Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  coinfliprv Structured version   Unicode version

Theorem coinfliprv 28399
Description: The  X we defined for coin-flip is a random variable. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
coinflip.h  |-  H  e. 
_V
coinflip.t  |-  T  e. 
_V
coinflip.th  |-  H  =/= 
T
coinflip.2  |-  P  =  ( ( #  |`  ~P { H ,  T }
)𝑓/𝑐  / 
2 )
coinflip.3  |-  X  =  { <. H ,  1
>. ,  <. T , 
0 >. }
Assertion
Ref Expression
coinfliprv  |-  X  e.  (rRndVar `  P )

Proof of Theorem coinfliprv
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coinflip.th . . . . . 6  |-  H  =/= 
T
2 coinflip.h . . . . . . 7  |-  H  e. 
_V
3 coinflip.t . . . . . . 7  |-  T  e. 
_V
4 1ex 9594 . . . . . . 7  |-  1  e.  _V
5 c0ex 9593 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
62, 3, 4, 5fpr 6064 . . . . . 6  |-  ( H  =/=  T  ->  { <. H ,  1 >. ,  <. T ,  0 >. } : { H ,  T } --> { 1 ,  0 } )
71, 6ax-mp 5 . . . . 5  |-  { <. H ,  1 >. ,  <. T ,  0 >. } : { H ,  T } --> { 1 ,  0 }
8 coinflip.3 . . . . . 6  |-  X  =  { <. H ,  1
>. ,  <. T , 
0 >. }
98feq1i 5713 . . . . 5  |-  ( X : { H ,  T } --> { 1 ,  0 }  <->  { <. H , 
1 >. ,  <. T , 
0 >. } : { H ,  T } --> { 1 ,  0 } )
107, 9mpbir 209 . . . 4  |-  X : { H ,  T } --> { 1 ,  0 }
11 coinflip.2 . . . . . 6  |-  P  =  ( ( #  |`  ~P { H ,  T }
)𝑓/𝑐  / 
2 )
122, 3, 1, 11, 8coinflipuniv 28398 . . . . 5  |-  U. dom  P  =  { H ,  T }
1312feq2i 5714 . . . 4  |-  ( X : U. dom  P --> { 1 ,  0 }  <->  X : { H ,  T } --> { 1 ,  0 } )
1410, 13mpbir 209 . . 3  |-  X : U. dom  P --> { 1 ,  0 }
15 1re 9598 . . . . 5  |-  1  e.  RR
16 0re 9599 . . . . 5  |-  0  e.  RR
1715, 16pm3.2i 455 . . . 4  |-  ( 1  e.  RR  /\  0  e.  RR )
184, 5prss 4169 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  0  e.  RR )  <->  { 1 ,  0 } 
C_  RR )
1917, 18mpbi 208 . . 3  |-  { 1 ,  0 }  C_  RR
20 fss 5729 . . 3  |-  ( ( X : U. dom  P --> { 1 ,  0 }  /\  { 1 ,  0 }  C_  RR )  ->  X : U. dom  P --> RR )
2114, 19, 20mp2an 672 . 2  |-  X : U. dom  P --> RR
22 imassrn 5338 . . . . 5  |-  ( `' X " y ) 
C_  ran  `' X
23 dfdm4 5185 . . . . . 6  |-  dom  X  =  ran  `' X
2410fdmi 5726 . . . . . 6  |-  dom  X  =  { H ,  T }
2523, 24eqtr3i 2474 . . . . 5  |-  ran  `' X  =  { H ,  T }
2622, 25sseqtri 3521 . . . 4  |-  ( `' X " y ) 
C_  { H ,  T }
272, 3, 1, 11, 8coinflipspace 28397 . . . . . . 7  |-  dom  P  =  ~P { H ,  T }
2827eleq2i 2521 . . . . . 6  |-  ( ( `' X " y )  e.  dom  P  <->  ( `' X " y )  e. 
~P { H ,  T } )
29 prex 4679 . . . . . . . . 9  |-  { <. H ,  1 >. ,  <. T ,  0 >. }  e.  _V
308, 29eqeltri 2527 . . . . . . . 8  |-  X  e. 
