Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  coinfliplem Unicode version

Theorem coinfliplem 23694
 Description: Division in the extended real numbers can be used for the coin-flip example. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
coinflip.h
coinflip.t
coinflip.th
coinflip.2 𝑓/𝑐
coinflip.3
Assertion
Ref Expression
coinfliplem 𝑓/𝑐 /𝑒

Proof of Theorem coinfliplem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coinflip.2 . 2 𝑓/𝑐
2 coinflip.h . . 3
3 simpr 447 . . . . . 6
4 fvres 5558 . . . . . 6
53, 4syl 15 . . . . 5
6 nn0ssre 9985 . . . . . 6
7 prfi 7147 . . . . . . . 8
8 vex 2804 . . . . . . . . . 10
98elpw 3644 . . . . . . . . 9
103, 9sylib 188 . . . . . . . 8
11 ssfi 7099 . . . . . . . 8
127, 10, 11sylancr 644 . . . . . . 7
13 hashcl 11366 . . . . . . 7
1412, 13syl 15 . . . . . 6
156, 14sseldi 3191 . . . . 5
165, 15eqeltrd 2370 . . . 4
17 simpr 447 . . . . 5
18 2re 9831 . . . . . 6
1918a1i 10 . . . . 5
20 2ne0 9845 . . . . . 6
2120a1i 10 . . . . 5
22 rexdiv 23125 . . . . 5 /𝑒
2317, 19, 21, 22syl3anc 1182 . . . 4 /𝑒
24 hashresfn 23189 . . . . 5
2524a1i 10 . . . 4
26 pwfi 7167 . . . . . 6
277, 26mpbi 199 . . . . 5
2827a1i 10 . . . 4
2918a1i 10 . . . 4
3016, 23, 25, 28, 29ofcfeqd2 23477 . . 3 𝑓/𝑐 /𝑒 𝑓/𝑐
312, 30ax-mp 8 . 2 𝑓/𝑐 /𝑒 𝑓/𝑐
321, 31eqtr4i 2319 1 𝑓/𝑐 /𝑒
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wa 358   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  cvv 2801   wss 3165  cpw 3638  cpr 3654  cop 3656   cres 4707   wfn 5266  cfv 5271  (class class class)co 5874  cfn 6879  cr 8752  cc0 8753  c1 8754   cdiv 9439  c2 9811  cn0 9981  chash 11353   /𝑒 cxdiv 23116  ∘𝑓/𝑐cofc 23471 This theorem is referenced by:  coinflipprob  23695 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-xneg 10468  df-xmul 10470  df-hash 11354  df-xdiv 23117  df-ofc 23472
 Copyright terms: Public domain W3C validator