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Theorem cofucl 14790

Description: The composition of two functors is a functor. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
cofucl.f
cofucl.g

**Assertion**
Ref	Expression
cofucl	_func

Proof of Theorem cofucl Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2438	. . . 4
2		cofucl.f	. . . 4
3		cofucl.g	. . . 4
4	1, 2, 3	cofuval 14784	. . 3 _func
5	1, 2, 3	cofu1st 14785	. . . 4 _func
6	4	fveq2d 5690	. . . . 5 _func
7		fvex 5696	. . . . . . 7
8		fvex 5696	. . . . . . 7
9	7, 8	coex 6524	. . . . . 6
10		fvex 5696	. . . . . . 7
11	10, 10	mpt2ex 6645	. . . . . 6
12	9, 11	op2nd 6581	. . . . 5
13	6, 12	syl6eq 2486	. . . 4 _func
14	5, 13	opeq12d 4062	. . 3 _func _func
15	4, 14	eqtr4d 2473	. 2 _func _func _func
16		eqid 2438	. . . . . . 7
17		eqid 2438	. . . . . . 7
18		relfunc 14764	. . . . . . . 8
19		1st2ndbr 6618	. . . . . . . 8 $/\$
20	18, 3, 19	sylancr 663	. . . . . . 7
21	16, 17, 20	funcf1 14768	. . . . . 6
22		relfunc 14764	. . . . . . . 8
23		1st2ndbr 6618	. . . . . . . 8 $/\$
24	22, 2, 23	sylancr 663	. . . . . . 7
25	1, 16, 24	funcf1 14768	. . . . . 6
26		fco 5563	. . . . . 6 $/\$
27	21, 25, 26	syl2anc 661	. . . . 5
28	5	feq1d 5541	. . . . 5 _func
29	27, 28	mpbird 232	. . . 4 _func
30		eqid 2438	. . . . . . 7
31		ovex 6111	. . . . . . . 8
32		ovex 6111	. . . . . . . 8
33	31, 32	coex 6524	. . . . . . 7
34	30, 33	fnmpt2i 6638	. . . . . 6
35	13	fneq1d 5496	. . . . . 6 _func
36	34, 35	mpbiri 233	. . . . 5 _func
37		eqid 2438	. . . . . . . . . . 11
38		eqid 2438	. . . . . . . . . . 11
39	20	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
40	25	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
41		simprl 755	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
42	40, 41	ffvelrnd 5839	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
43		simprr 756	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
44	40, 43	ffvelrnd 5839	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
45	16, 37, 38, 39, 42, 44	funcf2 14770	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
46		eqid 2438	. . . . . . . . . . 11
47	24	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
48	1, 46, 37, 47, 41, 43	funcf2 14770	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
49		fco 5563	. . . . . . . . . 10 $/\$
50	45, 48, 49	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
51		ovex 6111	. . . . . . . . . 10
52		ovex 6111	. . . . . . . . . 10
53	51, 52	elmap 7233	. . . . . . . . 9
54	50, 53	sylibr 212	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
55	2	adantr 465	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
56	3	adantr 465	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
57	1, 55, 56, 41, 43	cofu2nd 14787	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ _func
58	1, 55, 56, 41	cofu1 14786	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ _func
59	1, 55, 56, 43	cofu1 14786	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ _func
60	58, 59	oveq12d 6104	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ _func _func
61	60	oveq1d 6101	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ _func _func
62	54, 57, 61	3eltr4d 2519	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ _func _func _func
63	62	ralrimivva 2803	. . . . . 6 _func _func _func
64		fveq2 5686	. . . . . . . . 9 _func _func
65		df-ov 6089	. . . . . . . . 9 _func _func
66	64, 65	syl6eqr 2488	. . . . . . . 8 _func _func
67		vex 2970	. . . . . . . . . . . 12
68		vex 2970	. . . . . . . . . . . 12
69	67, 68	op1std 6582	. . . . . . . . . . 11
70	69	fveq2d 5690	. . . . . . . . . 10 _func _func
71	67, 68	op2ndd 6583	. . . . . . . . . . 11
72	71	fveq2d 5690	. . . . . . . . . 10 _func _func
73	70, 72	oveq12d 6104	. . . . . . . . 9 _func _func _func _func
74		fveq2 5686	. . . . . . . . . 10
75		df-ov 6089	. . . . . . . . . 10
76	74, 75	syl6eqr 2488	. . . . . . . . 9
77	73, 76	oveq12d 6104	. . . . . . . 8 _func _func _func _func
78	66, 77	eleq12d 2506	. . . . . . 7 _func _func _func _func _func _func
79	78	ralxp 4976	. . . . . 6 _func _func _func _func _func _func
80	63, 79	sylibr 212	. . . . 5 _func _func _func
81		fvex 5696	. . . . . 6 _func
82	81	elixp 7262	. . . . 5 _func _func _func _func $/\$ _func _func _func
83	36, 80, 82	sylanbrc 664	. . . 4 _func _func _func
84		eqid 2438	. . . . . . . . . 10
85		eqid 2438	. . . . . . . . . 10
86	24	adantr 465	. . . . . . . . . 10 $/\$
87		simpr 461	. . . . . . . . . 10 $/\$
88	1, 84, 85, 86, 87	funcid 14772	. . . . . . . . 9 $/\$
89	88	fveq2d 5690	. . . . . . . 8 $/\$
90		eqid 2438	. . . . . . . . 9
91	20	adantr 465	. . . . . . . . 9 $/\$
92	25	ffvelrnda 5838	. . . . . . . . 9 $/\$
93	16, 85, 90, 91, 92	funcid 14772	. . . . . . . 8 $/\$
94	89, 93	eqtrd 2470	. . . . . . 7 $/\$
95	2	adantr 465	. . . . . . . 8 $/\$
96	3	adantr 465	. . . . . . . 8 $/\$
97		funcrcl 14765	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
98	2, 97	syl 16	. . . . . . . . . . 11 $/\$
99	98	simpld 459	. . . . . . . . . 10
100	99	adantr 465	. . . . . . . . 9 $/\$
101	1, 46, 84, 100, 87	catidcl 14612	. . . . . . . 8 $/\$
102	1, 95, 96, 87, 87, 46, 101	cofu2 14788	. . . . . . 7 $/\$ _func
103	1, 95, 96, 87	cofu1 14786	. . . . . . . 8 $/\$ _func
104	103	fveq2d 5690	. . . . . . 7 $/\$ _func
105	94, 102, 104	3eqtr4d 2480	. . . . . 6 $/\$ _func _func
106	86	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107		simplr 754	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108		simprlr 762	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	1, 46, 37, 106, 107, 108	funcf2 14770	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110		eqid 2438	. . . . . . . . . . . . 13 comp comp
111	100	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112		simprll 761	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113		simprrl 763	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
114		simprrr 764	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115	1, 46, 110, 111, 107, 112, 108, 113, 114	catcocl 14615	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ comp
116		fvco3 5763	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ comp comp comp
117	109, 115, 116	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ comp comp
118		eqid 2438	. . . . . . . . . . . . 13 comp comp
119	1, 46, 110, 118, 106, 107, 112, 108, 113, 114	funcco 14773	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ comp comp
120	119	fveq2d 5690	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ comp comp
121		eqid 2438	. . . . . . . . . . . 12 comp comp
122	91	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
123	92	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
124	25	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
125	124	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
126	125, 112	ffvelrnd 5839	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
127	125, 108	ffvelrnd 5839	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	1, 46, 37, 106, 107, 112	funcf2 14770	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129	128, 113	ffvelrnd 5839	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	1, 46, 37, 106, 112, 108	funcf2 14770	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	130, 114	ffvelrnd 5839	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132	16, 37, 118, 121, 122, 123, 126, 127, 129, 131	funcco 14773	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ comp comp
133	117, 120, 132	3eqtrd 2474	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ comp comp
134	95	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
135	96	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
136	1, 134, 135, 107, 108	cofu2nd 14787	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func
137	136	fveq1d 5688	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func comp comp
138	103	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func
139	1, 134, 135, 112	cofu1 14786	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func
140	138, 139	opeq12d 4062	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func _func
141	1, 134, 135, 108	cofu1 14786	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func
142	140, 141	oveq12d 6104	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func _func comp _func comp
143	1, 134, 135, 112, 108, 46, 114	cofu2 14788	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func
144	1, 134, 135, 107, 112, 46, 113	cofu2 14788	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func
145	142, 143, 144	oveq123d 6107	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func _func _func comp _func _func comp
146	133, 137, 145	3eqtr4d 2480	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func comp _func _func _func comp _func _func
147	146	anassrs 648	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func comp _func _func _func comp _func _func
148	147	ralrimivva 2803	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ _func comp _func _func _func comp _func _func
149	148	ralrimivva 2803	. . . . . 6 $/\$ _func comp _func _func _func comp _func _func
150	105, 149	jca 532	. . . . 5 $/\$ _func _func $/\$ _func comp _func _func _func comp _func _func
151	150	ralrimiva 2794	. . . 4 _func _func $/\$ _func comp _func _func _func comp _func _func
152		funcrcl 14765	. . . . . . 7 $/\$
153	3, 152	syl 16	. . . . . 6 $/\$
154	153	simprd 463	. . . . 5
155	1, 17, 46, 38, 84, 90, 110, 121, 99, 154	isfunc 14766	. . . 4 _func _func _func $/\$ _func _func _func $/\$ _func _func $/\$ _func comp _func _func _func comp _func _func
156	29, 83, 151, 155	mpbir3and 1171	. . 3 _func _func
157		df-br 4288	. . 3 _func _func _func _func
158	156, 157	sylib 196	. 2 _func _func
159	15, 158	eqeltrd 2512	1 _func

