Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  coinflippv Structured version   Unicode version

Theorem coinflippv 26871
Description: The probability of heads is one-half. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
coinflip.h  |-  H  e. 
_V
coinflip.t  |-  T  e. 
_V
coinflip.th  |-  H  =/= 
T
coinflip.2  |-  P  =  ( ( #  |`  ~P { H ,  T }
)𝑓/𝑐  / 
2 )
coinflip.3  |-  X  =  { <. H ,  1
>. ,  <. T , 
0 >. }
Assertion
Ref Expression
coinflippv  |-  ( P `
 { H }
)  =  ( 1  /  2 )

Proof of Theorem coinflippv
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coinflip.2 . . 3  |-  P  =  ( ( #  |`  ~P { H ,  T }
)𝑓/𝑐  / 
2 )
21fveq1i 5697 . 2  |-  ( P `
 { H }
)  =  ( ( ( #  |`  ~P { H ,  T }
)𝑓/𝑐  / 
2 ) `  { H } )
3 snsspr1 4027 . . 3  |-  { H }  C_  { H ,  T }
4 prfi 7591 . . . . . . 7  |-  { H ,  T }  e.  Fin
54elexi 2987 . . . . . 6  |-  { H ,  T }  e.  _V
65, 3ssexi 4442 . . . . 5  |-  { H }  e.  _V
76elpw 3871 . . . 4  |-  ( { H }  e.  ~P { H ,  T }  <->  { H }  C_  { H ,  T } )
87biimpri 206 . . 3  |-  ( { H }  C_  { H ,  T }  ->  { H }  e.  ~P { H ,  T } )
9 fveq2 5696 . . . . . 6  |-  ( x  =  { H }  ->  ( # `  x
)  =  ( # `  { H } ) )
10 coinflip.h . . . . . . 7  |-  H  e. 
_V
11 hashsng 12141 . . . . . . 7  |-  ( H  e.  _V  ->  ( # `
 { H }
)  =  1 )
1210, 11ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( # `  { H } )  =  1
139, 12syl6eq 2491 . . . . 5  |-  ( x  =  { H }  ->  ( # `  x
)  =  1 )
1413oveq1d 6111 . . . 4  |-  ( x  =  { H }  ->  ( ( # `  x
)  /  2 )  =  ( 1  / 
2 ) )
155pwex 4480 . . . . . . 7  |-  ~P { H ,  T }  e.  _V
1615a1i 11 . . . . . 6  |-  ( H  e.  _V  ->  ~P { H ,  T }  e.  _V )
17 2nn0 10601 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN0
1817a1i 11 . . . . . 6  |-  ( H  e.  _V  ->  2  e.  NN0 )
19 elpwi 3874 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~P { H ,  T }  ->  x  C_ 
{ H ,  T } )
20 ssfi 7538 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { H ,  T }  e.  Fin  /\  x  C_ 
{ H ,  T } )  ->  x  e.  Fin )
214, 19, 20sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~P { H ,  T }  ->  x  e.  Fin )
2221adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( H  e.  _V  /\  x  e.  ~P { H ,  T } )  ->  x  e.  Fin )
23 hashcl 12131 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  Fin  ->  ( # `
 x )  e. 
NN0 )
2422, 23syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( H  e.  _V  /\  x  e.  ~P { H ,  T } )  -> 
( # `  x )  e.  NN0 )
25 hashf 12115 . . . . . . . 8  |-  # : _V
--> ( NN0  u.  { +oo } )
2625a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( H  e.  _V  ->  # : _V
--> ( NN0  u.  { +oo } ) )
27 ssv 3381 . . . . . . . 8  |-  ~P { H ,  T }  C_ 
_V
2827a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( H  e.  _V  ->  ~P { H ,  T }  C_ 
_V )
2926, 28feqresmpt 5750 . . . . . 6  |-  ( H  e.  _V  ->  ( #  |`  ~P { H ,  T } )  =  ( x  e.  ~P { H ,  T }  |->  ( # `  x
) ) )
3016, 18, 24, 29ofcfval2 26551 . . . . 5  |-  ( H  e.  _V  ->  (
( #  |`  ~P { H ,  T }
)𝑓/𝑐  / 
2 )  =  ( x  e.  ~P { H ,  T }  |->  ( ( # `  x
)  /  2 ) ) )
3110, 30ax-mp 5 . . . 4  |-  ( (
#  |`  ~P { H ,  T } )𝑓/𝑐  /  2 )  =  ( x  e.  ~P { H ,  T }  |->  ( ( # `  x
)  /  2 ) )
32 ovex 6121 . . . 4  |-  ( 1  /  2 )  e. 
_V
3314, 31, 32fvmpt 5779 . . 3  |-  ( { H }  e.  ~P { H ,  T }  ->  ( ( ( #  |` 
~P { H ,  T } )𝑓/𝑐  /  2 ) `  { H } )  =  ( 1  /  2 ) )
343, 8, 33mp2b 10 . 2  |-  ( ( ( #  |`  ~P { H ,  T }
)𝑓/𝑐  / 
2 ) `  { H } )  =  ( 1  /  2 )
352, 34eqtri 2463 1  |-  ( P `
 { H }
)  =  ( 1  /  2 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   _Vcvv 2977    u. cun 3331    C_ wss 3333   ~Pcpw 3865   {csn 3882   {cpr 3884   <.cop 3888    e. cmpt 4355    |` cres 4847   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   Fincfn 7315   0cc0 9287   1c1 9288   +oocpnf 9420    / cdiv 9998   2c2 10376   NN0cn0 10584   #chash 12108  ∘𝑓/𝑐cofc 26542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-card 8114  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-fz 11443  df-hash 12109  df-ofc 26543
This theorem is referenced by:  coinflippvt  26872
  Copyright terms: Public domain W3C validator