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Theorem cofucl 15871

Description: The composition of two functors is a functor. Proposition 3.23 of [Adamek] p. 33. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
cofucl.f
cofucl.g

**Assertion**
Ref	Expression
cofucl	_func

Proof of Theorem cofucl Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2471	. . . 4
2		cofucl.f	. . . 4
3		cofucl.g	. . . 4
4	1, 2, 3	cofuval 15865	. . 3 _func
5	1, 2, 3	cofu1st 15866	. . . 4 _func
6	4	fveq2d 5883	. . . . 5 _func
7		fvex 5889	. . . . . . 7
8		fvex 5889	. . . . . . 7
9	7, 8	coex 6764	. . . . . 6
10		fvex 5889	. . . . . . 7
11	10, 10	mpt2ex 6889	. . . . . 6
12	9, 11	op2nd 6821	. . . . 5
13	6, 12	syl6eq 2521	. . . 4 _func
14	5, 13	opeq12d 4166	. . 3 _func _func
15	4, 14	eqtr4d 2508	. 2 _func _func _func
16		eqid 2471	. . . . . . 7
17		eqid 2471	. . . . . . 7
18		relfunc 15845	. . . . . . . 8
19		1st2ndbr 6861	. . . . . . . 8 $/\$
20	18, 3, 19	sylancr 676	. . . . . . 7
21	16, 17, 20	funcf1 15849	. . . . . 6
22		relfunc 15845	. . . . . . . 8
23		1st2ndbr 6861	. . . . . . . 8 $/\$
24	22, 2, 23	sylancr 676	. . . . . . 7
25	1, 16, 24	funcf1 15849	. . . . . 6
26		fco 5751	. . . . . 6 $/\$
27	21, 25, 26	syl2anc 673	. . . . 5
28	5	feq1d 5724	. . . . 5 _func
29	27, 28	mpbird 240	. . . 4 _func
30		eqid 2471	. . . . . . 7
31		ovex 6336	. . . . . . . 8
32		ovex 6336	. . . . . . . 8
33	31, 32	coex 6764	. . . . . . 7
34	30, 33	fnmpt2i 6881	. . . . . 6
35	13	fneq1d 5676	. . . . . 6 _func
36	34, 35	mpbiri 241	. . . . 5 _func
37		eqid 2471	. . . . . . . . . . 11
38		eqid 2471	. . . . . . . . . . 11
39	20	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
40	25	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
41		simprl 772	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
42	40, 41	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
43		simprr 774	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
44	40, 43	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
45	16, 37, 38, 39, 42, 44	funcf2 15851	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
46		eqid 2471	. . . . . . . . . . 11
47	24	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
48	1, 46, 37, 47, 41, 43	funcf2 15851	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
49		fco 5751	. . . . . . . . . 10 $/\$
50	45, 48, 49	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
51		ovex 6336	. . . . . . . . . 10
52		ovex 6336	. . . . . . . . . 10
53	51, 52	elmap 7518	. . . . . . . . 9
54	50, 53	sylibr 217	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
55	2	adantr 472	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
56	3	adantr 472	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
57	1, 55, 56, 41, 43	cofu2nd 15868	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ _func
58	1, 55, 56, 41	cofu1 15867	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ _func
59	1, 55, 56, 43	cofu1 15867	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ _func
60	58, 59	oveq12d 6326	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ _func _func
61	60	oveq1d 6323	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ _func _func
62	54, 57, 61	3eltr4d 2564	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ _func _func _func
63	62	ralrimivva 2814	. . . . . 6 _func _func _func
64		fveq2 5879	. . . . . . . . 9 _func _func
65		df-ov 6311	. . . . . . . . 9 _func _func
66	64, 65	syl6eqr 2523	. . . . . . . 8 _func _func
67		vex 3034	. . . . . . . . . . . 12
68		vex 3034	. . . . . . . . . . . 12
69	67, 68	op1std 6822	. . . . . . . . . . 11
70	69	fveq2d 5883	. . . . . . . . . 10 _func _func
71	67, 68	op2ndd 6823	. . . . . . . . . . 11
72	71	fveq2d 5883	. . . . . . . . . 10 _func _func
73	70, 72	oveq12d 6326	. . . . . . . . 9 _func _func _func _func
74		fveq2 5879	. . . . . . . . . 10
75		df-ov 6311	. . . . . . . . . 10
76	74, 75	syl6eqr 2523	. . . . . . . . 9
77	73, 76	oveq12d 6326	. . . . . . . 8 _func _func _func _func
78	66, 77	eleq12d 2543	. . . . . . 7 _func _func _func _func _func _func
79	78	ralxp 4981	. . . . . 6 _func _func _func _func _func _func
80	63, 79	sylibr 217	. . . . 5 _func _func _func
81		fvex 5889	. . . . . 6 _func
82	81	elixp 7547	. . . . 5 _func _func _func _func $/\$ _func _func _func
83	36, 80, 82	sylanbrc 677	. . . 4 _func _func _func
84		eqid 2471	. . . . . . . . . 10
85		eqid 2471	. . . . . . . . . 10
86	24	adantr 472	. . . . . . . . . 10 $/\$
87		simpr 468	. . . . . . . . . 10 $/\$
88	1, 84, 85, 86, 87	funcid 15853	. . . . . . . . 9 $/\$
89	88	fveq2d 5883	. . . . . . . 8 $/\$
90		eqid 2471	. . . . . . . . 9
91	20	adantr 472	. . . . . . . . 9 $/\$
92	25	ffvelrnda 6037	. . . . . . . . 9 $/\$
93	16, 85, 90, 91, 92	funcid 15853	. . . . . . . 8 $/\$
94	89, 93	eqtrd 2505	. . . . . . 7 $/\$
95	2	adantr 472	. . . . . . . 8 $/\$
