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Theorem cofucl 14040

Description: The composition of two functors is a functor. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
cofucl.f
cofucl.g

**Assertion**
Ref	Expression
cofucl	_func

Proof of Theorem cofucl Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2404	. . . 4
2		cofucl.f	. . . 4
3		cofucl.g	. . . 4
4	1, 2, 3	cofuval 14034	. . 3 _func
5	1, 2, 3	cofu1st 14035	. . . 4 _func
6	4	fveq2d 5691	. . . . 5 _func
7		fvex 5701	. . . . . . 7
8		fvex 5701	. . . . . . 7
9	7, 8	coex 5372	. . . . . 6
10		fvex 5701	. . . . . . 7
11	10, 10	mpt2ex 6384	. . . . . 6
12	9, 11	op2nd 6315	. . . . 5
13	6, 12	syl6eq 2452	. . . 4 _func
14	5, 13	opeq12d 3952	. . 3 _func _func
15	4, 14	eqtr4d 2439	. 2 _func _func _func
16		eqid 2404	. . . . . . 7
17		eqid 2404	. . . . . . 7
18		relfunc 14014	. . . . . . . 8
19		1st2ndbr 6355	. . . . . . . 8 $/\$
20	18, 3, 19	sylancr 645	. . . . . . 7
21	16, 17, 20	funcf1 14018	. . . . . 6
22		relfunc 14014	. . . . . . . 8
23		1st2ndbr 6355	. . . . . . . 8 $/\$
24	22, 2, 23	sylancr 645	. . . . . . 7
25	1, 16, 24	funcf1 14018	. . . . . 6
26		fco 5559	. . . . . 6 $/\$
27	21, 25, 26	syl2anc 643	. . . . 5
28	5	feq1d 5539	. . . . 5 _func
29	27, 28	mpbird 224	. . . 4 _func
30		eqid 2404	. . . . . . 7
31		ovex 6065	. . . . . . . 8
32		ovex 6065	. . . . . . . 8
33	31, 32	coex 5372	. . . . . . 7
34	30, 33	fnmpt2i 6379	. . . . . 6
35	13	fneq1d 5495	. . . . . 6 _func
36	34, 35	mpbiri 225	. . . . 5 _func
37		eqid 2404	. . . . . . . . . . 11
38		eqid 2404	. . . . . . . . . . 11
39	20	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
40	25	adantr 452	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
41		simprl 733	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
42	40, 41	ffvelrnd 5830	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
43		simprr 734	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
44	40, 43	ffvelrnd 5830	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
45	16, 37, 38, 39, 42, 44	funcf2 14020	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
46		eqid 2404	. . . . . . . . . . 11
47	24	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
48	1, 46, 37, 47, 41, 43	funcf2 14020	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
49		fco 5559	. . . . . . . . . 10 $/\$
50	45, 48, 49	syl2anc 643	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
51		ovex 6065	. . . . . . . . . 10
52		ovex 6065	. . . . . . . . . 10
53	51, 52	elmap 7001	. . . . . . . . 9
54	50, 53	sylibr 204	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
55	2	adantr 452	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
56	3	adantr 452	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
57	1, 55, 56, 41, 43	cofu2nd 14037	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ _func
58	1, 55, 56, 41	cofu1 14036	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ _func
59	1, 55, 56, 43	cofu1 14036	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ _func
60	58, 59	oveq12d 6058	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ _func _func
61	60	oveq1d 6055	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ _func _func
62	54, 57, 61	3eltr4d 2485	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ _func _func _func
63	62	ralrimivva 2758	. . . . . 6 _func _func _func
64		fveq2 5687	. . . . . . . . 9 _func _func
65		df-ov 6043	. . . . . . . . 9 _func _func
66	64, 65	syl6eqr 2454	. . . . . . . 8 _func _func
67		vex 2919	. . . . . . . . . . . 12
68		vex 2919	. . . . . . . . . . . 12
69	67, 68	op1std 6316	. . . . . . . . . . 11
70	69	fveq2d 5691	. . . . . . . . . 10 _func _func
71	67, 68	op2ndd 6317	. . . . . . . . . . 11
72	71	fveq2d 5691	. . . . . . . . . 10 _func _func
73	70, 72	oveq12d 6058	. . . . . . . . 9 _func _func _func _func
74		fveq2 5687	. . . . . . . . . 10
75		df-ov 6043	. . . . . . . . . 10
76	74, 75	syl6eqr 2454	. . . . . . . . 9
77	73, 76	oveq12d 6058	. . . . . . . 8 _func _func _func _func
78	66, 77	eleq12d 2472	. . . . . . 7 _func _func _func _func _func _func
79	78	ralxp 4975	. . . . . 6 _func _func _func _func _func _func
80	63, 79	sylibr 204	. . . . 5 _func _func _func
81		fvex 5701	. . . . . 6 _func
82	81	elixp 7028	. . . . 5 _func _func _func _func $/\$ _func _func _func
83	36, 80, 82	sylanbrc 646	. . . 4 _func _func _func
84		eqid 2404	. . . . . . . . . 10
85		eqid 2404	. . . . . . . . . 10
86	24	adantr 452	. . . . . . . . . 10 $/\$
87		simpr 448	. . . . . . . . . 10 $/\$
88	1, 84, 85, 86, 87	funcid 14022	. . . . . . . . 9 $/\$
89	88	fveq2d 5691	. . . . . . . 8 $/\$
90		eqid 2404	. . . . . . . . 9
91	20	adantr 452	. . . . . . . . 9 $/\$
92	25	ffvelrnda 5829	. . . . . . . . 9 $/\$
93	16, 85, 90, 91, 92	funcid 14022	. . . . . . . 8 $/\$
94	89, 93	eqtrd 2436	. . . . . . 7 $/\$
95	2	adantr 452	. . . . . . . 8 $/\$
96	3	adantr 452	. . . . . . . 8 $/\$
