Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cofuval Structured version   Unicode version

Theorem cofuval 15786
 Description: Value of the composition of two functors. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cofuval.b
cofuval.f
cofuval.g
Assertion
Ref Expression
cofuval func
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem cofuval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-cofu 15764 . . 3 func
21a1i 11 . 2 func
3 simprl 762 . . . . 5
43fveq2d 5885 . . . 4
5 simprr 764 . . . . 5
65fveq2d 5885 . . . 4
74, 6coeq12d 5018 . . 3
85fveq2d 5885 . . . . . . . 8
98dmeqd 5056 . . . . . . 7
10 cofuval.b . . . . . . . . . 10
11 relfunc 15766 . . . . . . . . . . 11
12 cofuval.f . . . . . . . . . . 11
13 1st2ndbr 6856 . . . . . . . . . . 11
1411, 12, 13sylancr 667 . . . . . . . . . 10
1510, 14funcfn2 15773 . . . . . . . . 9
16 fndm 5693 . . . . . . . . 9
1715, 16syl 17 . . . . . . . 8
1817adantr 466 . . . . . . 7
199, 18eqtrd 2463 . . . . . 6
2019dmeqd 5056 . . . . 5
21 dmxpid 5073 . . . . 5
2220, 21syl6eq 2479 . . . 4
233fveq2d 5885 . . . . . 6
246fveq1d 5883 . . . . . 6
256fveq1d 5883 . . . . . 6
2623, 24, 25oveq123d 6326 . . . . 5
278oveqd 6322 . . . . 5
2826, 27coeq12d 5018 . . . 4
2922, 22, 28mpt2eq123dv 6367 . . 3
307, 29opeq12d 4195 . 2
31 cofuval.g . . 3
32 elex 3089 . . 3
3331, 32syl 17 . 2
34 elex 3089 . . 3
3512, 34syl 17 . 2
36 opex 4685 . . 3
3736a1i 11 . 2
382, 30, 33, 35, 37ovmpt2d 6438 1 func
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   wceq 1437   wcel 1872  cvv 3080  cop 4004   class class class wbr 4423   cxp 4851   cdm 4853   ccom 4857   wrel 4858   wfn 5596  cfv 5601  (class class class)co 6305   cmpt2 6307  c1st 6805  c2nd 6806  cbs 15120   cfunc 15758   func ccofu 15760 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-map 7485  df-ixp 7534  df-func 15762  df-cofu 15764 This theorem is referenced by:  cofu1st  15787  cofu2nd  15789  cofuval2  15791  cofucl  15792  cofuass  15793  cofulid  15794  cofurid  15795  prf1st  16088  prf2nd  16089
 Copyright terms: Public domain W3C validator