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Theorem cofucl 15781

Description: The composition of two functors is a functor. Proposition 3.23 of [Adamek] p. 33. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
cofucl.f
cofucl.g

**Assertion**
Ref	Expression
cofucl	_func

Proof of Theorem cofucl Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2422	. . . 4
2		cofucl.f	. . . 4
3		cofucl.g	. . . 4
4	1, 2, 3	cofuval 15775	. . 3 _func
5	1, 2, 3	cofu1st 15776	. . . 4 _func
6	4	fveq2d 5882	. . . . 5 _func
7		fvex 5888	. . . . . . 7
8		fvex 5888	. . . . . . 7
9	7, 8	coex 6756	. . . . . 6
10		fvex 5888	. . . . . . 7
11	10, 10	mpt2ex 6881	. . . . . 6
12	9, 11	op2nd 6813	. . . . 5
13	6, 12	syl6eq 2479	. . . 4 _func
14	5, 13	opeq12d 4192	. . 3 _func _func
15	4, 14	eqtr4d 2466	. 2 _func _func _func
16		eqid 2422	. . . . . . 7
17		eqid 2422	. . . . . . 7
18		relfunc 15755	. . . . . . . 8
19		1st2ndbr 6853	. . . . . . . 8 $/\$
20	18, 3, 19	sylancr 667	. . . . . . 7
21	16, 17, 20	funcf1 15759	. . . . . 6
22		relfunc 15755	. . . . . . . 8
23		1st2ndbr 6853	. . . . . . . 8 $/\$
24	22, 2, 23	sylancr 667	. . . . . . 7
25	1, 16, 24	funcf1 15759	. . . . . 6
26		fco 5753	. . . . . 6 $/\$
27	21, 25, 26	syl2anc 665	. . . . 5
28	5	feq1d 5729	. . . . 5 _func
29	27, 28	mpbird 235	. . . 4 _func
30		eqid 2422	. . . . . . 7
31		ovex 6330	. . . . . . . 8
32		ovex 6330	. . . . . . . 8
33	31, 32	coex 6756	. . . . . . 7
34	30, 33	fnmpt2i 6873	. . . . . 6
35	13	fneq1d 5681	. . . . . 6 _func
36	34, 35	mpbiri 236	. . . . 5 _func
37		eqid 2422	. . . . . . . . . . 11
38		eqid 2422	. . . . . . . . . . 11
39	20	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
40	25	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
41		simprl 762	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
42	40, 41	ffvelrnd 6035	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
43		simprr 764	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
44	40, 43	ffvelrnd 6035	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
45	16, 37, 38, 39, 42, 44	funcf2 15761	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
46		eqid 2422	. . . . . . . . . . 11
47	24	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
48	1, 46, 37, 47, 41, 43	funcf2 15761	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
49		fco 5753	. . . . . . . . . 10 $/\$
50	45, 48, 49	syl2anc 665	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
51		ovex 6330	. . . . . . . . . 10
52		ovex 6330	. . . . . . . . . 10
53	51, 52	elmap 7505	. . . . . . . . 9
54	50, 53	sylibr 215	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
55	2	adantr 466	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
56	3	adantr 466	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
57	1, 55, 56, 41, 43	cofu2nd 15778	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ _func
58	1, 55, 56, 41	cofu1 15777	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ _func
59	1, 55, 56, 43	cofu1 15777	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ _func
60	58, 59	oveq12d 6320	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ _func _func
61	60	oveq1d 6317	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ _func _func
62	54, 57, 61	3eltr4d 2525	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ _func _func _func
63	62	ralrimivva 2846	. . . . . 6 _func _func _func
64		fveq2 5878	. . . . . . . . 9 _func _func
65		df-ov 6305	. . . . . . . . 9 _func _func
66	64, 65	syl6eqr 2481	. . . . . . . 8 _func _func
67		vex 3084	. . . . . . . . . . . 12
68		vex 3084	. . . . . . . . . . . 12
69	67, 68	op1std 6814	. . . . . . . . . . 11
70	69	fveq2d 5882	. . . . . . . . . 10 _func _func
71	67, 68	op2ndd 6815	. . . . . . . . . . 11
72	71	fveq2d 5882	. . . . . . . . . 10 _func _func
73	70, 72	oveq12d 6320	. . . . . . . . 9 _func _func _func _func
74		fveq2 5878	. . . . . . . . . 10
75		df-ov 6305	. . . . . . . . . 10
76	74, 75	syl6eqr 2481	. . . . . . . . 9
77	73, 76	oveq12d 6320	. . . . . . . 8 _func _func _func _func
78	66, 77	eleq12d 2504	. . . . . . 7 _func _func _func _func _func _func
79	78	ralxp 4992	. . . . . 6 _func _func _func _func _func _func
80	63, 79	sylibr 215	. . . . 5 _func _func _func
81		fvex 5888	. . . . . 6 _func
82	81	elixp 7534	. . . . 5 _func _func _func _func $/\$ _func _func _func
83	36, 80, 82	sylanbrc 668	. . . 4 _func _func _func
84		eqid 2422	. . . . . . . . . 10
85		eqid 2422	. . . . . . . . . 10
86	24	adantr 466	. . . . . . . . . 10 $/\$
87		simpr 462	. . . . . . . . . 10 $/\$
88	1, 84, 85, 86, 87	funcid 15763	. . . . . . . . 9 $/\$
89	88	fveq2d 5882	. . . . . . . 8 $/\$
90		eqid 2422	. . . . . . . . 9
91	20	adantr 466	. . . . . . . . 9 $/\$
92	25	ffvelrnda 6034	. . . . . . . . 9 $/\$
93	16, 85, 90, 91, 92	funcid 15763	. . . . . . . 8 $/\$
94	89, 93	eqtrd 2463	. . . . . . 7 $/\$
95	2	adantr 466	. . . . . . . 8 $/\$
96	3	adantr 466	. . . . . . . 8 $/\$
