Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  coinfliplem Structured version   Unicode version

Theorem coinfliplem 26813
Description: Division in the extended real numbers can be used for the coin-flip example. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
coinflip.h  |-  H  e. 
_V
coinflip.t  |-  T  e. 
_V
coinflip.th  |-  H  =/= 
T
coinflip.2  |-  P  =  ( ( #  |`  ~P { H ,  T }
)𝑓/𝑐  / 
2 )
coinflip.3  |-  X  =  { <. H ,  1
>. ,  <. T , 
0 >. }
Assertion
Ref Expression
coinfliplem  |-  P  =  ( ( #  |`  ~P { H ,  T }
)𝑓/𝑐 /𝑒  2 )

Proof of Theorem coinfliplem
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coinflip.2 . 2  |-  P  =  ( ( #  |`  ~P { H ,  T }
)𝑓/𝑐  / 
2 )
2 coinflip.h . . 3  |-  H  e. 
_V
3 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( H  e.  _V  /\  x  e.  ~P { H ,  T } )  ->  x  e.  ~P { H ,  T } )
4 fvres 5699 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~P { H ,  T }  ->  (
( #  |`  ~P { H ,  T }
) `  x )  =  ( # `  x
) )
53, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ( H  e.  _V  /\  x  e.  ~P { H ,  T } )  -> 
( ( #  |`  ~P { H ,  T }
) `  x )  =  ( # `  x
) )
6 prfi 7578 . . . . . . . 8  |-  { H ,  T }  e.  Fin
73elpwid 3865 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  e.  _V  /\  x  e.  ~P { H ,  T } )  ->  x  C_  { H ,  T } )
8 ssfi 7525 . . . . . . . 8  |-  ( ( { H ,  T }  e.  Fin  /\  x  C_ 
{ H ,  T } )  ->  x  e.  Fin )
96, 7, 8sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( H  e.  _V  /\  x  e.  ~P { H ,  T } )  ->  x  e.  Fin )
10 hashcl 12118 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  Fin  ->  ( # `
 x )  e. 
NN0 )
119, 10syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( H  e.  _V  /\  x  e.  ~P { H ,  T } )  -> 
( # `  x )  e.  NN0 )
1211nn0red 10629 . . . . 5  |-  ( ( H  e.  _V  /\  x  e.  ~P { H ,  T } )  -> 
( # `  x )  e.  RR )
135, 12eqeltrd 2512 . . . 4  |-  ( ( H  e.  _V  /\  x  e.  ~P { H ,  T } )  -> 
( ( #  |`  ~P { H ,  T }
) `  x )  e.  RR )
14 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( H  e.  _V  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
15 2re 10383 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
1615a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( H  e.  _V  /\  y  e.  RR )  ->  2  e.  RR )
17 2ne0 10406 . . . . . 6  |-  2  =/=  0
1817a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( H  e.  _V  /\  y  e.  RR )  ->  2  =/=  0 )
19 rexdiv 26052 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  2  =/=  0 )  ->  (
y /𝑒  2 )  =  ( y  /  2 ) )
2014, 16, 18, 19syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( H  e.  _V  /\  y  e.  RR )  ->  ( y /𝑒  2 )  =  ( y  /  2 ) )
21 hashresfn 12103 . . . . 5  |-  ( #  |` 
~P { H ,  T } )  Fn  ~P { H ,  T }
2221a1i 11 . . . 4  |-  ( H  e.  _V  ->  ( #  |`  ~P { H ,  T } )  Fn  ~P { H ,  T }
)
23 pwfi 7598 . . . . . 6  |-  ( { H ,  T }  e.  Fin  <->  ~P { H ,  T }  e.  Fin )
246, 23mpbi 208 . . . . 5  |-  ~P { H ,  T }  e.  Fin
2524a1i 11 . . . 4  |-  ( H  e.  _V  ->  ~P { H ,  T }  e.  Fin )
2615a1i 11 . . . 4  |-  ( H  e.  _V  ->  2  e.  RR )
2713, 20, 22, 25, 26ofcfeqd2 26495 . . 3  |-  ( H  e.  _V  ->  (
( #  |`  ~P { H ,  T }
)𝑓/𝑐 /𝑒  2 )  =  ( ( #  |` 
~P { H ,  T } )𝑓/𝑐  /  2 ) )
282, 27ax-mp 5 . 2  |-  ( (
#  |`  ~P { H ,  T } )𝑓/𝑐 /𝑒  2 )  =  ( ( #  |` 
~P { H ,  T } )𝑓/𝑐  /  2 )
291, 28eqtr4i 2461 1  |-  P  =  ( ( #  |`  ~P { H ,  T }
)𝑓/𝑐 /𝑒  2 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   _Vcvv 2967    C_ wss 3323   ~Pcpw 3855   {cpr 3874   <.cop 3878    |` cres 4837    Fn wfn 5408   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   Fincfn 7302   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    / cdiv 9985   2c2 10363   NN0cn0 10571   #chash 12095   /𝑒 cxdiv 26043  ∘𝑓/𝑐cofc 26489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-xneg 11081  df-xmul 11083  df-hash 12096  df-xdiv 26044  df-ofc 26490
This theorem is referenced by:  coinflipprob  26814
  Copyright terms: Public domain W3C validator