Theorem cofunex2g 4502

Description: Existence of a composition when the second member is one-to-one.

Assertion

Ref	Expression
cofunex2g	|- ((A e. C /\ Fun `'B) -> (A o. B) e. _V)

Proof of Theorem cofunex2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cofunexg 4501	. . . 4 |- ((Fun `'B /\ `'A e. _V) -> (`'B o. `'A) e. _V)
2		cnvexg 4424	. . . 4 |- (A e. C -> `'A e. _V)
3	1, 2	sylan2 500	. . 3 |- ((Fun `'B /\ A e. C) -> (`'B o. `'A) e. _V)
4		cnvexg 4424	. . . 4 |- ((`'B o. `'A) e. _V -> `'(`'B o. `'A) e. _V)
5		cnvco 4145	. . . . 5 |- `'(`'B o. `'A) = (`'`'A o. `'`'B)
6		cocnvcnv2 4409	. . . . 5 |- (`'`'A o. `'`'B) = (`'`'A o. B)
7		cocnvcnv1 4408	. . . . 5 |- (`'`'A o. B) = (A o. B)
8	5, 6, 7	3eqtrri 1913	. . . 4 |- (A o. B) = `'(`'B o. `'A)
9	4, 8	syl5eqel 1975	. . 3 |- ((`'B o. `'A) e. _V -> (A o. B) e. _V)
10	3, 9	syl 12	. 2 |- ((Fun `'B /\ A e. C) -> (A o. B) e. _V)
11	10	ancoms 484	1 |- ((A e. C /\ Fun `'B) -> (A o. B) e. _V)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   e. wcel 1300  _Vcvv 2292  `'ccnv 3985   o. ccom 3990  Fun wfun 3992

This theorem is referenced by:  domrancur1clem 14549  domrancur1c 14550

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008

Copyright terms: Public domain