97		funcrcl 15756	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
98	2, 97	syl 17	. . . . . . . . . . 11 $/\$
99	98	simpld 460	. . . . . . . . . 10
100	99	adantr 466	. . . . . . . . 9 $/\$
101	1, 46, 84, 100, 87	catidcl 15576	. . . . . . . 8 $/\$
102	1, 95, 96, 87, 87, 46, 101	cofu2 15779	. . . . . . 7 $/\$ _func
103	1, 95, 96, 87	cofu1 15777	. . . . . . . 8 $/\$ _func
104	103	fveq2d 5882	. . . . . . 7 $/\$ _func
105	94, 102, 104	3eqtr4d 2473	. . . . . 6 $/\$ _func _func
106	86	adantr 466	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107		simplr 760	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108		simprlr 771	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	1, 46, 37, 106, 107, 108	funcf2 15761	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110		eqid 2422	. . . . . . . . . . . . 13 comp comp
111	100	adantr 466	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112		simprll 770	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113		simprrl 772	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
114		simprrr 773	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115	1, 46, 110, 111, 107, 112, 108, 113, 114	catcocl 15579	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ comp
116		fvco3 5955	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ comp comp comp
117	109, 115, 116	syl2anc 665	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ comp comp
118		eqid 2422	. . . . . . . . . . . . 13 comp comp
119	1, 46, 110, 118, 106, 107, 112, 108, 113, 114	funcco 15764	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ comp comp
120	119	fveq2d 5882	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ comp comp
121		eqid 2422	. . . . . . . . . . . 12 comp comp
122	91	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
123	92	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
124	25	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
125	124	adantr 466	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
126	125, 112	ffvelrnd 6035	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
127	125, 108	ffvelrnd 6035	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	1, 46, 37, 106, 107, 112	funcf2 15761	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129	128, 113	ffvelrnd 6035	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	1, 46, 37, 106, 112, 108	funcf2 15761	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	130, 114	ffvelrnd 6035	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132	16, 37, 118, 121, 122, 123, 126, 127, 129, 131	funcco 15764	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ comp comp
133	117, 120, 132	3eqtrd 2467	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ comp comp
134	95	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
135	96	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
136	1, 134, 135, 107, 108	cofu2nd 15778	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func
137	136	fveq1d 5880	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func comp comp
138	103	adantr 466	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func
139	1, 134, 135, 112	cofu1 15777	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func
140	138, 139	opeq12d 4192	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func _func
141	1, 134, 135, 108	cofu1 15777	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func
142	140, 141	oveq12d 6320	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func _func comp _func comp
143	1, 134, 135, 112, 108, 46, 114	cofu2 15779	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func
144	1, 134, 135, 107, 112, 46, 113	cofu2 15779	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func
145	142, 143, 144	oveq123d 6323	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func _func _func comp _func _func comp
146	133, 137, 145	3eqtr4d 2473	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func comp _func _func _func comp _func _func
147	146	anassrs 652	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func comp _func _func _func comp _func _func
148	147	ralrimivva 2846	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ _func comp _func _func _func comp _func _func
149	148	ralrimivva 2846	. . . . . 6 $/\$ _func comp _func _func _func comp _func _func
150	105, 149	jca 534	. . . . 5 $/\$ _func _func $/\$ _func comp _func _func _func comp _func _func
151	150	ralrimiva 2839	. . . 4 _func _func $/\$ _func comp _func _func _func comp _func _func
152		funcrcl 15756	. . . . . . 7 $/\$
153	3, 152	syl 17	. . . . . 6 $/\$
154	153	simprd 464	. . . . 5
155	1, 17, 46, 38, 84, 90, 110, 121, 99, 154	isfunc 15757	. . . 4 _func _func _func $/\$ _func _func _func $/\$ _func _func $/\$ _func comp _func _func _func comp _func _func
156	29, 83, 151, 155	mpbir3and 1188	. . 3 _func _func
157		df-br 4421	. . 3 _func _func _func _func
158	156, 157	sylib 199	. 2 _func _func
159	15, 158	eqeltrd 2510	1 _func

