cofucl - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer	< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > cofucl		Structured version Unicode version

Theorem cofucl 14916

Description: The composition of two functors is a functor. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
cofucl.f
cofucl.g

**Assertion**
Ref	Expression
cofucl	_func

Proof of Theorem cofucl Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2454	. . . 4
2		cofucl.f	. . . 4
3		cofucl.g	. . . 4
4	1, 2, 3	cofuval 14910	. . 3 _func
5	1, 2, 3	cofu1st 14911	. . . 4 _func
6	4	fveq2d 5802	. . . . 5 _func
7		fvex 5808	. . . . . . 7
8		fvex 5808	. . . . . . 7
9	7, 8	coex 6638	. . . . . 6
10		fvex 5808	. . . . . . 7
11	10, 10	mpt2ex 6759	. . . . . 6
12	9, 11	op2nd 6695	. . . . 5
13	6, 12	syl6eq 2511	. . . 4 _func
14	5, 13	opeq12d 4174	. . 3 _func _func
15	4, 14	eqtr4d 2498	. 2 _func _func _func
16		eqid 2454	. . . . . . 7
17		eqid 2454	. . . . . . 7
18		relfunc 14890	. . . . . . . 8
19		1st2ndbr 6732	. . . . . . . 8 $/\$
20	18, 3, 19	sylancr 663	. . . . . . 7
21	16, 17, 20	funcf1 14894	. . . . . 6
22		relfunc 14890	. . . . . . . 8
23		1st2ndbr 6732	. . . . . . . 8 $/\$
24	22, 2, 23	sylancr 663	. . . . . . 7
25	1, 16, 24	funcf1 14894	. . . . . 6
26		fco 5675	. . . . . 6 $/\$
27	21, 25, 26	syl2anc 661	. . . . 5
28	5	feq1d 5653	. . . . 5 _func
29	27, 28	mpbird 232	. . . 4 _func
30		eqid 2454	. . . . . . 7
31		ovex 6224	. . . . . . . 8
32		ovex 6224	. . . . . . . 8
33	31, 32	coex 6638	. . . . . . 7
34	30, 33	fnmpt2i 6752	. . . . . 6
35	13	fneq1d 5608	. . . . . 6 _func
36	34, 35	mpbiri 233	. . . . 5 _func
37		eqid 2454	. . . . . . . . . . 11
38		eqid 2454	. . . . . . . . . . 11
39	20	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
40	25	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
41		simprl 755	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
42	40, 41	ffvelrnd 5952	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
43		simprr 756	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
44	40, 43	ffvelrnd 5952	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
45	16, 37, 38, 39, 42, 44	funcf2 14896	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
46		eqid 2454	. . . . . . . . . . 11
47	24	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
48	1, 46, 37, 47, 41, 43	funcf2 14896	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
49		fco 5675	. . . . . . . . . 10 $/\$
50	45, 48, 49	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
51		ovex 6224	. . . . . . . . . 10
52		ovex 6224	. . . . . . . . . 10
53	51, 52	elmap 7350	. . . . . . . . 9
54	50, 53	sylibr 212	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
55	2	adantr 465	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
56	3	adantr 465	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
57	1, 55, 56, 41, 43	cofu2nd 14913	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ _func
58	1, 55, 56, 41	cofu1 14912	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ _func
59	1, 55, 56, 43	cofu1 14912	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ _func
60	58, 59	oveq12d 6217	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ _func _func
61	60	oveq1d 6214	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ _func _func
62	54, 57, 61	3eltr4d 2557	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ _func _func _func
63	62	ralrimivva 2912	. . . . . 6 _func _func _func
64		fveq2 5798	. . . . . . . . 9 _func _func
65		df-ov 6202	. . . . . . . . 9 _func _func
66	64, 65	syl6eqr 2513	. . . . . . . 8 _func _func
67		vex 3079	. . . . . . . . . . . 12
68		vex 3079	. . . . . . . . . . . 12
69	67, 68	op1std 6696	. . . . . . . . . . 11
70	69	fveq2d 5802	. . . . . . . . . 10 _func _func
71	67, 68	op2ndd 6697	. . . . . . . . . . 11
72	71	fveq2d 5802	. . . . . . . . . 10 _func _func
73	70, 72	oveq12d 6217	. . . . . . . . 9 _func _func _func _func
74		fveq2 5798	. . . . . . . . . 10
75		df-ov 6202	. . . . . . . . . 10
76	74, 75	syl6eqr 2513	. . . . . . . . 9
77	73, 76	oveq12d 6217	. . . . . . . 8 _func _func _func _func
78	66, 77	eleq12d 2536	. . . . . . 7 _func _func _func _func _func _func
79	78	ralxp 5088	. . . . . 6 _func _func _func _func _func _func
80	63, 79	sylibr 212	. . . . 5 _func _func _func
81		fvex 5808	. . . . . 6 _func
82	81	elixp 7379	. . . . 5 _func _func _func _func $/\$ _func _func _func
83	36, 80, 82	sylanbrc 664	. . . 4 _func _func _func
84		eqid 2454	. . . . . . . . . 10
85		eqid 2454	. . . . . . . . . 10
86	24	adantr 465	. . . . . . . . . 10 $/\$
87		simpr 461	. . . . . . . . . 10 $/\$
88	1, 84, 85, 86, 87	funcid 14898	. . . . . . . . 9 $/\$
89	88	fveq2d 5802	. . . . . . . 8 $/\$
90		eqid 2454	. . . . . . . . 9
91	20	adantr 465	. . . . . . . . 9 $/\$
92	25	ffvelrnda 5951	. . . . . . . . 9 $/\$
93	16, 85, 90, 91, 92	funcid 14898	. . . . . . . 8 $/\$
94	89, 93	eqtrd 2495	. . . . . . 7 $/\$
95	2	adantr 465	. . . . . . . 8 $/\$
