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Theorem coftr 8447
Description: If there is a cofinal map from  B to  A and another from  C to  A, then there is also a cofinal map from  C to  B. Proposition 11.9 of [TakeutiZaring] p. 102. A limited form of transitivity for the "cof" relation. This is really a lemma for cfcof 8448. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Mar-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
coftr.1  |-  H  =  ( t  e.  C  |-> 
|^| { n  e.  B  |  ( g `  t )  C_  (
f `  n ) } )
Assertion
Ref Expression
coftr  |-  ( E. f ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  (
f `  y )
)  ->  ( E. g ( g : C --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  C  z  C_  ( g `  w
) )  ->  E. h
( h : C --> B  /\  A. s  e.  B  E. w  e.  C  s  C_  (
h `  w )
) ) )
Distinct variable groups:    A, f,
g, s, w, x   
z, A, f, g, s, w    B, f, g, h, s, w    B, n, t, f, g, w    x, B, y, f, g, s, w    C, f, g, h, s, w    t, C    z, C    h, H, s, w   
y, n
Allowed substitution hints:    A( y, t, h, n)    B( z)    C( x, y, n)    H( x, y, z, t, f, g, n)

Proof of Theorem coftr
StepHypRef Expression
1 fdm 5568 . . . . . . . 8  |-  ( g : C --> A  ->  dom  g  =  C
)
2 vex 2980 . . . . . . . . 9  |-  g  e. 
_V
32dmex 6516 . . . . . . . 8  |-  dom  g  e.  _V
41, 3syl6eqelr 2532 . . . . . . 7  |-  ( g : C --> A  ->  C  e.  _V )
5 coftr.1 . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( t  e.  C  |-> 
|^| { n  e.  B  |  ( g `  t )  C_  (
f `  n ) } )
6 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  w  ->  (
g `  t )  =  ( g `  w ) )
76sseq1d 3388 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  w  ->  (
( g `  t
)  C_  ( f `  n )  <->  ( g `  w )  C_  (
f `  n )
) )
87rabbidv 2969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  w  ->  { n  e.  B  |  (
g `  t )  C_  ( f `  n
) }  =  {
n  e.  B  | 
( g `  w
)  C_  ( f `  n ) } )
98inteqd 4138 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  w  ->  |^| { n  e.  B  |  (
g `  t )  C_  ( f `  n
) }  =  |^| { n  e.  B  | 
( g `  w
)  C_  ( f `  n ) } )
109cbvmptv 4388 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  C  |->  |^| { n  e.  B  |  (
g `  t )  C_  ( f `  n
) } )  =  ( w  e.  C  |-> 
|^| { n  e.  B  |  ( g `  w )  C_  (
f `  n ) } )
115, 10eqtri 2463 . . . . . . . 8  |-  H  =  ( w  e.  C  |-> 
|^| { n  e.  B  |  ( g `  w )  C_  (
f `  n ) } )
12 mptexg 5952 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  _V  ->  (
w  e.  C  |->  |^|
{ n  e.  B  |  ( g `  w )  C_  (
f `  n ) } )  e.  _V )
1311, 12syl5eqel 2527 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  _V  ->  H  e.  _V )
144, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( g : C --> A  ->  H  e.  _V )
1514ad2antrl 727 . . . . 5  |-  ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y
) )  /\  (
g : C --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  C  z  C_  ( g `  w
) ) )  ->  H  e.  _V )
16 ffn 5564 . . . . . . . . 9  |-  ( f : B --> A  -> 
f  Fn  B )
17 smodm2 6821 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  Fn  B  /\  Smo  f )  ->  Ord  B )
1816, 17sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  ->  Ord  B )
19183adant3 1008 . . . . . . 7  |-  ( ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  (
f `  y )
)  ->  Ord  B )
2019adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y
) )  /\  (
g : C --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  C  z  C_  ( g `  w
) ) )  ->  Ord  B )
21 simpl3 993 . . . . . 6  |-  ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y
) )  /\  (
g : C --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  C  z  C_  ( g `  w
) ) )  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y ) )
22 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y
) )  /\  (
