Theorem coiun 4407

Description: Composition with an indexed union.

Assertion

Ref	Expression
coiun	|- (A o. U_x e. C B) = U_x e. C (A o. B)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem coiun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relco 4392	. 2 |- Rel (A o. U_x e. C B)
2		reliun 4101	. . 3 |- (Rel U_x e. C (A o. B) <-> A.x e. C Rel (A o. B))
3		relco 4392	. . . 4 |- Rel (A o. B)
4	3	a1i 8	. . 3 |- (x e. C -> Rel (A o. B))
5	2, 4	mprgbir 2163	. 2 |- Rel U_x e. C (A o. B)
6		eliun 3259	. . . . . . . 8 |- (<.y, w>. e. U_x e. C B <-> E.x e. C <.y, w>. e. B)
7		df-br 3339	. . . . . . . 8 |- (yU_x e. C Bw <-> <.y, w>. e. U_x e. C B)
8		df-br 3339	. . . . . . . . 9 |- (yBw <-> <.y, w>. e. B)
9	8	rexbii 2128	. . . . . . . 8 |- (E.x e. C yBw <-> E.x e. C <.y, w>. e. B)
10	6, 7, 9	3bitr4i 200	. . . . . . 7 |- (yU_x e. C Bw <-> E.x e. C yBw)
11	10	anbi1i 539	. . . . . 6 |- ((yU_x e. C Bw /\ wAz) <-> (E.x e. C yBw /\ wAz))
12		r19.41v 2236	. . . . . 6 |- (E.x e. C (yBw /\ wAz) <-> (E.x e. C yBw /\ wAz))
13	11, 12	bitr4i 193	. . . . 5 |- ((yU_x e. C Bw /\ wAz) <-> E.x e. C (yBw /\ wAz))
14	13	exbii 1398	. . . 4 |- (E.w(yU_x e. C Bw /\ wAz) <-> E.wE.x e. C (yBw /\ wAz))
15		rexcom4 2312	. . . 4 |- (E.x e. C E.w(yBw /\ wAz) <-> E.wE.x e. C (yBw /\ wAz))
16	14, 15	bitr4i 193	. . 3 |- (E.w(yU_x e. C Bw /\ wAz) <-> E.x e. C E.w(yBw /\ wAz))
17		visset 2295	. . . 4 |- y e. _V
18		visset 2295	. . . 4 |- z e. _V
19	17, 18	opelco 4130	. . 3 |- (<.y, z>. e. (A o. U_x e. C B) <-> E.w(yU_x e. C Bw /\ wAz))
20		eliun 3259	. . . 4 |- (<.y, z>. e. U_x e. C (A o. B) <-> E.x e. C <.y, z>. e. (A o. B))
21	17, 18	opelco 4130	. . . . 5 |- (<.y, z>. e. (A o. B) <-> E.w(yBw /\ wAz))
22	21	rexbii 2128	. . . 4 |- (E.x e. C <.y, z>. e. (A o. B) <-> E.x e. C E.w(yBw /\ wAz))
23	20, 22	bitri 190	. . 3 |- (<.y, z>. e. U_x e. C (A o. B) <-> E.x e. C E.w(yBw /\ wAz))
24	16, 19, 23	3bitr4i 200	. 2 |- (<.y, z>. e. (A o. U_x e. C B) <-> <.y, z>. e. U_x e. C (A o. B))
25	1, 5, 24	eqrelriv 4080	1 |- (A o. U_x e. C B) = U_x e. C (A o. B)

Syntax hints:   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  E.wrex 2106  <.cop 3046  U_ciun 3255   class class class wbr 3338   o. ccom 3990  Rel wrel 3991

This theorem is referenced by:  fparlem3 5083  fparlem4 5084

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-rel 4001  df-co 4003

Copyright terms: Public domain