97		funcrcl 14015	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
98	2, 97	syl 16	. . . . . . . . . . 11 $/\$
99	98	simpld 446	. . . . . . . . . 10
100	99	adantr 452	. . . . . . . . 9 $/\$
101	1, 46, 84, 100, 87	catidcl 13862	. . . . . . . 8 $/\$
102	1, 95, 96, 87, 87, 46, 101	cofu2 14038	. . . . . . 7 $/\$ _func
103	1, 95, 96, 87	cofu1 14036	. . . . . . . 8 $/\$ _func
104	103	fveq2d 5691	. . . . . . 7 $/\$ _func
105	94, 102, 104	3eqtr4d 2446	. . . . . 6 $/\$ _func _func
106	86	adantr 452	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107		simplr 732	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108		simprlr 740	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	1, 46, 37, 106, 107, 108	funcf2 14020	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . 13 comp comp
111	100	adantr 452	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112		simprll 739	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113		simprrl 741	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
114		simprrr 742	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115	1, 46, 110, 111, 107, 112, 108, 113, 114	catcocl 13865	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ comp
116		fvco3 5759	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ comp comp comp
117	109, 115, 116	syl2anc 643	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ comp comp
118		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . 13 comp comp
119	1, 46, 110, 118, 106, 107, 112, 108, 113, 114	funcco 14023	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ comp comp
120	119	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ comp comp
121		eqid 2404	. . . . . . . . . . . 12 comp comp
122	91	adantr 452	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
123	92	adantr 452	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
124	25	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
125	124	adantr 452	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
126	125, 112	ffvelrnd 5830	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
127	125, 108	ffvelrnd 5830	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	1, 46, 37, 106, 107, 112	funcf2 14020	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129	128, 113	ffvelrnd 5830	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	1, 46, 37, 106, 112, 108	funcf2 14020	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	130, 114	ffvelrnd 5830	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132	16, 37, 118, 121, 122, 123, 126, 127, 129, 131	funcco 14023	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ comp comp
133	117, 120, 132	3eqtrd 2440	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ comp comp
134	95	adantr 452	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
135	96	adantr 452	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
136	1, 134, 135, 107, 108	cofu2nd 14037	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func
137	136	fveq1d 5689	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func comp comp
138	103	adantr 452	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func
139	1, 134, 135, 112	cofu1 14036	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func
140	138, 139	opeq12d 3952	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func _func
141	1, 134, 135, 108	cofu1 14036	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func
142	140, 141	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func _func comp _func comp
143	1, 134, 135, 112, 108, 46, 114	cofu2 14038	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func
144	1, 134, 135, 107, 112, 46, 113	cofu2 14038	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func
145	142, 143, 144	oveq123d 6061	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func _func _func comp _func _func comp
146	133, 137, 145	3eqtr4d 2446	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func comp _func _func _func comp _func _func
147	146	anassrs 630	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func comp _func _func _func comp _func _func
148	147	ralrimivva 2758	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ _func comp _func _func _func comp _func _func
149	148	ralrimivva 2758	. . . . . 6 $/\$ _func comp _func _func _func comp _func _func
150	105, 149	jca 519	. . . . 5 $/\$ _func _func $/\$ _func comp _func _func _func comp _func _func
151	150	ralrimiva 2749	. . . 4 _func _func $/\$ _func comp _func _func _func comp _func _func
152		funcrcl 14015	. . . . . . 7 $/\$
153	3, 152	syl 16	. . . . . 6 $/\$
154	153	simprd 450	. . . . 5
155	1, 17, 46, 38, 84, 90, 110, 121, 99, 154	isfunc 14016	. . . 4 _func _func _func $/\$ _func _func _func $/\$ _func _func $/\$ _func comp _func _func _func comp _func _func
156	29, 83, 151, 155	mpbir3and 1137	. . 3 _func _func
157		df-br 4173	. . 3 _func _func _func _func
158	156, 157	sylib 189	. 2 _func _func
159	15, 158	eqeltrd 2478	1 _func