g : C --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  C  z  C_  ( g `  w
) ) )  -> 
g : C --> A )
23 simpl1 991 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Ord  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y
)  /\  g : C
--> A )  /\  w  e.  C )  ->  Ord  B )
24 simpl2 992 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Ord  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y
)  /\  g : C
--> A )  /\  w  e.  C )  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  (
f `  y )
)
25 ffvelrn 5846 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g : C --> A  /\  w  e.  C )  ->  ( g `  w
)  e.  A )
26253ad2antl3 1152 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Ord  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y
)  /\  g : C
--> A )  /\  w  e.  C )  ->  (
g `  w )  e.  A )
27 sseq1 3382 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( g `  w )  ->  (
x  C_  ( f `  y )  <->  ( g `  w )  C_  (
f `  y )
) )
2827rexbidv 2741 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( g `  w )  ->  ( E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y )  <->  E. y  e.  B  ( g `  w )  C_  (
f `  y )
) )
2928rspccv 3075 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y
)  ->  ( (
g `  w )  e.  A  ->  E. y  e.  B  ( g `  w )  C_  (
f `  y )
) )
3024, 26, 29sylc 60 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Ord  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y
)  /\  g : C
--> A )  /\  w  e.  C )  ->  E. y  e.  B  ( g `  w )  C_  (
f `  y )
)
31 ssrab2 3442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { n  e.  B  |  (
g `  w )  C_  ( f `  n
) }  C_  B
32 ordsson 6406 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Ord 
B  ->  B  C_  On )
3331, 32syl5ss 3372 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Ord 
B  ->  { n  e.  B  |  (
g `  w )  C_  ( f `  n
) }  C_  On )
34 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  y  ->  (
f `  n )  =  ( f `  y ) )
3534sseq2d 3389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  y  ->  (
( g `  w
)  C_  ( f `  n )  <->  ( g `  w )  C_  (
f `  y )
) )
3635rspcev 3078 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  B  /\  ( g `  w
)  C_  ( f `  y ) )  ->  E. n  e.  B  ( g `  w
)  C_  ( f `  n ) )
37 rabn0 3662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { n  e.  B  | 
( g `  w
)  C_  ( f `  n ) }  =/=  (/)  <->  E. n  e.  B  ( g `  w ) 
C_  ( f `  n ) )
3836, 37sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  B  /\  ( g `  w
)  C_  ( f `  y ) )  ->  { n  e.  B  |  ( g `  w )  C_  (
f `  n ) }  =/=  (/) )
39 oninton 6416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { n  e.  B  |  ( g `  w )  C_  (
f `  n ) }  C_  On  /\  {
n  e.  B  | 
( g `  w
)  C_  ( f `  n ) }  =/=  (/) )  ->  |^| { n  e.  B  |  (
g `  w )  C_  ( f `  n
) }  e.  On )
4033, 38, 39syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Ord  B  /\  (
y  e.  B  /\  ( g `  w
)  C_  ( f `  y ) ) )  ->  |^| { n  e.  B  |  ( g `
 w )  C_  ( f `  n
) }  e.  On )
41 eloni 4734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( |^| { n  e.  B  | 
( g `  w
)  C_  ( f `  n ) }  e.  On  ->  Ord  |^| { n  e.  B  |  (
g `  w )  C_  ( f `  n
) } )
4240, 41syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Ord  B  /\  (
y  e.  B  /\  ( g `  w
)  C_  ( f `  y ) ) )  ->  Ord  |^| { n  e.  B  |  (
g `  w )  C_  ( f `  n
) } )
43 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Ord  B  /\  (
y  e.  B  /\  ( g `  w
)  C_  ( f `  y ) ) )  ->  Ord  B )
4435intminss 4159 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  B  /\  ( g `  w
)  C_  ( f `  y ) )  ->  |^| { n  e.  B  |  ( g `  w )  C_  (
f `  n ) }  C_  y )
4544adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Ord  B  /\  (
y  e.  B  /\  ( g `  w
)  C_  ( f `  y ) ) )  ->  |^| { n  e.  B  |  ( g `
 w )  C_  ( f `  n
) }  C_  y
)
46 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Ord  B  /\  (
y  e.  B  /\  ( g `  w
)  C_  ( f `  y ) ) )  ->  y  e.  B
)
47 ordtr2 4768 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Ord  |^| { n  e.  B  |  ( g `
 w )  C_  ( f `  n
) }  /\  Ord  B )  ->  ( ( |^| { n  e.  B  |  ( g `  w )  C_  (
f `  n ) }  C_  y  /\  y  e.  B )  ->  |^| { n  e.  B  |  (
g `  w )  C_  ( f `  n
) }  e.  B
) )
4847imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Ord  |^| { n  e.  B  |  (
g `  w )  C_  ( f `  n
) }  /\  Ord  B )  /\  ( |^| { n  e.  B  | 
( g `  w
)  C_  ( f `  n ) }  C_  y  /\  y  e.  B
) )  ->  |^| { n  e.  B  |  (
g `  w )  C_  ( f `  n
) }  e.  B
)
4942, 43, 45, 46, 48syl22anc 1219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Ord  B  /\  (
y  e.  B  /\  ( g `  w
)  C_  ( f `  y ) ) )  ->  |^| { n  e.  B  |  ( g `
 w )  C_  ( f `  n
) }  e.  B
)
5049rexlimdvaa 2847 . . . . . . . 8  |-  ( Ord 
B  ->  ( E. y  e.  B  (
g `  w )  C_  ( f `  y
)  ->  |^| { n  e.  B  |  (
g `  w )  C_  ( f `  n
) }  e.  B
) )
5123, 30, 50sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Ord  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y
)  /\  g : C
--> A )  /\  w  e.  C )  ->  |^| { n  e.  B  |  (
g `  w )  C_  ( f `  n
) }  e.  B
)
5251, 11fmptd 5872 . . . . . 6  |-  ( ( Ord  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y
)  /\  g : C
--> A )  ->  H : C --> B )
5320, 21, 22, 52syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y
) )  /\  (
g : C --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  C  z  C_  ( g `  w
) ) )  ->  H : C --> B )
54 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y
) )  /\  (
g : C --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  C  z  C_  ( g `  w
) ) )  ->  A. z  e.  A  E. w  e.  C  z  C_  ( g `  w ) )
55 simpl1 991 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y
) )  /\  (
g : C --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  C  z  C_  ( g `  w
) ) )  -> 
f : B --> A )
56 ffvelrn 5846 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : B --> A  /\  s  e.  B )  ->  ( f `  s
)  e.  A )
57 sseq1 3382 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( f `  s )  ->  (
z  C_  ( g `  w )  <->  ( f `  s )  C_  (
g `  w )
) )
5857rexbidv 2741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( f `  s )  ->  ( E. w  e.  C  z  C_  ( g `  w )  <->  E. w  e.  C  ( f `  s )  C_  (
g `  w )
) )
5958rspccv 3075 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  A  E. w  e.  C  z  C_  ( g `  w
)  ->  ( (
f `  s )  e.  A  ->  E. w  e.  C  ( f `  s )  C_  (
g `  w )
) )
6056, 59syl5 32 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  A  E. w  e.  C  z  C_  ( g `  w
)  ->  ( (
f : B --> A  /\  s  e.  B )  ->  E. w  e.  C  ( f `  s
)  C_  ( g `  w ) ) )
6160expdimp 437 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. z  e.  A  E. w  e.  C  z  C_  ( g `  w )  /\  f : B --> A )  -> 
( s  e.  B  ->  E. w  e.  C  ( f `  s
)  C_  ( g `  w ) ) )
6254, 55, 61syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y
) )  /\  (
g : C --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  C  z  C_  ( g `  w
) ) )  -> 
( s  e.  B  ->  E. w  e.  C  ( f `  s
)  C_  ( g `  w ) ) )
6355, 16syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y
) )  /\  (
g : C --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  C  z  C_  ( g `  w
) ) )  -> 
f  Fn  B )
64 simpl2 992 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y
) )  /\  (
g : C --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  C  z  C_  ( g `  w
) ) )  ->  Smo  f )
65 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Ord  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y
)  /\  g : C
--> A )  /\  w  e.  C )  ->  w  e.  C )
6665, 51jca 532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Ord  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y
)  /\  g : C
--> A )  /\  w  e.  C )  ->  (
w  e.  C  /\  |^|
{ n  e.  B  |  ( g `  w )  C_  (
f `  n ) }  e.  B )
)
6735elrab 3122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  { n  e.  B  |  ( g `
 w )  C_  ( f `  n
) }  <->  ( y  e.  B  /\  (
g `  w )  C_  ( f `  y
) ) )
68 sstr2 3368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( f `  s ) 
C_  ( g `  w )  ->  (
( g `  w
)  C_  ( f `  y )  ->  (
f `  s )  C_  ( f `  y
) ) )
69 smoword 6832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( f  Fn  B  /\  Smo  f )  /\  ( s  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
s  C_  y  <->  ( f `  s )  C_  (
f `  y )
) )
7069biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( f  Fn  B  /\  Smo  f )  /\  ( s  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( f `  s
)  C_  ( f `  y )  ->  s  C_  y ) )
7168, 70syl9r 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( f  Fn  B  /\  Smo  f )  /\  ( s  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( f `  s
)  C_  ( g `  w )  ->  (
( g `  w
)  C_  ( f `  y )  ->  s  C_  y ) ) )
7271expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( f  Fn  B  /\  Smo  f )  /\  s  e.  B )  ->  ( y  e.  B  ->  ( ( f `  s )  C_  (
g `  w )  ->  ( ( g `  w )  C_  (
f `  y )  ->  s  C_  y )
) ) )
7372com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( f  Fn  B  /\  Smo  f )  /\  s  e.  B )  ->  ( ( f `  s )  C_  (
g `  w )  ->  ( y  e.  B  ->  ( ( g `  w )  C_  (
f `  y )  ->  s  C_  y )
) ) )
7473imp4b 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( f  Fn  B  /\  Smo  f
)  /\  s  e.  B )  /\  (
f `  s )  C_  ( g `  w
) )  ->  (
( y  e.  B  /\  ( g `  w
)  C_  ( f `  y ) )  -> 
s  C_  y )
)
7567, 74syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( f  Fn  B  /\  Smo  f
)  /\  s  e.  B )  /\  (
f `  s )  C_  ( g `  w
) )  ->  (
y  e.  { n  e.  B  |  (
g `  w )  C_  ( f `  n
) }  ->  s  C_  y ) )
7675ralrimiv 2803 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( f  Fn  B  /\  Smo  f
)  /\  s  e.  B )  /\  (
f `  s )  C_  ( g `  w
) )  ->  A. y  e.  { n  e.  B  |  ( g `  w )  C_  (
f `  n ) } s  C_  y
)
77 ssint 4149 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s 
C_  |^| { n  e.  B  |  ( g `
 w )  C_  ( f `  n
) }  <->  A. y  e.  { n  e.  B  |  ( g `  w )  C_  (
f `  n ) } s  C_  y
)
7876, 77sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( f  Fn  B  /\  Smo  f
)  /\  s  e.  B )  /\  (
f `  s )  C_  ( g `  w
) )  ->  s  C_ 
|^| { n  e.  B  |  ( g `  w )  C_  (
f `  n ) } )
799, 5fvmptg 5777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  C  /\  |^|
{ n  e.  B  |  ( g `  w )  C_  (
f `  n ) }  e.  B )  ->  ( H `  w
)  =  |^| { n  e.  B  |  (
g `  w )  C_  ( f `  n
) } )
8079sseq2d 3389 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  C  /\  |^|
{ n  e.  B  |  ( g `  w )  C_  (
f `  n ) }  e.  B )  ->  ( s  C_  ( H `  w )  <->  s 
C_  |^| { n  e.  B  |  ( g `
 w )  C_  ( f `  n
) } ) )
8178, 80syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( f  Fn  B  /\  Smo  f
)  /\  s  e.  B )  /\  (
f `  s )  C_  ( g `  w
) )  ->  (
( w  e.  C  /\  |^| { n  e.  B  |  ( g `
 w )  C_  ( f `  n
) }  e.  B
)  ->  s  C_  ( H `  w ) ) )
8266, 81syl5 32 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( f  Fn  B  /\  Smo  f
)  /\  s  e.  B )  /\  (
f `  s )  C_  ( g `  w
) )  ->  (
( ( Ord  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y )  /\  g : C --> A )  /\  w  e.  C )  ->  s  C_  ( H `  w ) ) )
8382ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f  Fn  B  /\  Smo  f )  /\  s  e.  B )  ->  ( ( f `  s )  C_  (
g `  w )  ->  ( ( ( Ord 
B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  (
f `  y )  /\  g : C --> A )  /\  w  e.  C
)  ->  s  C_  ( H `  w ) ) ) )
