Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cofuass Structured version   Unicode version

Theorem cofuass 15133
 Description: Functor composition is associative. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cofuass.g
cofuass.h
cofuass.k
Assertion
Ref Expression
cofuass func func func func

Proof of Theorem cofuass
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coass 5532 . . . 4
2 eqid 2467 . . . . . 6
3 cofuass.h . . . . . 6
4 cofuass.k . . . . . 6
52, 3, 4cofu1st 15127 . . . . 5 func
65coeq1d 5170 . . . 4 func
7 eqid 2467 . . . . . 6
8 cofuass.g . . . . . 6
97, 8, 3cofu1st 15127 . . . . 5 func
109coeq2d 5171 . . . 4 func
111, 6, 103eqtr4a 2534 . . 3 func func
12 coass 5532 . . . . 5
1333ad2ant1 1017 . . . . . . 7
1443ad2ant1 1017 . . . . . . 7
15 relfunc 15106 . . . . . . . . . . 11
16 1st2ndbr 6844 . . . . . . . . . . 11
1715, 8, 16sylancr 663 . . . . . . . . . 10
18173ad2ant1 1017 . . . . . . . . 9
197, 2, 18funcf1 15110 . . . . . . . 8
20 simp2 997 . . . . . . . 8
2119, 20ffvelrnd 6033 . . . . . . 7
22 simp3 998 . . . . . . . 8
2319, 22ffvelrnd 6033 . . . . . . 7
242, 13, 14, 21, 23cofu2nd 15129 . . . . . 6 func
2524coeq1d 5170 . . . . 5 func
2683ad2ant1 1017 . . . . . . . 8
277, 26, 13, 20cofu1 15128 . . . . . . 7 func
287, 26, 13, 22cofu1 15128 . . . . . . 7 func
2927, 28oveq12d 6313 . . . . . 6 func func
307, 26, 13, 20, 22cofu2nd 15129 . . . . . 6 func
3129, 30coeq12d 5173 . . . . 5 func func func
3212, 25, 313eqtr4a 2534 . . . 4 func func func func
3332mpt2eq3dva 6356 . . 3 func func func func
3411, 33opeq12d 4227 . 2 func func func func func func
353, 4cofucl 15132 . . 3 func
367, 8, 35cofuval 15126 . 2 func func func func
378, 3cofucl 15132 . . 3 func
387, 37, 4cofuval 15126 . 2 func func func func func func
3934, 36, 383eqtr4d 2518 1 func func func func
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767  cop 4039   class class class wbr 4453   ccom 5009   wrel 5010  cfv 5594  (class class class)co 6295   cmpt2 6297  c1st 6793  c2nd 6794  cbs 14507   cfunc 15098   func ccofu 15100 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-map 7434  df-ixp 7482  df-cat 14940  df-cid 14941  df-func 15102  df-cofu 15104 This theorem is referenced by:  catccatid  15304
 Copyright terms: Public domain W3C validator