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 359

wceq 1649

wcel 1721

wral 2666

cop 3777 class class class wbr 4172

cxp 4835

ccom 4841

wrel 4842

wfn 5408

wf 5409

cfv 5413 (class class class)co 6040

cmpt2 6042

c1st 6306

c2nd 6307

cmap 6977

cixp 7022

cbs 13424

chom 13495 compcco 13496

ccat 13844

ccid 13845

cfunc 14006

_func ccofu 14008

This theorem is referenced by: cofuass 14041 cofull 14086 cofth 14087 catccatid 14212 1st2ndprf 14258 uncfcl 14287 uncf1 14288 uncf2 14289 yonedalem1 14324 yonedalem21 14325 yonedalem22 14330

This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-3 7 ax-mp 8 ax-gen 1552 ax-5 1563 ax-17 1623 ax-9 1662 ax-8 1683 ax-13 1723 ax-14 1725 ax-6 1740 ax-7 1745 ax-11 1757 ax-12 1946 ax-ext 2385 ax-rep 4280 ax-sep 4290 ax-nul 4298 ax-pow 4337 ax-pr 4363 ax-un 4660

This theorem depends on definitions: df-bi 178 df-or 360 df-an 361 df-3an 938 df-tru 1325 df-ex 1548 df-nf 1551 df-sb 1656 df-eu 2258 df-mo 2259 df-clab 2391 df-cleq 2397 df-clel 2400 df-nfc 2529 df-ne 2569 df-ral 2671 df-rex 2672 df-reu 2673 df-rmo 2674 df-rab 2675 df-v 2918 df-sbc 3122 df-csb 3212 df-dif 3283 df-un 3285 df-in 3287 df-ss 3294 df-nul 3589 df-if 3700 df-pw 3761 df-sn 3780 df-pr 3781 df-op 3783 df-uni 3976 df-iun 4055 df-br 4173 df-opab 4227 df-mpt 4228 df-id 4458 df-xp 4843 df-rel 4844 df-cnv 4845 df-co 4846 df-dm 4847 df-rn 4848 df-res 4849 df-ima 4850 df-iota 5377 df-fun 5415 df-fn 5416 df-f 5417 df-f1 5418 df-fo 5419 df-f1o 5420 df-fv 5421 df-ov 6043 df-oprab 6044 df-mpt2 6045 df-1st 6308 df-2nd 6309 df-riota 6508 df-map 6979 df-ixp 7023 df-cat 13848 df-cid 13849 df-func 14010 df-cofu 14012

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