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Theorem cofucl 15376

Description: The composition of two functors is a functor. Proposition 3.23 of [Adamek] p. 33. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
cofucl.f
cofucl.g

**Assertion**
Ref	Expression
cofucl	_func

Proof of Theorem cofucl Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2454	. . . 4
2		cofucl.f	. . . 4
3		cofucl.g	. . . 4
4	1, 2, 3	cofuval 15370	. . 3 _func
5	1, 2, 3	cofu1st 15371	. . . 4 _func
6	4	fveq2d 5852	. . . . 5 _func
7		fvex 5858	. . . . . . 7
8		fvex 5858	. . . . . . 7
9	7, 8	coex 6725	. . . . . 6
10		fvex 5858	. . . . . . 7
11	10, 10	mpt2ex 6850	. . . . . 6
12	9, 11	op2nd 6782	. . . . 5
13	6, 12	syl6eq 2511	. . . 4 _func
14	5, 13	opeq12d 4211	. . 3 _func _func
15	4, 14	eqtr4d 2498	. 2 _func _func _func
16		eqid 2454	. . . . . . 7
17		eqid 2454	. . . . . . 7
18		relfunc 15350	. . . . . . . 8
19		1st2ndbr 6822	. . . . . . . 8 $/\$
20	18, 3, 19	sylancr 661	. . . . . . 7
21	16, 17, 20	funcf1 15354	. . . . . 6
22		relfunc 15350	. . . . . . . 8
23		1st2ndbr 6822	. . . . . . . 8 $/\$
24	22, 2, 23	sylancr 661	. . . . . . 7
25	1, 16, 24	funcf1 15354	. . . . . 6
26		fco 5723	. . . . . 6 $/\$
27	21, 25, 26	syl2anc 659	. . . . 5
28	5	feq1d 5699	. . . . 5 _func
29	27, 28	mpbird 232	. . . 4 _func
30		eqid 2454	. . . . . . 7
31		ovex 6298	. . . . . . . 8
32		ovex 6298	. . . . . . . 8
33	31, 32	coex 6725	. . . . . . 7
34	30, 33	fnmpt2i 6842	. . . . . 6
35	13	fneq1d 5653	. . . . . 6 _func
36	34, 35	mpbiri 233	. . . . 5 _func
37		eqid 2454	. . . . . . . . . . 11
38		eqid 2454	. . . . . . . . . . 11
39	20	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
40	25	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
41		simprl 754	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
42	40, 41	ffvelrnd 6008	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
43		simprr 755	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
44	40, 43	ffvelrnd 6008	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
45	16, 37, 38, 39, 42, 44	funcf2 15356	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
46		eqid 2454	. . . . . . . . . . 11
47	24	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
48	1, 46, 37, 47, 41, 43	funcf2 15356	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
49		fco 5723	. . . . . . . . . 10 $/\$
50	45, 48, 49	syl2anc 659	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
51		ovex 6298	. . . . . . . . . 10
52		ovex 6298	. . . . . . . . . 10
53	51, 52	elmap 7440	. . . . . . . . 9
54	50, 53	sylibr 212	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
55	2	adantr 463	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
56	3	adantr 463	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
57	1, 55, 56, 41, 43	cofu2nd 15373	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ _func
58	1, 55, 56, 41	cofu1 15372	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ _func
59	1, 55, 56, 43	cofu1 15372	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ _func
60	58, 59	oveq12d 6288	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ _func _func
61	60	oveq1d 6285	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ _func _func
62	54, 57, 61	3eltr4d 2557	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ _func _func _func
63	62	ralrimivva 2875	. . . . . 6 _func _func _func
64		fveq2 5848	. . . . . . . . 9 _func _func
65		df-ov 6273	. . . . . . . . 9 _func _func
66	64, 65	syl6eqr 2513	. . . . . . . 8 _func _func
67		vex 3109	. . . . . . . . . . . 12
68		vex 3109	. . . . . . . . . . . 12
69	67, 68	op1std 6783	. . . . . . . . . . 11
70	69	fveq2d 5852	. . . . . . . . . 10 _func _func
71	67, 68	op2ndd 6784	. . . . . . . . . . 11
72	71	fveq2d 5852	. . . . . . . . . 10 _func _func
73	70, 72	oveq12d 6288	. . . . . . . . 9 _func _func _func _func
74		fveq2 5848	. . . . . . . . . 10
75		df-ov 6273	. . . . . . . . . 10
76	74, 75	syl6eqr 2513	. . . . . . . . 9
77	73, 76	oveq12d 6288	. . . . . . . 8 _func _func _func _func
78	66, 77	eleq12d 2536	. . . . . . 7 _func _func _func _func _func _func
79	78	ralxp 5133	. . . . . 6 _func _func _func _func _func _func
80	63, 79	sylibr 212	. . . . 5 _func _func _func
81		fvex 5858	. . . . . 6 _func
82	81	elixp 7469	. . . . 5 _func _func _func _func $/\$ _func _func _func
83	36, 80, 82	sylanbrc 662	. . . 4 _func _func _func
84		eqid 2454	. . . . . . . . . 10
85		eqid 2454	. . . . . . . . . 10
86	24	adantr 463	. . . . . . . . . 10 $/\$
87		simpr 459	. . . . . . . . . 10 $/\$
88	1, 84, 85, 86, 87	funcid 15358	. . . . . . . . 9 $/\$
89	88	fveq2d 5852	. . . . . . . 8 $/\$
90		eqid 2454	. . . . . . . . 9
91	20	adantr 463	. . . . . . . . 9 $/\$
92	25	ffvelrnda 6007	. . . . . . . . 9 $/\$
93	16, 85, 90, 91, 92	funcid 15358	. . . . . . . 8 $/\$
94	89, 93	eqtrd 2495	. . . . . . 7 $/\$
95	2	adantr 463	. . . . . . . 8 $/\$
96	3	adantr 463	. . . . . . . 8 $/\$
