Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  coiun1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem coiun1 36289
Description: Composition with an indexed union. Proof analgous to that of coiun 5364. (Contributed by RP, 20-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
coiun1  |-  ( U_ x  e.  C  A  o.  B )  =  U_ x  e.  C  ( A  o.  B )
Distinct variable group:    x, B
Allowed substitution hints:    A( x)    C( x)

Proof of Theorem coiun1
Dummy variables  y  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relco 5352 . 2  |-  Rel  ( U_ x  e.  C  A  o.  B )
2 reliun 4973 . . 3  |-  ( Rel  U_ x  e.  C  ( A  o.  B
)  <->  A. x  e.  C  Rel  ( A  o.  B
) )
3 relco 5352 . . . 4  |-  Rel  ( A  o.  B )
43a1i 11 . . 3  |-  ( x  e.  C  ->  Rel  ( A  o.  B
) )
52, 4mprgbir 2764 . 2  |-  Rel  U_ x  e.  C  ( A  o.  B )
6 eliun 4297 . . . . . . . 8  |-  ( <.
w ,  z >.  e.  U_ x  e.  C  A 
<->  E. x  e.  C  <. w ,  z >.  e.  A )
7 df-br 4417 . . . . . . . 8  |-  ( w
U_ x  e.  C  A z  <->  <. w ,  z >.  e.  U_ x  e.  C  A )
8 df-br 4417 . . . . . . . . 9  |-  ( w A z  <->  <. w ,  z >.  e.  A
)
98rexbii 2901 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  C  w A z  <->  E. x  e.  C  <. w ,  z >.  e.  A
)
106, 7, 93bitr4i 285 . . . . . . 7  |-  ( w
U_ x  e.  C  A z  <->  E. x  e.  C  w A
z )
1110anbi2i 705 . . . . . 6  |-  ( ( y B w  /\  w U_ x  e.  C  A z )  <->  ( y B w  /\  E. x  e.  C  w A
z ) )
12 r19.42v 2957 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  C  ( y B w  /\  w A z )  <->  ( y B w  /\  E. x  e.  C  w A
z ) )
1311, 12bitr4i 260 . . . . 5  |-  ( ( y B w  /\  w U_ x  e.  C  A z )  <->  E. x  e.  C  ( y B w  /\  w A z ) )
1413exbii 1729 . . . 4  |-  ( E. w ( y B w  /\  w U_ x  e.  C  A
z )  <->  E. w E. x  e.  C  ( y B w  /\  w A z ) )
15 rexcom4 3079 . . . 4  |-  ( E. x  e.  C  E. w ( y B w  /\  w A z )  <->  E. w E. x  e.  C  ( y B w  /\  w A z ) )
1614, 15bitr4i 260 . . 3  |-  ( E. w ( y B w  /\  w U_ x  e.  C  A
z )  <->  E. x  e.  C  E. w
( y B w  /\  w A z ) )
17 vex 3060 . . . 4  |-  y  e. 
_V
18 vex 3060 . . . 4  |-  z  e. 
_V
1917, 18opelco 5025 . . 3  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  ( U_ x  e.  C  A  o.  B
)  <->  E. w ( y B w  /\  w U_ x  e.  C  A z ) )
20 eliun 4297 . . . 4  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  U_ x  e.  C  ( A  o.  B
)  <->  E. x  e.  C  <. y ,  z >.  e.  ( A  o.  B
) )
2117, 18opelco 5025 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  ( A  o.  B
)  <->  E. w ( y B w  /\  w A z ) )
2221rexbii 2901 . . . 4  |-  ( E. x  e.  C  <. y ,  z >.  e.  ( A  o.  B )  <->  E. x  e.  C  E. w ( y B w  /\  w A z ) )
2320, 22bitri 257 . . 3  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  U_ x  e.  C  ( A  o.  B
)  <->  E. x  e.  C  E. w ( y B w  /\  w A z ) )
2416, 19, 233bitr4i 285 . 2  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  ( U_ x  e.  C  A  o.  B
)  <->  <. y ,  z
>.  e.  U_ x  e.  C  ( A  o.  B ) )
251, 5, 24eqrelriiv 4948 1  |-  ( U_ x  e.  C  A  o.  B )  =  U_ x  e.  C  ( A  o.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 375    = wceq 1455   E.wex 1674    e. wcel 1898   E.wrex 2750   <.cop 3986   U_ciun 4292   class class class wbr 4416    o. ccom 4857   Rel wrel 4858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pr 4653
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-rab 2758  df-v 3059  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-xp 4859  df-rel 4860  df-co 4862
This theorem is referenced by:  trclfvcom  36360  trclfvdecomr  36365  cotrclrcl  36379
  Copyright terms: Public domain W3C validator