Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  coinfliprv Structured version   Unicode version

Theorem coinfliprv 26870
Description: The  X we defined for coin-flip is a random variable. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
coinflip.h  |-  H  e. 
_V
coinflip.t  |-  T  e. 
_V
coinflip.th  |-  H  =/= 
T
coinflip.2  |-  P  =  ( ( #  |`  ~P { H ,  T }
)𝑓/𝑐  / 
2 )
coinflip.3  |-  X  =  { <. H ,  1
>. ,  <. T , 
0 >. }
Assertion
Ref Expression
coinfliprv  |-  X  e.  (rRndVar `  P )

Proof of Theorem coinfliprv
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coinflip.th . . . . . 6  |-  H  =/= 
T
2 coinflip.h . . . . . . 7  |-  H  e. 
_V
3 coinflip.t . . . . . . 7  |-  T  e. 
_V
4 1ex 9386 . . . . . . 7  |-  1  e.  _V
5 c0ex 9385 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
62, 3, 4, 5fpr 5895 . . . . . 6  |-  ( H  =/=  T  ->  { <. H ,  1 >. ,  <. T ,  0 >. } : { H ,  T } --> { 1 ,  0 } )
71, 6ax-mp 5 . . . . 5  |-  { <. H ,  1 >. ,  <. T ,  0 >. } : { H ,  T } --> { 1 ,  0 }
8 coinflip.3 . . . . . 6  |-  X  =  { <. H ,  1
>. ,  <. T , 
0 >. }
98feq1i 5556 . . . . 5  |-  ( X : { H ,  T } --> { 1 ,  0 }  <->  { <. H , 
1 >. ,  <. T , 
0 >. } : { H ,  T } --> { 1 ,  0 } )
107, 9mpbir 209 . . . 4  |-  X : { H ,  T } --> { 1 ,  0 }
11 coinflip.2 . . . . . 6  |-  P  =  ( ( #  |`  ~P { H ,  T }
)𝑓/𝑐  / 
2 )
122, 3, 1, 11, 8coinflipuniv 26869 . . . . 5  |-  U. dom  P  =  { H ,  T }
1312feq2i 5557 . . . 4  |-  ( X : U. dom  P --> { 1 ,  0 }  <->  X : { H ,  T } --> { 1 ,  0 } )
1410, 13mpbir 209 . . 3  |-  X : U. dom  P --> { 1 ,  0 }
15 1re 9390 . . . . 5  |-  1  e.  RR
16 0re 9391 . . . . 5  |-  0  e.  RR
1715, 16pm3.2i 455 . . . 4  |-  ( 1  e.  RR  /\  0  e.  RR )
184, 5prss 4032 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  0  e.  RR )  <->  { 1 ,  0 } 
C_  RR )
1917, 18mpbi 208 . . 3  |-  { 1 ,  0 }  C_  RR
20 fss 5572 . . 3  |-  ( ( X : U. dom  P --> { 1 ,  0 }  /\  { 1 ,  0 }  C_  RR )  ->  X : U. dom  P --> RR )
2114, 19, 20mp2an 672 . 2  |-  X : U. dom  P --> RR
22 imassrn 5185 . . . . 5  |-  ( `' X " y ) 
C_  ran  `' X
23 dfdm4 5037 . . . . . 6  |-  dom  X  =  ran  `' X
2410fdmi 5569 . . . . . 6  |-  dom  X  =  { H ,  T }
2523, 24eqtr3i 2465 . . . . 5  |-  ran  `' X  =  { H ,  T }
2622, 25sseqtri 3393 . . . 4  |-  ( `' X " y ) 
C_  { H ,  T }
272, 3, 1, 11, 8coinflipspace 26868 . . . . . . 7  |-  dom  P  =  ~P { H ,  T }
2827eleq2i 2507 . . . . . 6  |-  ( ( `' X " y )  e.  dom  P  <->  ( `' X " y )  e. 
~P { H ,  T } )
29 prex 4539 . . . . . . . . 9  |-  { <. H ,  1 >. ,  <. T ,  0 >. }  e.  _V
308, 29eqeltri 2513 . . . . . . . 8  |-  X  e. 
