Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  coinfliplem Unicode version

Theorem coinfliplem 23694
Description: Division in the extended real numbers can be used for the coin-flip example. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
coinflip.h  |-  H  e. 
_V
coinflip.t  |-  T  e. 
_V
coinflip.th  |-  H  =/= 
T
coinflip.2  |-  P  =  ( ( #  |`  ~P { H ,  T }
)𝑓/𝑐  / 
2 )
coinflip.3  |-  X  =  { <. H ,  1
>. ,  <. T , 
0 >. }
Assertion
Ref Expression
coinfliplem  |-  P  =  ( ( #  |`  ~P { H ,  T }
)𝑓/𝑐 /𝑒  2 )

Proof of Theorem coinfliplem
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coinflip.2 . 2  |-  P  =  ( ( #  |`  ~P { H ,  T }
)𝑓/𝑐  / 
2 )
2 coinflip.h . . 3  |-  H  e. 
_V
3 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( H  e.  _V  /\  x  e.  ~P { H ,  T } )  ->  x  e.  ~P { H ,  T } )
4 fvres 5558 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~P { H ,  T }  ->  (
( #  |`  ~P { H ,  T }
) `  x )  =  ( # `  x
) )
53, 4syl 15 . . . . 5  |-  ( ( H  e.  _V  /\  x  e.  ~P { H ,  T } )  -> 
( ( #  |`  ~P { H ,  T }
) `  x )  =  ( # `  x
) )
6 nn0ssre 9985 . . . . . 6  |-  NN0  C_  RR
7 prfi 7147 . . . . . . . 8  |-  { H ,  T }  e.  Fin
8 vex 2804 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
98elpw 3644 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~P { H ,  T }  <->  x  C_  { H ,  T } )
103, 9sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  e.  _V  /\  x  e.  ~P { H ,  T } )  ->  x  C_  { H ,  T } )
11 ssfi 7099 . . . . . . . 8  |-  ( ( { H ,  T }  e.  Fin  /\  x  C_ 
{ H ,  T } )  ->  x  e.  Fin )
127, 10, 11sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ( H  e.  _V  /\  x  e.  ~P { H ,  T } )  ->  x  e.  Fin )
13 hashcl 11366 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  Fin  ->  ( # `
 x )  e. 
NN0 )
1412, 13syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( H  e.  _V  /\  x  e.  ~P { H ,  T } )  -> 
( # `  x )  e.  NN0 )
156, 14sseldi 3191 . . . . 5  |-  ( ( H  e.  _V  /\  x  e.  ~P { H ,  T } )  -> 
( # `  x )  e.  RR )
165, 15eqeltrd 2370 . . . 4  |-  ( ( H  e.  _V  /\  x  e.  ~P { H ,  T } )  -> 
( ( #  |`  ~P { H ,  T }
) `  x )  e.  RR )
17 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( H  e.  _V  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
18 2re 9831 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
1918a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( H  e.  _V  /\  y  e.  RR )  ->  2  e.  RR )
20 2ne0 9845 . . . . . 6  |-  2  =/=  0
2120a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( H  e.  _V  /\  y  e.  RR )  ->  2  =/=  0 )
22 rexdiv 23125 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  2  =/=  0 )  ->  (
y /𝑒  2 )  =  ( y  /  2 ) )
2317, 19, 21, 22syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( H  e.  _V  /\  y  e.  RR )  ->  ( y /𝑒  2 )  =  ( y  /  2 ) )
24 hashresfn 23189 . . . . 5  |-  ( #  |` 
~P { H ,  T } )  Fn  ~P { H ,  T }
2524a1i 10 . . . 4  |-  ( H  e.  _V  ->  ( #  |`  ~P { H ,  T } )  Fn  ~P { H ,  T }
)
26 pwfi 7167 . . . . . 6  |-  ( { H ,  T }  e.  Fin  <->  ~P { H ,  T }  e.  Fin )
277, 26mpbi 199 . . . . 5  |-  ~P { H ,  T }  e.  Fin
2827a1i 10 . . . 4  |-  ( H  e.  _V  ->  ~P { H ,  T }  e.  Fin )
2918a1i 10 . . . 4  |-  ( H  e.  _V  ->  2  e.  RR )
3016, 23, 25, 28, 29ofcfeqd2 23477 . . 3  |-  ( H  e.  _V  ->  (
( #  |`  ~P { H ,  T }
)𝑓/𝑐 /𝑒  2 )  =  ( ( #  |` 
~P { H ,  T } )𝑓/𝑐  /  2 ) )
312, 30ax-mp 8 . 2  |-  ( (
#  |`  ~P { H ,  T } )𝑓/𝑐 /𝑒  2 )  =  ( ( #  |` 
~P { H ,  T } )𝑓/𝑐  /  2 )
321, 31eqtr4i 2319 1  |-  P  =  ( ( #  |`  ~P { H ,  T }
)𝑓/𝑐 /𝑒  2 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   {cpr 3654   <.cop 3656    |` cres 4707    Fn wfn 5266   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    / cdiv 9439   2c2 9811   NN0cn0 9981   #chash 11353   /𝑒 cxdiv 23116  ∘𝑓/𝑐cofc 23471
This theorem is referenced by:  coinflipprob  23695
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-xneg 10468  df-xmul 10470  df-hash 11354  df-xdiv 23117  df-ofc 23472
  Copyright terms: Public domain W3C validator