96	3	adantr 465	. . . . . . . 8 $/\$
97		funcrcl 14891	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
98	2, 97	syl 16	. . . . . . . . . . 11 $/\$
99	98	simpld 459	. . . . . . . . . 10
100	99	adantr 465	. . . . . . . . 9 $/\$
101	1, 46, 84, 100, 87	catidcl 14738	. . . . . . . 8 $/\$
102	1, 95, 96, 87, 87, 46, 101	cofu2 14914	. . . . . . 7 $/\$ _func
103	1, 95, 96, 87	cofu1 14912	. . . . . . . 8 $/\$ _func
104	103	fveq2d 5802	. . . . . . 7 $/\$ _func
105	94, 102, 104	3eqtr4d 2505	. . . . . 6 $/\$ _func _func
106	86	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107		simplr 754	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108		simprlr 762	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	1, 46, 37, 106, 107, 108	funcf2 14896	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . 13 comp comp
111	100	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112		simprll 761	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113		simprrl 763	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
114		simprrr 764	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115	1, 46, 110, 111, 107, 112, 108, 113, 114	catcocl 14741	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ comp
116		fvco3 5876	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ comp comp comp
117	109, 115, 116	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ comp comp
118		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . 13 comp comp
119	1, 46, 110, 118, 106, 107, 112, 108, 113, 114	funcco 14899	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ comp comp
120	119	fveq2d 5802	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ comp comp
121		eqid 2454	. . . . . . . . . . . 12 comp comp
122	91	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
123	92	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
124	25	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
125	124	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
126	125, 112	ffvelrnd 5952	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
127	125, 108	ffvelrnd 5952	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	1, 46, 37, 106, 107, 112	funcf2 14896	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129	128, 113	ffvelrnd 5952	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	1, 46, 37, 106, 112, 108	funcf2 14896	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	130, 114	ffvelrnd 5952	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132	16, 37, 118, 121, 122, 123, 126, 127, 129, 131	funcco 14899	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ comp comp
133	117, 120, 132	3eqtrd 2499	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ comp comp
134	95	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
135	96	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
136	1, 134, 135, 107, 108	cofu2nd 14913	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func
137	136	fveq1d 5800	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func comp comp
138	103	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func
139	1, 134, 135, 112	cofu1 14912	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func
140	138, 139	opeq12d 4174	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func _func
141	1, 134, 135, 108	cofu1 14912	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func
142	140, 141	oveq12d 6217	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func _func comp _func comp
143	1, 134, 135, 112, 108, 46, 114	cofu2 14914	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func
144	1, 134, 135, 107, 112, 46, 113	cofu2 14914	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func
145	142, 143, 144	oveq123d 6220	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func _func _func comp _func _func comp
146	133, 137, 145	3eqtr4d 2505	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func comp _func _func _func comp _func _func
147	146	anassrs 648	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func comp _func _func _func comp _func _func
148	147	ralrimivva 2912	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ _func comp _func _func _func comp _func _func
149	148	ralrimivva 2912	. . . . . 6 $/\$ _func comp _func _func _func comp _func _func
150	105, 149	jca 532	. . . . 5 $/\$ _func _func $/\$ _func comp _func _func _func comp _func _func
151	150	ralrimiva 2829	. . . 4 _func _func $/\$ _func comp _func _func _func comp _func _func
152		funcrcl 14891	. . . . . . 7 $/\$
153	3, 152	syl 16	. . . . . 6 $/\$
154	153	simprd 463	. . . . 5
155	1, 17, 46, 38, 84, 90, 110, 121, 99, 154	isfunc 14892	. . . 4 _func _func _func $/\$ _func _func _func $/\$ _func _func $/\$ _func comp _func _func _func comp _func _func
156	29, 83, 151, 155	mpbir3and 1171	. . 3 _func _func
157		df-br 4400	. . 3 _func _func _func _func
158	156, 157	sylib 196	. 2 _func _func
159	15, 158	eqeltrd 2542	1 _func

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 369

wceq 1370

wcel 1758

wral 2798

cop 3990 class class class wbr 4399

cxp 4945

ccom 4951

wrel 4952

wfn 5520

wf 5521

cfv 5525 (class class class)co 6199

cmpt2 6201

c1st 6684

c2nd 6685

cmap 7323

cixp 7372

cbs 14291

chom 14367 compcco 14368

ccat 14720

ccid 14721

cfunc 14882

_func ccofu 14884

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1592 ax-4 1603 ax-5 1671 ax-6 1710 ax-7 1730 ax-8 1760 ax-9 1762 ax-10 1777 ax-11 1782 ax-12 1794 ax-13 1955 ax-ext 2432 ax-rep 4510 ax-sep 4520 ax-nul 4528 ax-pow 4577 ax-pr 4638 ax-un 6481

This theorem depends on definitions: df-bi 185 df-or 370 df-an 371 df-3an 967 df-tru 1373 df-ex 1588 df-nf 1591 df-sb 1703 df-eu 2266 df-mo 2267 df-clab 2440 df-cleq 2446 df-clel 2449 df-nfc 2604 df-ne 2649 df-ral 2803 df-rex 2804 df-reu 2805 df-rmo 2806 df-rab 2807 df-v 3078 df-sbc 3293 df-csb 3395 df-dif 3438 df-un 3440 df-in 3442 df-ss 3449 df-nul 3745 df-if 3899 df-pw 3969 df-sn 3985 df-pr 3987 df-op 3991 df-uni 4199 df-iun 4280 df-br 4400 df-opab 4458 df-mpt 4459 df-id 4743 df-xp 4953 df-rel 4954 df-cnv 4955 df-co 4956 df-dm 4957 df-rn 4958 df-res 4959 df-ima 4960 df-iota 5488 df-fun 5527 df-fn 5528 df-f 5529 df-f1 5530 df-fo 5531 df-f1o 5532 df-fv 5533 df-riota 6160 df-ov 6202 df-oprab 6203 df-mpt2 6204 df-1st 6686 df-2nd 6687 df-map 7325 df-ixp 7373 df-cat 14724 df-cid 14725 df-func 14886 df-cofu 14888

This theorem is referenced by: cofuass 14917 cofull 14962 cofth 14963 catccatid 15088 1st2ndprf 15134 uncfcl 15163 uncf1 15164 uncf2 15165 yonedalem1 15200 yonedalem21 15201 yonedalem22 15206

W3C validator