_V
31 cnvexg 6731 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  _V  ->  `' X  e.  _V )
32 imaexg 6722 . . . . . . . 8  |-  ( `' X  e.  _V  ->  ( `' X " y )  e.  _V )
3330, 31, 32mp2b 10 . . . . . . 7  |-  ( `' X " y )  e.  _V
3433elpw 4003 . . . . . 6  |-  ( ( `' X " y )  e.  ~P { H ,  T }  <->  ( `' X " y )  C_  { H ,  T }
)
3528, 34bitr2i 250 . . . . 5  |-  ( ( `' X " y ) 
C_  { H ,  T }  <->  ( `' X " y )  e.  dom  P )
3635biimpi 194 . . . 4  |-  ( ( `' X " y ) 
C_  { H ,  T }  ->  ( `' X " y )  e.  dom  P )
3726, 36mp1i 12 . . 3  |-  ( y  e. 𝔅  ->  ( `' X "
y )  e.  dom  P )
3837rgen 2803 . 2  |-  A. y  e. 𝔅  ( `' X " y )  e.  dom  P
392, 3, 1, 11, 8coinflipprob 28396 . . . . 5  |-  P  e. Prob
4039a1i 11 . . . 4  |-  ( H  e.  _V  ->  P  e. Prob )
4140isrrvv 28360 . . 3  |-  ( H  e.  _V  ->  ( X  e.  (rRndVar `  P
)  <->  ( X : U. dom  P --> RR  /\  A. y  e. 𝔅  ( `' X "
y )  e.  dom  P ) ) )
422, 41ax-mp 5 . 2  |-  ( X  e.  (rRndVar `  P
)  <->  ( X : U. dom  P --> RR  /\  A. y  e. 𝔅  ( `' X "
y )  e.  dom  P ) )
4321, 38, 42mpbir2an 920 1  |-  X  e.  (rRndVar `  P )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793   _Vcvv 3095    C_ wss 3461   ~Pcpw 3997   {cpr 4016   <.cop 4020   U.cuni 4234   `'ccnv 4988   dom cdm 4989   ran crn 4990    |` cres 4991   "cima 4992   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496    / cdiv 10213   2c2 10592   #chash 12387  ∘𝑓/𝑐cofc 28072  𝔅cbrsiga 28130  Probcprb 28324  rRndVarcrrv 28357
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-disj 4408  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11194  df-rp 11232  df-xneg 11329  df-xadd 11330  df-xmul 11331  df-ioo 11544  df-ioc 11545  df-ico 11546  df-icc 11547  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-fl 11911  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12882  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-limsup 13276  df-clim 13293  df-rlim 13294  df-sum 13491  df-ef 13785  df-sin 13787  df-cos 13788  df-pi 13790  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-starv 14694  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-ip 14697  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-unif 14702  df-hom 14703  df-cco 14704  df-rest 14802  df-topn 14803  df-0g 14821  df-gsum 14822  df-topgen 14823  df-pt 14824  df-prds 14827  df-ordt 14880  df-xrs 14881  df-qtop 14886  df-imas 14887  df-xps 14889  df-mre 14965  df-mrc 14966  df-acs 14968  df-ps 15809  df-tsr 15810  df-plusf 15850  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-mhm 15945  df-submnd 15946  df-grp 16036  df-minusg 16037  df-sbg 16038  df-mulg 16039  df-subg 16177  df-cntz 16334  df-cmn 16779  df-abl 16780  df-mgp 17121  df-ur 17133  df-ring 17179  df-cring 17180  df-subrg 17406  df-abv 17445  df-lmod 17493  df-scaf 17494  df-sra 17797  df-rgmod 17798  df-psmet 18390  df-xmet 18391  df-met 18392  df-bl 18393  df-mopn 18394  df-fbas 18395  df-fg 18396  df-cnfld 18400  df-top 19377  df-bases 19379  df-topon 19380  df-topsp 19381  df-cld 19498  df-ntr 19499  df-cls 19500  df-nei 19577  df-lp 19615  df-perf 19616  df-cn 19706  df-cnp 19707  df-haus 19794  df-tx 20041  df-hmeo 20234  df-fil 20325  df-fm 20417  df-flim 20418  df-flf 20419  df-tmd 20549  df-tgp 20550  df-tsms 20603  df-trg 20640  df-xms 20801  df-ms 20802  df-tms 20803  df-nm 21081  df-ngp 21082  df-nrg 21084  df-nlm 21085  df-ii 21359  df-cncf 21360  df-limc 22248  df-dv 22249  df-log 22922  df-xdiv 27592  df-esum 28019  df-ofc 28073  df-siga 28086  df-sigagen 28117  df-brsiga 28131  df-meas 28145  df-mbfm 28200  df-prob 28325  df-rrv 28358
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator