Theorem cofunexg 4501

Description: Existence of a composition when the first member is a function.

Assertion

Ref	Expression
cofunexg	|- ((Fun A /\ B e. C) -> (A o. B) e. _V)

Proof of Theorem cofunexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssexg 3457	. 2 |- (((A o. B) C_ (dom ( A o. B) X. ran ( A o. B)) /\ (dom ( A o. B) X. ran ( A o. B)) e. _V) -> (A o. B) e. _V)
2		relco 4392	. . 3 |- Rel (A o. B)
3		relssdmrn 4416	. . 3 |- (Rel (A o. B) -> (A o. B) C_ (dom ( A o. B) X. ran ( A o. B)))
4	2, 3	ax-mp 7	. 2 |- (A o. B) C_ (dom ( A o. B) X. ran ( A o. B))
5		ssexg 3457	. . . . 5 |- ((dom ( A o. B) C_ dom B /\ dom B e. _V) -> dom ( A o. B) e. _V)
6		dmcoss 4211	. . . . 5 |- dom ( A o. B) C_ dom B
7		dmexg 4206	. . . . 5 |- (B e. C -> dom B e. _V)
8	5, 6, 7	sylancr 526	. . . 4 |- (B e. C -> dom ( A o. B) e. _V)
9	8	adantl 424	. . 3 |- ((Fun A /\ B e. C) -> dom ( A o. B) e. _V)
10		resfunexg 4500	. . . . . 6 |- ((Fun A /\ ran B e. _V) -> (A |` ran B) e. _V)
11		rnexg 4207	. . . . . 6 |- (B e. C -> ran B e. _V)
12	10, 11	sylan2 500	. . . . 5 |- ((Fun A /\ B e. C) -> (A |` ran B) e. _V)
13		rnexg 4207	. . . . 5 |- ((A |` ran B) e. _V -> ran ( A |` ran B) e. _V)
14	12, 13	syl 12	. . . 4 |- ((Fun A /\ B e. C) -> ran ( A |` ran B) e. _V)
15		rnco 4404	. . . 4 |- ran ( A o. B) = ran ( A |` ran B)
16	14, 15	syl5eqel 1975	. . 3 |- ((Fun A /\ B e. C) -> ran ( A o. B) e. _V)
17		xpexg 4095	. . 3 |- ((dom ( A o. B) e. _V /\ ran ( A o. B) e. _V) -> (dom ( A o. B) X. ran ( A o. B)) e. _V)
18	9, 16, 17	syl11anc 524	. 2 |- ((Fun A /\ B e. C) -> (dom ( A o. B) X. ran ( A o. B)) e. _V)
19	1, 4, 18	sylancr 526	1 |- ((Fun A /\ B e. C) -> (A o. B) e. _V)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   e. wcel 1300  _Vcvv 2292   C_ wss 2593   X. cxp 3984  dom cdm 3986  ran crn 3987   |` cres 3988   o. ccom 3990  Rel wrel 3991  Fun wfun 3992

This theorem is referenced by:  cofunex2g 4502

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008

Copyright terms: Public domain