97		funcrcl 15351	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
98	2, 97	syl 16	. . . . . . . . . . 11 $/\$
99	98	simpld 457	. . . . . . . . . 10
100	99	adantr 463	. . . . . . . . 9 $/\$
101	1, 46, 84, 100, 87	catidcl 15171	. . . . . . . 8 $/\$
102	1, 95, 96, 87, 87, 46, 101	cofu2 15374	. . . . . . 7 $/\$ _func
103	1, 95, 96, 87	cofu1 15372	. . . . . . . 8 $/\$ _func
104	103	fveq2d 5852	. . . . . . 7 $/\$ _func
105	94, 102, 104	3eqtr4d 2505	. . . . . 6 $/\$ _func _func
106	86	adantr 463	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107		simplr 753	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108		simprlr 762	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	1, 46, 37, 106, 107, 108	funcf2 15356	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . 13 comp comp
111	100	adantr 463	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112		simprll 761	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113		simprrl 763	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
114		simprrr 764	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115	1, 46, 110, 111, 107, 112, 108, 113, 114	catcocl 15174	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ comp
116		fvco3 5925	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ comp comp comp
117	109, 115, 116	syl2anc 659	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ comp comp
118		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . 13 comp comp
119	1, 46, 110, 118, 106, 107, 112, 108, 113, 114	funcco 15359	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ comp comp
120	119	fveq2d 5852	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ comp comp
121		eqid 2454	. . . . . . . . . . . 12 comp comp
122	91	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
123	92	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
124	25	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
125	124	adantr 463	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
126	125, 112	ffvelrnd 6008	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
127	125, 108	ffvelrnd 6008	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	1, 46, 37, 106, 107, 112	funcf2 15356	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129	128, 113	ffvelrnd 6008	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	1, 46, 37, 106, 112, 108	funcf2 15356	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	130, 114	ffvelrnd 6008	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132	16, 37, 118, 121, 122, 123, 126, 127, 129, 131	funcco 15359	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ comp comp
133	117, 120, 132	3eqtrd 2499	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ comp comp
134	95	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
135	96	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
136	1, 134, 135, 107, 108	cofu2nd 15373	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func
137	136	fveq1d 5850	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func comp comp
138	103	adantr 463	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func
139	1, 134, 135, 112	cofu1 15372	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func
140	138, 139	opeq12d 4211	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func _func
141	1, 134, 135, 108	cofu1 15372	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func
142	140, 141	oveq12d 6288	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func _func comp _func comp
143	1, 134, 135, 112, 108, 46, 114	cofu2 15374	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func
144	1, 134, 135, 107, 112, 46, 113	cofu2 15374	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func
145	142, 143, 144	oveq123d 6291	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func _func _func comp _func _func comp
146	133, 137, 145	3eqtr4d 2505	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func comp _func _func _func comp _func _func
147	146	anassrs 646	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func comp _func _func _func comp _func _func
148	147	ralrimivva 2875	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ _func comp _func _func _func comp _func _func
149	148	ralrimivva 2875	. . . . . 6 $/\$ _func comp _func _func _func comp _func _func
150	105, 149	jca 530	. . . . 5 $/\$ _func _func $/\$ _func comp _func _func _func comp _func _func
151	150	ralrimiva 2868	. . . 4 _func _func $/\$ _func comp _func _func _func comp _func _func
152		funcrcl 15351	. . . . . . 7 $/\$
153	3, 152	syl 16	. . . . . 6 $/\$
154	153	simprd 461	. . . . 5
155	1, 17, 46, 38, 84, 90, 110, 121, 99, 154	isfunc 15352	. . . 4 _func _func _func $/\$ _func _func _func $/\$ _func _func $/\$ _func comp _func _func _func comp _func _func
156	29, 83, 151, 155	mpbir3and 1177	. . 3 _func _func
157		df-br 4440	. . 3 _func _func _func _func
158	156, 157	sylib 196	. 2 _func _func
159	15, 158	eqeltrd 2542	1 _func

