MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cofunex2g Structured version   Unicode version

Theorem cofunex2g 6746
Description: Existence of a composition when the second member is one-to-one. (Contributed by NM, 8-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
cofunex2g  |-  ( ( A  e.  V  /\  Fun  `' B )  ->  ( A  o.  B )  e.  _V )

Proof of Theorem cofunex2g
StepHypRef Expression
1 cnvexg 6727 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  `' A  e.  _V )
2 cofunexg 6745 . . . 4  |-  ( ( Fun  `' B  /\  `' A  e.  _V )  ->  ( `' B  o.  `' A )  e.  _V )
31, 2sylan2 474 . . 3  |-  ( ( Fun  `' B  /\  A  e.  V )  ->  ( `' B  o.  `' A )  e.  _V )
4 cnvco 5174 . . . . 5  |-  `' ( `' B  o.  `' A )  =  ( `' `' A  o.  `' `' B )
5 cocnvcnv2 5505 . . . . 5  |-  ( `' `' A  o.  `' `' B )  =  ( `' `' A  o.  B
)
6 cocnvcnv1 5504 . . . . 5  |-  ( `' `' A  o.  B
)  =  ( A  o.  B )
74, 5, 63eqtrri 2475 . . . 4  |-  ( A  o.  B )  =  `' ( `' B  o.  `' A )
8 cnvexg 6727 . . . 4  |-  ( ( `' B  o.  `' A )  e.  _V  ->  `' ( `' B  o.  `' A )  e.  _V )
97, 8syl5eqel 2533 . . 3  |-  ( ( `' B  o.  `' A )  e.  _V  ->  ( A  o.  B
)  e.  _V )
103, 9syl 16 . 2  |-  ( ( Fun  `' B  /\  A  e.  V )  ->  ( A  o.  B
)  e.  _V )
1110ancoms 453 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  Fun  `' B )  ->  ( A  o.  B )  e.  _V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1802   _Vcvv 3093   `'ccnv 4984    o. ccom 4989   Fun wfun 5568
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-id 4781  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582
This theorem is referenced by:  fsuppco  7859
  Copyright terms: Public domain W3C validator