C  x.  D ) ) )  +  ( A  x.  D ) ) )
5333, 34, 523eqtrd 2512 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( E  -  D )  x.  ( C  -  A
) )  =  ( ( ( C  x.  E )  -  (
( A  x.  E
)  +  ( C  x.  D ) ) )  +  ( A  x.  D ) ) )
5428, 53eqeq12d 2489 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( B  -  A
)  x.  ( F  -  D ) )  =  ( ( E  -  D )  x.  ( C  -  A
) )  <->  ( (
( B  x.  F
)  -  ( ( A  x.  F )  +  ( B  x.  D ) ) )  +  ( A  x.  D ) )  =  ( ( ( C  x.  E )  -  ( ( A  x.  E )  +  ( C  x.  D ) ) )  +  ( A  x.  D ) ) ) )
5516, 20addcld 9625 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( A  x.  F )  +  ( B  x.  D ) )  e.  CC )
5613, 55subcld 9940 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( B  x.  F )  -  ( ( A  x.  F )  +  ( B  x.  D
) ) )  e.  CC )
5743, 46addcld 9625 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( A  x.  E )  +  ( C  x.  D ) )  e.  CC )
5841, 57subcld 9940 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( C  x.  E )  -  ( ( A  x.  E )  +  ( C  x.  D
) ) )  e.  CC )
5956, 58, 22addcan2d 9793 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( ( B  x.  F )  -  (
( A  x.  F
)  +  ( B  x.  D ) ) )  +  ( A  x.  D ) )  =  ( ( ( C  x.  E )  -  ( ( A  x.  E )  +  ( C  x.  D
) ) )  +  ( A  x.  D
) )  <->  ( ( B  x.  F )  -  ( ( A  x.  F )  +  ( B  x.  D
) ) )  =  ( ( C  x.  E )  -  (
( A  x.  E
)  +  ( C  x.  D ) ) ) ) )
6054, 59bitrd 253 1  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( B  -  A
)  x.  ( F  -  D ) )  =  ( ( E  -  D )  x.  ( C  -  A
) )  <->  ( ( B  x.  F )  -  ( ( A  x.  F )  +  ( B  x.  D
) ) )  =  ( ( C  x.  E )  -  (
( A  x.  E
)  +  ( C  x.  D ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767  (class class class)co 6294   CCcc 9500    + caddc 9505    x. cmul 9507    - cmin 9815
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4251  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-er 7321  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-ltxr 9643  df-sub 9817
This theorem is referenced by:  colinearalglem2  24001
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