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 367

wceq 1398

wcel 1823

wral 2804

cop 4022 class class class wbr 4439

cxp 4986

ccom 4992

wrel 4993

wfn 5565

wf 5566

cfv 5570 (class class class)co 6270

cmpt2 6272

c1st 6771

c2nd 6772

cmap 7412

cixp 7462

cbs 14716

chom 14795 compcco 14796

ccat 15153

ccid 15154

cfunc 15342

_func ccofu 15344

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1623 ax-4 1636 ax-5 1709 ax-6 1752 ax-7 1795 ax-8 1825 ax-9 1827 ax-10 1842 ax-11 1847 ax-12 1859 ax-13 2004 ax-ext 2432 ax-rep 4550 ax-sep 4560 ax-nul 4568 ax-pow 4615 ax-pr 4676 ax-un 6565

This theorem depends on definitions: df-bi 185 df-or 368 df-an 369 df-3an 973 df-tru 1401 df-ex 1618 df-nf 1622 df-sb 1745 df-eu 2288 df-mo 2289 df-clab 2440 df-cleq 2446 df-clel 2449 df-nfc 2604 df-ne 2651 df-ral 2809 df-rex 2810 df-reu 2811 df-rmo 2812 df-rab 2813 df-v 3108 df-sbc 3325 df-csb 3421 df-dif 3464 df-un 3466 df-in 3468 df-ss 3475 df-nul 3784 df-if 3930 df-pw 4001 df-sn 4017 df-pr 4019 df-op 4023 df-uni 4236 df-iun 4317 df-br 4440 df-opab 4498 df-mpt 4499 df-id 4784 df-xp 4994 df-rel 4995 df-cnv 4996 df-co 4997 df-dm 4998 df-rn 4999 df-res 5000 df-ima 5001 df-iota 5534 df-fun 5572 df-fn 5573 df-f 5574 df-f1 5575 df-fo 5576 df-f1o 5577 df-fv 5578 df-riota 6232 df-ov 6273 df-oprab 6274 df-mpt2 6275 df-1st 6773 df-2nd 6774 df-map 7414 df-ixp 7463 df-cat 15157 df-cid 15158 df-func 15346 df-cofu 15348

This theorem is referenced by: cofuass 15377 cofull 15422 cofth 15423 catccatid 15580 1st2ndprf 15674 uncfcl 15703 uncf1 15704 uncf2 15705 yonedalem1 15740 yonedalem21 15741 yonedalem22 15746 funcrngcsetcALT 33061

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