Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  coinfliplem Structured version   Unicode version

Theorem coinfliplem 28054
Description: Division in the extended real numbers can be used for the coin-flip example. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
coinflip.h  |-  H  e. 
_V
coinflip.t  |-  T  e. 
_V
coinflip.th  |-  H  =/= 
T
coinflip.2  |-  P  =  ( ( #  |`  ~P { H ,  T }
)𝑓/𝑐  / 
2 )
coinflip.3  |-  X  =  { <. H ,  1
>. ,  <. T , 
0 >. }
Assertion
Ref Expression
coinfliplem  |-  P  =  ( ( #  |`  ~P { H ,  T }
)𝑓/𝑐 /𝑒  2 )

Proof of Theorem coinfliplem
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coinflip.2 . 2  |-  P  =  ( ( #  |`  ~P { H ,  T }
)𝑓/𝑐  / 
2 )
2 coinflip.h . . 3  |-  H  e. 
_V
3 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( H  e.  _V  /\  x  e.  ~P { H ,  T } )  ->  x  e.  ~P { H ,  T } )
4 fvres 5878 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~P { H ,  T }  ->  (
( #  |`  ~P { H ,  T }
) `  x )  =  ( # `  x
) )
53, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ( H  e.  _V  /\  x  e.  ~P { H ,  T } )  -> 
( ( #  |`  ~P { H ,  T }
) `  x )  =  ( # `  x
) )
6 prfi 7791 . . . . . . . 8  |-  { H ,  T }  e.  Fin
73elpwid 4020 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  e.  _V  /\  x  e.  ~P { H ,  T } )  ->  x  C_  { H ,  T } )
8 ssfi 7737 . . . . . . . 8  |-  ( ( { H ,  T }  e.  Fin  /\  x  C_ 
{ H ,  T } )  ->  x  e.  Fin )
96, 7, 8sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( H  e.  _V  /\  x  e.  ~P { H ,  T } )  ->  x  e.  Fin )
10 hashcl 12390 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  Fin  ->  ( # `
 x )  e. 
NN0 )
119, 10syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( H  e.  _V  /\  x  e.  ~P { H ,  T } )  -> 
( # `  x )  e.  NN0 )
1211nn0red 10849 . . . . 5  |-  ( ( H  e.  _V  /\  x  e.  ~P { H ,  T } )  -> 
( # `  x )  e.  RR )
135, 12eqeltrd 2555 . . . 4  |-  ( ( H  e.  _V  /\  x  e.  ~P { H ,  T } )  -> 
( ( #  |`  ~P { H ,  T }
) `  x )  e.  RR )
14 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( H  e.  _V  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
15 2re 10601 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
1615a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( H  e.  _V  /\  y  e.  RR )  ->  2  e.  RR )
17 2ne0 10624 . . . . . 6  |-  2  =/=  0
1817a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( H  e.  _V  /\  y  e.  RR )  ->  2  =/=  0 )
19 rexdiv 27287 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  2  =/=  0 )  ->  (
y /𝑒  2 )  =  ( y  /  2 ) )
2014, 16, 18, 19syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( H  e.  _V  /\  y  e.  RR )  ->  ( y /𝑒  2 )  =  ( y  /  2 ) )
21 hashresfn 12375 . . . . 5  |-  ( #  |` 
~P { H ,  T } )  Fn  ~P { H ,  T }
2221a1i 11 . . . 4  |-  ( H  e.  _V  ->  ( #  |`  ~P { H ,  T } )  Fn  ~P { H ,  T }
)
23 pwfi 7811 . . . . . 6  |-  ( { H ,  T }  e.  Fin  <->  ~P { H ,  T }  e.  Fin )
246, 23mpbi 208 . . . . 5  |-  ~P { H ,  T }  e.  Fin
2524a1i 11 . . . 4  |-  ( H  e.  _V  ->  ~P { H ,  T }  e.  Fin )
2615a1i 11 . . . 4  |-  ( H  e.  _V  ->  2  e.  RR )
2713, 20, 22, 25, 26ofcfeqd2 27737 . . 3  |-  ( H  e.  _V  ->  (
( #  |`  ~P { H ,  T }
)𝑓/𝑐 /𝑒  2 )  =  ( ( #  |` 
~P { H ,  T } )𝑓/𝑐  /  2 ) )
282, 27ax-mp 5 . 2  |-  ( (
#  |`  ~P { H ,  T } )𝑓/𝑐 /𝑒  2 )  =  ( ( #  |` 
~P { H ,  T } )𝑓/𝑐  /  2 )
291, 28eqtr4i 2499 1  |-  P  =  ( ( #  |`  ~P { H ,  T }
)𝑓/𝑐 /𝑒  2 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   {cpr 4029   <.cop 4033    |` cres 5001    Fn wfn 5581   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Fincfn 7513   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489    / cdiv 10202   2c2 10581   NN0cn0 10791   #chash 12367   /𝑒 cxdiv 27278  ∘𝑓/𝑐cofc 27731
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-xneg 11314  df-xmul 11316  df-hash 12368  df-xdiv 27279  df-ofc 27732
This theorem is referenced by:  coinflipprob  28055
  Copyright terms: Public domain W3C validator