96	3	adantr 472	. . . . . . . 8 $/\$
97		funcrcl 15846	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
98	2, 97	syl 17	. . . . . . . . . . 11 $/\$
99	98	simpld 466	. . . . . . . . . 10
100	99	adantr 472	. . . . . . . . 9 $/\$
101	1, 46, 84, 100, 87	catidcl 15666	. . . . . . . 8 $/\$
102	1, 95, 96, 87, 87, 46, 101	cofu2 15869	. . . . . . 7 $/\$ _func
103	1, 95, 96, 87	cofu1 15867	. . . . . . . 8 $/\$ _func
104	103	fveq2d 5883	. . . . . . 7 $/\$ _func
105	94, 102, 104	3eqtr4d 2515	. . . . . 6 $/\$ _func _func
106	86	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107		simplr 770	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108		simprlr 781	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	1, 46, 37, 106, 107, 108	funcf2 15851	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . 13 comp comp
111	100	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112		simprll 780	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113		simprrl 782	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
114		simprrr 783	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115	1, 46, 110, 111, 107, 112, 108, 113, 114	catcocl 15669	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ comp
116		fvco3 5957	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ comp comp comp
117	109, 115, 116	syl2anc 673	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ comp comp
118		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . 13 comp comp
119	1, 46, 110, 118, 106, 107, 112, 108, 113, 114	funcco 15854	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ comp comp
120	119	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ comp comp
121		eqid 2471	. . . . . . . . . . . 12 comp comp
122	91	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
123	92	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
124	25	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
125	124	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
126	125, 112	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
127	125, 108	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	1, 46, 37, 106, 107, 112	funcf2 15851	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129	128, 113	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	1, 46, 37, 106, 112, 108	funcf2 15851	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	130, 114	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132	16, 37, 118, 121, 122, 123, 126, 127, 129, 131	funcco 15854	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ comp comp
133	117, 120, 132	3eqtrd 2509	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ comp comp
134	95	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
135	96	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
136	1, 134, 135, 107, 108	cofu2nd 15868	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func
137	136	fveq1d 5881	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func comp comp
138	103	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func
139	1, 134, 135, 112	cofu1 15867	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func
140	138, 139	opeq12d 4166	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func _func
141	1, 134, 135, 108	cofu1 15867	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func
142	140, 141	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func _func comp _func comp
143	1, 134, 135, 112, 108, 46, 114	cofu2 15869	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func
144	1, 134, 135, 107, 112, 46, 113	cofu2 15869	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func
145	142, 143, 144	oveq123d 6329	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func _func _func comp _func _func comp
146	133, 137, 145	3eqtr4d 2515	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func comp _func _func _func comp _func _func
147	146	anassrs 660	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func comp _func _func _func comp _func _func
148	147	ralrimivva 2814	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ _func comp _func _func _func comp _func _func
149	148	ralrimivva 2814	. . . . . 6 $/\$ _func comp _func _func _func comp _func _func
150	105, 149	jca 541	. . . . 5 $/\$ _func _func $/\$ _func comp _func _func _func comp _func _func
151	150	ralrimiva 2809	. . . 4 _func _func $/\$ _func comp _func _func _func comp _func _func
152		funcrcl 15846	. . . . . . 7 $/\$
153	3, 152	syl 17	. . . . . 6 $/\$
154	153	simprd 470	. . . . 5
155	1, 17, 46, 38, 84, 90, 110, 121, 99, 154	isfunc 15847	. . . 4 _func _func _func $/\$ _func _func _func $/\$ _func _func $/\$ _func comp _func _func _func comp _func _func
156	29, 83, 151, 155	mpbir3and 1213	. . 3 _func _func
157		df-br 4396	. . 3 _func _func _func _func
158	156, 157	sylib 201	. 2 _func _func
159	15, 158	eqeltrd 2549	1 _func