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 370

wceq 1437

wcel 1868

wral 2775

cop 4002 class class class wbr 4420

cxp 4848

ccom 4854

wrel 4855

wfn 5593

wf 5594

cfv 5598 (class class class)co 6302

cmpt2 6304

c1st 6802

c2nd 6803

cmap 7477

cixp 7527

cbs 15109

chom 15189 compcco 15190

ccat 15558

ccid 15559

cfunc 15747

_func ccofu 15749

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1665 ax-4 1678 ax-5 1748 ax-6 1794 ax-7 1839 ax-8 1870 ax-9 1872 ax-10 1887 ax-11 1892 ax-12 1905 ax-13 2053 ax-ext 2400 ax-rep 4533 ax-sep 4543 ax-nul 4552 ax-pow 4599 ax-pr 4657 ax-un 6594

This theorem depends on definitions: df-bi 188 df-or 371 df-an 372 df-3an 984 df-tru 1440 df-ex 1660 df-nf 1664 df-sb 1787 df-eu 2269 df-mo 2270 df-clab 2408 df-cleq 2414 df-clel 2417 df-nfc 2572 df-ne 2620 df-ral 2780 df-rex 2781 df-reu 2782 df-rmo 2783 df-rab 2784 df-v 3083 df-sbc 3300 df-csb 3396 df-dif 3439 df-un 3441 df-in 3443 df-ss 3450 df-nul 3762 df-if 3910 df-pw 3981 df-sn 3997 df-pr 3999 df-op 4003 df-uni 4217 df-iun 4298 df-br 4421 df-opab 4480 df-mpt 4481 df-id 4765 df-xp 4856 df-rel 4857 df-cnv 4858 df-co 4859 df-dm 4860 df-rn 4861 df-res 4862 df-ima 4863 df-iota 5562 df-fun 5600 df-fn 5601 df-f 5602 df-f1 5603 df-fo 5604 df-f1o 5605 df-fv 5606 df-riota 6264 df-ov 6305 df-oprab 6306 df-mpt2 6307 df-1st 6804 df-2nd 6805 df-map 7479 df-ixp 7528 df-cat 15562 df-cid 15563 df-func 15751 df-cofu 15753

This theorem is referenced by: cofuass 15782 cofull 15827 cofth 15828 catccatid 15985 1st2ndprf 16079 uncfcl 16108 uncf1 16109 uncf2 16110 yonedalem1 16145 yonedalem21 16146 yonedalem22 16151 funcrngcsetcALT 39273

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