Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  coinflippv Structured version   Unicode version

Theorem coinflippv 28247
Description: The probability of heads is one-half. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
coinflip.h  |-  H  e. 
_V
coinflip.t  |-  T  e. 
_V
coinflip.th  |-  H  =/= 
T
coinflip.2  |-  P  =  ( ( #  |`  ~P { H ,  T }
)𝑓/𝑐  / 
2 )
coinflip.3  |-  X  =  { <. H ,  1
>. ,  <. T , 
0 >. }
Assertion
Ref Expression
coinflippv  |-  ( P `
 { H }
)  =  ( 1  /  2 )

Proof of Theorem coinflippv
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coinflip.2 . . 3  |-  P  =  ( ( #  |`  ~P { H ,  T }
)𝑓/𝑐  / 
2 )
21fveq1i 5873 . 2  |-  ( P `
 { H }
)  =  ( ( ( #  |`  ~P { H ,  T }
)𝑓/𝑐  / 
2 ) `  { H } )
3 snsspr1 4182 . . 3  |-  { H }  C_  { H ,  T }
4 prfi 7807 . . . . . . 7  |-  { H ,  T }  e.  Fin
54elexi 3128 . . . . . 6  |-  { H ,  T }  e.  _V
65, 3ssexi 4598 . . . . 5  |-  { H }  e.  _V
76elpw 4022 . . . 4  |-  ( { H }  e.  ~P { H ,  T }  <->  { H }  C_  { H ,  T } )
87biimpri 206 . . 3  |-  ( { H }  C_  { H ,  T }  ->  { H }  e.  ~P { H ,  T } )
9 fveq2 5872 . . . . . 6  |-  ( x  =  { H }  ->  ( # `  x
)  =  ( # `  { H } ) )
10 coinflip.h . . . . . . 7  |-  H  e. 
_V
11 hashsng 12418 . . . . . . 7  |-  ( H  e.  _V  ->  ( # `
 { H }
)  =  1 )
1210, 11ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( # `  { H } )  =  1
139, 12syl6eq 2524 . . . . 5  |-  ( x  =  { H }  ->  ( # `  x
)  =  1 )
1413oveq1d 6310 . . . 4  |-  ( x  =  { H }  ->  ( ( # `  x
)  /  2 )  =  ( 1  / 
2 ) )
155pwex 4636 . . . . . . 7  |-  ~P { H ,  T }  e.  _V
1615a1i 11 . . . . . 6  |-  ( H  e.  _V  ->  ~P { H ,  T }  e.  _V )
17 2nn0 10824 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN0
1817a1i 11 . . . . . 6  |-  ( H  e.  _V  ->  2  e.  NN0 )
19 elpwi 4025 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~P { H ,  T }  ->  x  C_ 
{ H ,  T } )
20 ssfi 7752 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { H ,  T }  e.  Fin  /\  x  C_ 
{ H ,  T } )  ->  x  e.  Fin )
214, 19, 20sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~P { H ,  T }  ->  x  e.  Fin )
2221adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( H  e.  _V  /\  x  e.  ~P { H ,  T } )  ->  x  e.  Fin )
23 hashcl 12408 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  Fin  ->  ( # `
 x )  e. 
NN0 )
2422, 23syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( H  e.  _V  /\  x  e.  ~P { H ,  T } )  -> 
( # `  x )  e.  NN0 )
25 hashf 12392 . . . . . . . 8  |-  # : _V
--> ( NN0  u.  { +oo } )
2625a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( H  e.  _V  ->  # : _V
--> ( NN0  u.  { +oo } ) )
27 ssv 3529 . . . . . . . 8  |-  ~P { H ,  T }  C_ 
_V
2827a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( H  e.  _V  ->  ~P { H ,  T }  C_ 
_V )
2926, 28feqresmpt 5928 . . . . . 6  |-  ( H  e.  _V  ->  ( #  |`  ~P { H ,  T } )  =  ( x  e.  ~P { H ,  T }  |->  ( # `  x
) ) )
3016, 18, 24, 29ofcfval2 27928 . . . . 5  |-  ( H  e.  _V  ->  (
( #  |`  ~P { H ,  T }
)𝑓/𝑐  / 
2 )  =  ( x  e.  ~P { H ,  T }  |->  ( ( # `  x
)  /  2 ) ) )
3110, 30ax-mp 5 . . . 4  |-  ( (
#  |`  ~P { H ,  T } )𝑓/𝑐  /  2 )  =  ( x  e.  ~P { H ,  T }  |->  ( ( # `  x
)  /  2 ) )
32 ovex 6320 . . . 4  |-  ( 1  /  2 )  e. 
_V
3314, 31, 32fvmpt 5957 . . 3  |-  ( { H }  e.  ~P { H ,  T }  ->  ( ( ( #  |` 
~P { H ,  T } )𝑓/𝑐  /  2 ) `  { H } )  =  ( 1  /  2 ) )
343, 8, 33mp2b 10 . 2  |-  ( ( ( #  |`  ~P { H ,  T }
)𝑓/𝑐  / 
2 ) `  { H } )  =  ( 1  /  2 )
352, 34eqtri 2496 1  |-  ( P `
 { H }
)  =  ( 1  /  2 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   _Vcvv 3118    u. cun 3479    C_ wss 3481   ~Pcpw 4016   {csn 4033   {cpr 4035   <.cop 4039    |-> cmpt 4511    |` cres 5007   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Fincfn 7528   0cc0 9504   1c1 9505   +oocpnf 9637    / cdiv 10218   2c2 10597   NN0cn0 10807   #chash 12385  ∘𝑓/𝑐cofc 27919
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-hash 12386  df-ofc 27920
This theorem is referenced by:  coinflippvt  28248
  Copyright terms: Public domain W3C validator