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 376

wceq 1452

wcel 1904

wral 2756

cop 3965 class class class wbr 4395

cxp 4837

ccom 4843

wrel 4844

wfn 5584

wf 5585

cfv 5589 (class class class)co 6308

cmpt2 6310

c1st 6810

c2nd 6811

cmap 7490

cixp 7540

cbs 15199

chom 15279 compcco 15280

ccat 15648

ccid 15649

cfunc 15837

_func ccofu 15839

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1677 ax-4 1690 ax-5 1766 ax-6 1813 ax-7 1859 ax-8 1906 ax-9 1913 ax-10 1932 ax-11 1937 ax-12 1950 ax-13 2104 ax-ext 2451 ax-rep 4508 ax-sep 4518 ax-nul 4527 ax-pow 4579 ax-pr 4639 ax-un 6602

This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 377 df-an 378 df-3an 1009 df-tru 1455 df-ex 1672 df-nf 1676 df-sb 1806 df-eu 2323 df-mo 2324 df-clab 2458 df-cleq 2464 df-clel 2467 df-nfc 2601 df-ne 2643 df-ral 2761 df-rex 2762 df-reu 2763 df-rmo 2764 df-rab 2765 df-v 3033 df-sbc 3256 df-csb 3350 df-dif 3393 df-un 3395 df-in 3397 df-ss 3404 df-nul 3723 df-if 3873 df-pw 3944 df-sn 3960 df-pr 3962 df-op 3966 df-uni 4191 df-iun 4271 df-br 4396 df-opab 4455 df-mpt 4456 df-id 4754 df-xp 4845 df-rel 4846 df-cnv 4847 df-co 4848 df-dm 4849 df-rn 4850 df-res 4851 df-ima 4852 df-iota 5553 df-fun 5591 df-fn 5592 df-f 5593 df-f1 5594 df-fo 5595 df-f1o 5596 df-fv 5597 df-riota 6270 df-ov 6311 df-oprab 6312 df-mpt2 6313 df-1st 6812 df-2nd 6813 df-map 7492 df-ixp 7541 df-cat 15652 df-cid 15653 df-func 15841 df-cofu 15843

This theorem is referenced by: cofuass 15872 cofull 15917 cofth 15918 catccatid 16075 1st2ndprf 16169 uncfcl 16198 uncf1 16199 uncf2 16200 yonedalem1 16235 yonedalem21 16236 yonedalem22 16241 funcrngcsetcALT 40509

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