Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  coinflippv Structured version   Unicode version

Theorem coinflippv 28809
Description: The probability of heads is one-half. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
coinflip.h  |-  H  e. 
_V
coinflip.t  |-  T  e. 
_V
coinflip.th  |-  H  =/= 
T
coinflip.2  |-  P  =  ( ( #  |`  ~P { H ,  T }
)𝑓/𝑐  / 
2 )
coinflip.3  |-  X  =  { <. H ,  1
>. ,  <. T , 
0 >. }
Assertion
Ref Expression
coinflippv  |-  ( P `
 { H }
)  =  ( 1  /  2 )

Proof of Theorem coinflippv
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coinflip.2 . . 3  |-  P  =  ( ( #  |`  ~P { H ,  T }
)𝑓/𝑐  / 
2 )
21fveq1i 5804 . 2  |-  ( P `
 { H }
)  =  ( ( ( #  |`  ~P { H ,  T }
)𝑓/𝑐  / 
2 ) `  { H } )
3 snsspr1 4118 . . 3  |-  { H }  C_  { H ,  T }
4 prex 4630 . . . . 5  |-  { H ,  T }  e.  _V
54elpw2 4555 . . . 4  |-  ( { H }  e.  ~P { H ,  T }  <->  { H }  C_  { H ,  T } )
65biimpri 206 . . 3  |-  ( { H }  C_  { H ,  T }  ->  { H }  e.  ~P { H ,  T } )
7 fveq2 5803 . . . . . 6  |-  ( x  =  { H }  ->  ( # `  x
)  =  ( # `  { H } ) )
8 coinflip.h . . . . . . 7  |-  H  e. 
_V
9 hashsng 12391 . . . . . . 7  |-  ( H  e.  _V  ->  ( # `
 { H }
)  =  1 )
108, 9ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( # `  { H } )  =  1
117, 10syl6eq 2457 . . . . 5  |-  ( x  =  { H }  ->  ( # `  x
)  =  1 )
1211oveq1d 6247 . . . 4  |-  ( x  =  { H }  ->  ( ( # `  x
)  /  2 )  =  ( 1  / 
2 ) )
134pwex 4574 . . . . . . 7  |-  ~P { H ,  T }  e.  _V
1413a1i 11 . . . . . 6  |-  ( H  e.  _V  ->  ~P { H ,  T }  e.  _V )
15 2nn0 10771 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN0
1615a1i 11 . . . . . 6  |-  ( H  e.  _V  ->  2  e.  NN0 )
17 prfi 7747 . . . . . . . . 9  |-  { H ,  T }  e.  Fin
18 elpwi 3961 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~P { H ,  T }  ->  x  C_ 
{ H ,  T } )
19 ssfi 7693 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { H ,  T }  e.  Fin  /\  x  C_ 
{ H ,  T } )  ->  x  e.  Fin )
2017, 18, 19sylancr 661 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~P { H ,  T }  ->  x  e.  Fin )
2120adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( H  e.  _V  /\  x  e.  ~P { H ,  T } )  ->  x  e.  Fin )
22 hashcl 12380 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  Fin  ->  ( # `
 x )  e. 
NN0 )
2321, 22syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( H  e.  _V  /\  x  e.  ~P { H ,  T } )  -> 
( # `  x )  e.  NN0 )
24 hashf 12364 . . . . . . . 8  |-  # : _V
--> ( NN0  u.  { +oo } )
2524a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( H  e.  _V  ->  # : _V
--> ( NN0  u.  { +oo } ) )
26 ssv 3459 . . . . . . . 8  |-  ~P { H ,  T }  C_ 
_V
2726a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( H  e.  _V  ->  ~P { H ,  T }  C_ 
_V )
2825, 27feqresmpt 5857 . . . . . 6  |-  ( H  e.  _V  ->  ( #  |`  ~P { H ,  T } )  =  ( x  e.  ~P { H ,  T }  |->  ( # `  x
) ) )
2914, 16, 23, 28ofcfval2 28432 . . . . 5  |-  ( H  e.  _V  ->  (
( #  |`  ~P { H ,  T }
)𝑓/𝑐  / 
2 )  =  ( x  e.  ~P { H ,  T }  |->  ( ( # `  x
)  /  2 ) ) )
308, 29ax-mp 5 . . . 4  |-  ( (
#  |`  ~P { H ,  T } )𝑓/𝑐  /  2 )  =  ( x  e.  ~P { H ,  T }  |->  ( ( # `  x
)  /  2 ) )
31 ovex 6260 . . . 4  |-  ( 1  /  2 )  e. 
_V
3212, 30, 31fvmpt 5886 . . 3  |-  ( { H }  e.  ~P { H ,  T }  ->  ( ( ( #  |` 
~P { H ,  T } )𝑓/𝑐  /  2 ) `  { H } )  =  ( 1  /  2 ) )
333, 6, 32mp2b 10 . 2  |-  ( ( ( #  |`  ~P { H ,  T }
)𝑓/𝑐  / 
2 ) `  { H } )  =  ( 1  /  2 )
342, 33eqtri 2429 1  |-  ( P `
 { H }
)  =  ( 1  /  2 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 367    = wceq 1403    e. wcel 1840    =/= wne 2596   _Vcvv 3056    u. cun 3409    C_ wss 3411   ~Pcpw 3952   {csn 3969   {cpr 3971   <.cop 3975    |-> cmpt 4450    |` cres 4942   -->wf 5519   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   Fincfn 7472   0cc0 9440   1c1 9441   +oocpnf 9573    / cdiv 10165   2c2 10544   NN0cn0 10754   #chash 12357  ∘𝑓/𝑐cofc 28423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-oadd 7089  df-er 7266  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-card 8270  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-nn 10495  df-2 10553  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-fz 11642  df-hash 12358  df-ofc 28424
This theorem is referenced by:  coinflippvt  28810
  Copyright terms: Public domain W3C validator