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 369

wceq 1369

wcel 1756

wral 2710

cop 3878 class class class wbr 4287

cxp 4833

ccom 4839

wrel 4840

wfn 5408

wf 5409

cfv 5413 (class class class)co 6086

cmpt2 6088

c1st 6570

c2nd 6571

cmap 7206

cixp 7255

cbs 14166

chom 14241 compcco 14242

ccat 14594

ccid 14595

cfunc 14756

_func ccofu 14758

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1591 ax-4 1602 ax-5 1670 ax-6 1708 ax-7 1728 ax-8 1758 ax-9 1760 ax-10 1775 ax-11 1780 ax-12 1792 ax-13 1943 ax-ext 2419 ax-rep 4398 ax-sep 4408 ax-nul 4416 ax-pow 4465 ax-pr 4526 ax-un 6367

This theorem depends on definitions: df-bi 185 df-or 370 df-an 371 df-3an 967 df-tru 1372 df-ex 1587 df-nf 1590 df-sb 1701 df-eu 2256 df-mo 2257 df-clab 2425 df-cleq 2431 df-clel 2434 df-nfc 2563 df-ne 2603 df-ral 2715 df-rex 2716 df-reu 2717 df-rmo 2718 df-rab 2719 df-v 2969 df-sbc 3182 df-csb 3284 df-dif 3326 df-un 3328 df-in 3330 df-ss 3337 df-nul 3633 df-if 3787 df-pw 3857 df-sn 3873 df-pr 3875 df-op 3879 df-uni 4087 df-iun 4168 df-br 4288 df-opab 4346 df-mpt 4347 df-id 4631 df-xp 4841 df-rel 4842 df-cnv 4843 df-co 4844 df-dm 4845 df-rn 4846 df-res 4847 df-ima 4848 df-iota 5376 df-fun 5415 df-fn 5416 df-f 5417 df-f1 5418 df-fo 5419 df-f1o 5420 df-fv 5421 df-riota 6047 df-ov 6089 df-oprab 6090 df-mpt2 6091 df-1st 6572 df-2nd 6573 df-map 7208 df-ixp 7256 df-cat 14598 df-cid 14599 df-func 14760 df-cofu 14762

This theorem is referenced by: cofuass 14791 cofull 14836 cofth 14837 catccatid 14962 1st2ndprf 15008 uncfcl 15037 uncf1 15038 uncf2 15039 yonedalem1 15074 yonedalem21 15075 yonedalem22 15080

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