Theorem coiun1 36289

Description: Composition with an indexed union. Proof analgous to that of coiun 5364. (Contributed by RP, 20-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
coiun1	|- ( U_ x e. C A o. B ) = U_ x e. C ( A o. B )

Distinct variable group:   x, B

Allowed substitution hints:   A( x)   C( x)

Proof of Theorem coiun1

Dummy variables y w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relco 5352	. 2 |- Rel ( U_ x e. C A o. B )
2		reliun 4973	. . 3 |- ( Rel U_ x e. C ( A o. B ) <-> A. x e. C Rel ( A o. B ) )
3		relco 5352	. . . 4 |- Rel ( A o. B )
4	3	a1i 11	. . 3 |- ( x e. C -> Rel ( A o. B ) )
5	2, 4	mprgbir 2764	. 2 |- Rel U_ x e. C ( A o. B )
6		eliun 4297	. . . . . . . 8 |- ( <. w , z >. e. U_ x e. C A <-> E. x e. C <. w , z >. e. A )
7		df-br 4417	. . . . . . . 8 |- ( w U_ x e. C A z <-> <. w , z >. e. U_ x e. C A )
8		df-br 4417	. . . . . . . . 9 |- ( w A z <-> <. w , z >. e. A )
9	8	rexbii 2901	. . . . . . . 8 |- ( E. x e. C w A z <-> E. x e. C <. w , z >. e. A )
10	6, 7, 9	3bitr4i 285	. . . . . . 7 |- ( w U_ x e. C A z <-> E. x e. C w A z )
11	10	anbi2i 705	. . . . . 6 |- ( ( y B w /\ w U_ x e. C A z ) <-> ( y B w /\ E. x e. C w A z ) )
12		r19.42v 2957	. . . . . 6 |- ( E. x e. C ( y B w /\ w A z ) <-> ( y B w /\ E. x e. C w A z ) )
13	11, 12	bitr4i 260	. . . . 5 |- ( ( y B w /\ w U_ x e. C A z ) <-> E. x e. C ( y B w /\ w A z ) )
14	13	exbii 1729	. . . 4 |- ( E. w ( y B w /\ w U_ x e. C A z ) <-> E. w E. x e. C ( y B w /\ w A z ) )
15		rexcom4 3079	. . . 4 |- ( E. x e. C E. w ( y B w /\ w A z ) <-> E. w E. x e. C ( y B w /\ w A z ) )
16	14, 15	bitr4i 260	. . 3 |- ( E. w ( y B w /\ w U_ x e. C A z ) <-> E. x e. C E. w ( y B w /\ w A z ) )
17		vex 3060	. . . 4 |- y e. _V
18		vex 3060	. . . 4 |- z e. _V
19	17, 18	opelco 5025	. . 3 |- ( <. y , z >. e. ( U_ x e. C A o. B ) <-> E. w ( y B w /\ w U_ x e. C A z ) )
20		eliun 4297	. . . 4 |- ( <. y , z >. e. U_ x e. C ( A o. B ) <-> E. x e. C <. y , z >. e. ( A o. B ) )
21	17, 18	opelco 5025	. . . . 5 |- ( <. y , z >. e. ( A o. B ) <-> E. w ( y B w /\ w A z ) )
22	21	rexbii 2901	. . . 4 |- ( E. x e. C <. y , z >. e. ( A o. B ) <-> E. x e. C E. w ( y B w /\ w A z ) )
23	20, 22	bitri 257	. . 3 |- ( <. y , z >. e. U_ x e. C ( A o. B ) <-> E. x e. C E. w ( y B w /\ w A z ) )
24	16, 19, 23	3bitr4i 285	. 2 |- ( <. y , z >. e. ( U_ x e. C A o. B ) <-> <. y , z >. e. U_ x e. C ( A o. B ) )
25	1, 5, 24	eqrelriiv 4948	1 |- ( U_ x e. C A o. B ) = U_ x e. C ( A o. B )

Syntax hints:   /\ wa 375   = wceq 1455   E.wex 1674   e. wcel 1898   E.wrex 2750   <.cop 3986   U_ciun 4292   class class class wbr 4416   o. ccom 4857   Rel wrel 4858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pr 4653

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-rab 2758  df-v 3059  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-xp 4859  df-rel 4860  df-co 4862

This theorem is referenced by:  trclfvcom  36360  trclfvdecomr  36365  cotrclrcl  36379