_V
31 cnvexg 6529 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  _V  ->  `' X  e.  _V )
32 imaexg 6520 . . . . . . . 8  |-  ( `' X  e.  _V  ->  ( `' X " y )  e.  _V )
3330, 31, 32mp2b 10 . . . . . . 7  |-  ( `' X " y )  e.  _V
3433elpw 3871 . . . . . 6  |-  ( ( `' X " y )  e.  ~P { H ,  T }  <->  ( `' X " y )  C_  { H ,  T }
)
3528, 34bitr2i 250 . . . . 5  |-  ( ( `' X " y ) 
C_  { H ,  T }  <->  ( `' X " y )  e.  dom  P )
3635biimpi 194 . . . 4  |-  ( ( `' X " y ) 
C_  { H ,  T }  ->  ( `' X " y )  e.  dom  P )
3726, 36mp1i 12 . . 3  |-  ( y  e. 𝔅  ->  ( `' X "
y )  e.  dom  P )
3837rgen 2786 . 2  |-  A. y  e. 𝔅  ( `' X " y )  e.  dom  P
392, 3, 1, 11, 8coinflipprob 26867 . . . . 5  |-  P  e. Prob
4039a1i 11 . . . 4  |-  ( H  e.  _V  ->  P  e. Prob )
4140isrrvv 26831 . . 3  |-  ( H  e.  _V  ->  ( X  e.  (rRndVar `  P
)  <->  ( X : U. dom  P --> RR  /\  A. y  e. 𝔅  ( `' X "
y )  e.  dom  P ) ) )
422, 41ax-mp 5 . 2  |-  ( X  e.  (rRndVar `  P
)  <->  ( X : U. dom  P --> RR  /\  A. y  e. 𝔅  ( `' X "
y )  e.  dom  P ) )
4321, 38, 42mpbir2an 911 1  |-  X  e.  (rRndVar `  P )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   A.wral 2720   _Vcvv 2977    C_ wss 3333   ~Pcpw 3865   {cpr 3884   <.cop 3888   U.cuni 4096   `'ccnv 4844   dom cdm 4845   ran crn 4846    |` cres 4847   "cima 4848   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288    / cdiv 9998   2c2 10376   #chash 12108  ∘𝑓/𝑐cofc 26542  𝔅cbrsiga 26600  Probcprb 26795  rRndVarcrrv 26828
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366  ax-mulf 9367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-disj 4268  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-fi 7666  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-ioo 11309  df-ioc 11310  df-ico 11311  df-icc 11312  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-mod 11714  df-seq 11812  df-exp 11871  df-fac 12057  df-bc 12084  df-hash 12109  df-shft 12561  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-limsup 12954  df-clim 12971  df-rlim 12972  df-sum 13169  df-ef 13358  df-sin 13360  df-cos 13361  df-pi 13363  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-hom 14267  df-cco 14268  df-rest 14366  df-topn 14367  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-topgen 14387  df-pt 14388  df-prds 14391  df-ordt 14444  df-xrs 14445  df-qtop 14450  df-imas 14451  df-xps 14453  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-ps 15375  df-tsr 15376  df-mnd 15420  df-plusf 15421  df-mhm 15469  df-submnd 15470  df-grp 15550  df-minusg 15551  df-sbg 15552  df-mulg 15553  df-subg 15683  df-cntz 15840  df-cmn 16284  df-abl 16285  df-mgp 16597  df-ur 16609  df-rng 16652  df-cring 16653  df-subrg 16868  df-abv 16907  df-lmod 16955  df-scaf 16956  df-sra 17258  df-rgmod 17259  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-met 17816  df-bl 17817  df-mopn 17818  df-fbas 17819  df-fg 17820  df-cnfld 17824  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-topsp 18512  df-cld 18628  df-ntr 18629  df-cls 18630  df-nei 18707  df-lp 18745  df-perf 18746  df-cn 18836  df-cnp 18837  df-haus 18924  df-tx 19140  df-hmeo 19333  df-fil 19424  df-fm 19516  df-flim 19517  df-flf 19518  df-tmd 19648  df-tgp 19649  df-tsms 19702  df-trg 19739  df-xms 19900  df-ms 19901  df-tms 19902  df-nm 20180  df-ngp 20181  df-nrg 20183  df-nlm 20184  df-ii 20458  df-cncf 20459  df-limc 21346  df-dv 21347  df-log 22013  df-xdiv 26098  df-esum 26489  df-ofc 26543  df-siga 26556  df-sigagen 26587  df-brsiga 26601  df-meas 26615  df-mbfm 26671  df-prob 26796  df-rrv 26829
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator