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Theorem cofucl 15115

Description: The composition of two functors is a functor. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
cofucl.f
cofucl.g

**Assertion**
Ref	Expression
cofucl	_func

Proof of Theorem cofucl Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2467	. . . 4
2		cofucl.f	. . . 4
3		cofucl.g	. . . 4
4	1, 2, 3	cofuval 15109	. . 3 _func
5	1, 2, 3	cofu1st 15110	. . . 4 _func
6	4	fveq2d 5870	. . . . 5 _func
7		fvex 5876	. . . . . . 7
8		fvex 5876	. . . . . . 7
9	7, 8	coex 6736	. . . . . 6
10		fvex 5876	. . . . . . 7
11	10, 10	mpt2ex 6860	. . . . . 6
12	9, 11	op2nd 6793	. . . . 5
13	6, 12	syl6eq 2524	. . . 4 _func
14	5, 13	opeq12d 4221	. . 3 _func _func
15	4, 14	eqtr4d 2511	. 2 _func _func _func
16		eqid 2467	. . . . . . 7
17		eqid 2467	. . . . . . 7
18		relfunc 15089	. . . . . . . 8
19		1st2ndbr 6833	. . . . . . . 8 $/\$
20	18, 3, 19	sylancr 663	. . . . . . 7
21	16, 17, 20	funcf1 15093	. . . . . 6
22		relfunc 15089	. . . . . . . 8
23		1st2ndbr 6833	. . . . . . . 8 $/\$
24	22, 2, 23	sylancr 663	. . . . . . 7
25	1, 16, 24	funcf1 15093	. . . . . 6
26		fco 5741	. . . . . 6 $/\$
27	21, 25, 26	syl2anc 661	. . . . 5
28	5	feq1d 5717	. . . . 5 _func
29	27, 28	mpbird 232	. . . 4 _func
30		eqid 2467	. . . . . . 7
31		ovex 6309	. . . . . . . 8
32		ovex 6309	. . . . . . . 8
33	31, 32	coex 6736	. . . . . . 7
34	30, 33	fnmpt2i 6853	. . . . . 6
35	13	fneq1d 5671	. . . . . 6 _func
36	34, 35	mpbiri 233	. . . . 5 _func
37		eqid 2467	. . . . . . . . . . 11
38		eqid 2467	. . . . . . . . . . 11
39	20	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
40	25	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
41		simprl 755	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
42	40, 41	ffvelrnd 6022	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
43		simprr 756	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
44	40, 43	ffvelrnd 6022	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
45	16, 37, 38, 39, 42, 44	funcf2 15095	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
46		eqid 2467	. . . . . . . . . . 11
47	24	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
48	1, 46, 37, 47, 41, 43	funcf2 15095	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
49		fco 5741	. . . . . . . . . 10 $/\$
50	45, 48, 49	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
51		ovex 6309	. . . . . . . . . 10
52		ovex 6309	. . . . . . . . . 10
53	51, 52	elmap 7447	. . . . . . . . 9
54	50, 53	sylibr 212	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
55	2	adantr 465	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
56	3	adantr 465	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
57	1, 55, 56, 41, 43	cofu2nd 15112	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ _func
58	1, 55, 56, 41	cofu1 15111	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ _func
59	1, 55, 56, 43	cofu1 15111	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ _func
60	58, 59	oveq12d 6302	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ _func _func
61	60	oveq1d 6299	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ _func _func
62	54, 57, 61	3eltr4d 2570	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ _func _func _func
63	62	ralrimivva 2885	. . . . . 6 _func _func _func
64		fveq2 5866	. . . . . . . . 9 _func _func
65		df-ov 6287	. . . . . . . . 9 _func _func
66	64, 65	syl6eqr 2526	. . . . . . . 8 _func _func
67		vex 3116	. . . . . . . . . . . 12
68		vex 3116	. . . . . . . . . . . 12
69	67, 68	op1std 6794	. . . . . . . . . . 11
70	69	fveq2d 5870	. . . . . . . . . 10 _func _func
71	67, 68	op2ndd 6795	. . . . . . . . . . 11
72	71	fveq2d 5870	. . . . . . . . . 10 _func _func
73	70, 72	oveq12d 6302	. . . . . . . . 9 _func _func _func _func
74		fveq2 5866	. . . . . . . . . 10
75		df-ov 6287	. . . . . . . . . 10
76	74, 75	syl6eqr 2526	. . . . . . . . 9
77	73, 76	oveq12d 6302	. . . . . . . 8 _func _func _func _func
78	66, 77	eleq12d 2549	. . . . . . 7 _func _func _func _func _func _func
79	78	ralxp 5144	. . . . . 6 _func _func _func _func _func _func
80	63, 79	sylibr 212	. . . . 5 _func _func _func
81		fvex 5876	. . . . . 6 _func
82	81	elixp 7476	. . . . 5 _func _func _func _func $/\$ _func _func _func
83	36, 80, 82	sylanbrc 664	. . . 4 _func _func _func
84		eqid 2467	. . . . . . . . . 10
85		eqid 2467	. . . . . . . . . 10
86	24	adantr 465	. . . . . . . . . 10 $/\$
87		simpr 461	. . . . . . . . . 10 $/\$
88	1, 84, 85, 86, 87	funcid 15097	. . . . . . . . 9 $/\$
89	88	fveq2d 5870	. . . . . . . 8 $/\$
90		eqid 2467	. . . . . . . . 9
91	20	adantr 465	. . . . . . . . 9 $/\$
92	25	ffvelrnda 6021	. . . . . . . . 9 $/\$
93	16, 85, 90, 91, 92	funcid 15097	. . . . . . . 8 $/\$
94	89, 93	eqtrd 2508	. . . . . . 7 $/\$
95	2	adantr 465	. . . . . . . 8 $/\$
96	3	adantr 465	. . . . . . . 8 $/\$
97		funcrcl 15090	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
98	2, 97	syl 16	. . . . . . . . . . 11 $/\$
99	98	simpld 459	. . . . . . . . . 10
100	99	adantr 465	. . . . . . . . 9 $/\$
101	1, 46, 84, 100, 87	catidcl 14937	. . . . . . . 8 $/\$
102	1, 95, 96, 87, 87, 46, 101	cofu2 15113	. . . . . . 7 $/\$ _func
103	1, 95, 96, 87	cofu1 15111	. . . . . . . 8 $/\$ _func
104	103	fveq2d 5870	. . . . . . 7 $/\$ _func
105	94, 102, 104	3eqtr4d 2518	. . . . . 6 $/\$ _func _func
106	86	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107		simplr 754	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108		simprlr 762	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	1, 46, 37, 106, 107, 108	funcf2 15095	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . 13 comp comp
111	100	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112		simprll 761	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113		simprrl 763	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
114		simprrr 764	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115	1, 46, 110, 111, 107, 112, 108, 113, 114	catcocl 14940	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ comp
116		fvco3 5944	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ comp comp comp
117	109, 115, 116	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ comp comp
118		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . 13 comp comp
119	1, 46, 110, 118, 106, 107, 112, 108, 113, 114	funcco 15098	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ comp comp
120	119	fveq2d 5870	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ comp comp
121		eqid 2467	. . . . . . . . . . . 12 comp comp
122	91	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
123	92	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
124	25	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
125	124	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
126	125, 112	ffvelrnd 6022	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
127	125, 108	ffvelrnd 6022	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	1, 46, 37, 106, 107, 112	funcf2 15095	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129	128, 113	ffvelrnd 6022	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	1, 46, 37, 106, 112, 108	funcf2 15095	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	130, 114	ffvelrnd 6022	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132	16, 37, 118, 121, 122, 123, 126, 127, 129, 131	funcco 15098	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ comp comp
133	117, 120, 132	3eqtrd 2512	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ comp comp
134	95	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
135	96	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
136	1, 134, 135, 107, 108	cofu2nd 15112	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func
137	136	fveq1d 5868	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func comp comp
138	103	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func
139	1, 134, 135, 112	cofu1 15111	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func
140	138, 139	opeq12d 4221	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func _func
141	1, 134, 135, 108	cofu1 15111	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func
142	140, 141	oveq12d 6302	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func _func comp _func comp
143	1, 134, 135, 112, 108, 46, 114	cofu2 15113	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func
144	1, 134, 135, 107, 112, 46, 113	cofu2 15113	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func
145	142, 143, 144	oveq123d 6305	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func _func _func comp _func _func comp
146	133, 137, 145	3eqtr4d 2518	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func comp _func _func _func comp _func _func
147	146	anassrs 648	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func comp _func _func _func comp _func _func
148	147	ralrimivva 2885	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ _func comp _func _func _func comp _func _func
149	148	ralrimivva 2885	. . . . . 6 $/\$ _func comp _func _func _func comp _func _func
150	105, 149	jca 532	. . . . 5 $/\$ _func _func $/\$ _func comp _func _func _func comp _func _func
151	150	ralrimiva 2878	. . . 4 _func _func $/\$ _func comp _func _func _func comp _func _func
152		funcrcl 15090	. . . . . . 7 $/\$
153	3, 152	syl 16	. . . . . 6 $/\$
154	153	simprd 463	. . . . 5
155	1, 17, 46, 38, 84, 90, 110, 121, 99, 154	isfunc 15091	. . . 4 _func _func _func $/\$ _func _func _func $/\$ _func _func $/\$ _func comp _func _func _func comp _func _func
156	29, 83, 151, 155	mpbir3and 1179	. . 3 _func _func
157		df-br 4448	. . 3 _func _func _func _func
158	156, 157	sylib 196	. 2 _func _func
159	15, 158	eqeltrd 2555	1 _func

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 369

wceq 1379

wcel 1767

wral 2814

cop 4033 class class class wbr 4447

cxp 4997

ccom 5003

wrel 5004

wfn 5583

wf 5584

cfv 5588 (class class class)co 6284

cmpt2 6286

c1st 6782

c2nd 6783

cmap 7420

cixp 7469

cbs 14490

chom 14566 compcco 14567

ccat 14919

ccid 14920

cfunc 15081

_func ccofu 15083

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1601 ax-4 1612 ax-5 1680 ax-6 1719 ax-7 1739 ax-8 1769 ax-9 1771 ax-10 1786 ax-11 1791 ax-12 1803 ax-13 1968 ax-ext 2445 ax-rep 4558 ax-sep 4568 ax-nul 4576 ax-pow 4625 ax-pr 4686 ax-un 6576

This theorem depends on definitions: df-bi 185 df-or 370 df-an 371 df-3an 975 df-tru 1382 df-ex 1597 df-nf 1600 df-sb 1712 df-eu 2279 df-mo 2280 df-clab 2453 df-cleq 2459 df-clel 2462 df-nfc 2617 df-ne 2664 df-ral 2819 df-rex 2820 df-reu 2821 df-rmo 2822 df-rab 2823 df-v 3115 df-sbc 3332 df-csb 3436 df-dif 3479 df-un 3481 df-in 3483 df-ss 3490 df-nul 3786 df-if 3940 df-pw 4012 df-sn 4028 df-pr 4030 df-op 4034 df-uni 4246 df-iun 4327 df-br 4448 df-opab 4506 df-mpt 4507 df-id 4795 df-xp 5005 df-rel 5006 df-cnv 5007 df-co 5008 df-dm 5009 df-rn 5010 df-res 5011 df-ima 5012 df-iota 5551 df-fun 5590 df-fn 5591 df-f 5592 df-f1 5593 df-fo 5594 df-f1o 5595 df-fv 5596 df-riota 6245 df-ov 6287 df-oprab 6288 df-mpt2 6289 df-1st 6784 df-2nd 6785 df-map 7422 df-ixp 7470 df-cat 14923 df-cid 14924 df-func 15085 df-cofu 15087

This theorem is referenced by: cofuass 15116 cofull 15161 cofth 15162 catccatid 15287 1st2ndprf 15333 uncfcl 15362 uncf1 15363 uncf2 15364 yonedalem1 15399 yonedalem21 15400 yonedalem22 15405

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