8483com23 78 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  Fn  B  /\  Smo  f )  /\  s  e.  B )  ->  ( ( ( Ord 
B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  (
f `  y )  /\  g : C --> A )  /\  w  e.  C
)  ->  ( (
f `  s )  C_  ( g `  w
)  ->  s  C_  ( H `  w ) ) ) )
8584expdimp 437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( f  Fn  B  /\  Smo  f
)  /\  s  e.  B )  /\  ( Ord  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  (
f `  y )  /\  g : C --> A ) )  ->  ( w  e.  C  ->  ( ( f `  s ) 
C_  ( g `  w )  ->  s  C_  ( H `  w
) ) ) )
8685reximdvai 2831 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( f  Fn  B  /\  Smo  f
)  /\  s  e.  B )  /\  ( Ord  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  (
f `  y )  /\  g : C --> A ) )  ->  ( E. w  e.  C  (
f `  s )  C_  ( g `  w
)  ->  E. w  e.  C  s  C_  ( H `  w ) ) )
8786ancoms 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Ord  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y
)  /\  g : C
--> A )  /\  (
( f  Fn  B  /\  Smo  f )  /\  s  e.  B )
)  ->  ( E. w  e.  C  (
f `  s )  C_  ( g `  w
)  ->  E. w  e.  C  s  C_  ( H `  w ) ) )
8887expr 615 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Ord  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y
)  /\  g : C
--> A )  /\  (
f  Fn  B  /\  Smo  f ) )  -> 
( s  e.  B  ->  ( E. w  e.  C  ( f `  s )  C_  (
g `  w )  ->  E. w  e.  C  s  C_  ( H `  w ) ) ) )
8920, 21, 22, 63, 64, 88syl32anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y
) )  /\  (
g : C --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  C  z  C_  ( g `  w
) ) )  -> 
( s  e.  B  ->  ( E. w  e.  C  ( f `  s )  C_  (
g `  w )  ->  E. w  e.  C  s  C_  ( H `  w ) ) ) )
9062, 89mpdd 40 . . . . . 6  |-  ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y
) )  /\  (
g : C --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  C  z  C_  ( g `  w
) ) )  -> 
( s  e.  B  ->  E. w  e.  C  s  C_  ( H `  w ) ) )
9190ralrimiv 2803 . . . . 5  |-  ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y
) )  /\  (
g : C --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  C  z  C_  ( g `  w
) ) )  ->  A. s  e.  B  E. w  e.  C  s  C_  ( H `  w ) )
92 feq1 5547 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  H  ->  (
h : C --> B  <->  H : C
--> B ) )
93 fveq1 5695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  =  H  ->  (
h `  w )  =  ( H `  w ) )
9493sseq2d 3389 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  H  ->  (
s  C_  ( h `  w )  <->  s  C_  ( H `  w ) ) )
9594rexbidv 2741 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  H  ->  ( E. w  e.  C  s  C_  ( h `  w )  <->  E. w  e.  C  s  C_  ( H `  w ) ) )
9695ralbidv 2740 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  H  ->  ( A. s  e.  B  E. w  e.  C  s  C_  ( h `  w )  <->  A. s  e.  B  E. w  e.  C  s  C_  ( H `  w ) ) )
9792, 96anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( h  =  H  ->  (
( h : C --> B  /\  A. s  e.  B  E. w  e.  C  s  C_  (
h `  w )
)  <->  ( H : C
--> B  /\  A. s  e.  B  E. w  e.  C  s  C_  ( H `  w ) ) ) )
9897spcegv 3063 . . . . . 6  |-  ( H  e.  _V  ->  (
( H : C --> B  /\  A. s  e.  B  E. w  e.  C  s  C_  ( H `  w )
)  ->  E. h
( h : C --> B  /\  A. s  e.  B  E. w  e.  C  s  C_  (
h `  w )
) ) )
99983impib 1185 . . . . 5  |-  ( ( H  e.  _V  /\  H : C --> B  /\  A. s  e.  B  E. w  e.  C  s  C_  ( H `  w
) )  ->  E. h
( h : C --> B  /\  A. s  e.  B  E. w  e.  C  s  C_  (
h `  w )
) )
10015, 53, 91, 99syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y
) )  /\  (
g : C --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  C  z  C_  ( g `  w
) ) )  ->  E. h ( h : C --> B  /\  A. s  e.  B  E. w  e.  C  s  C_  ( h `  w
) ) )
101100ex 434 . . 3  |-  ( ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  (
f `  y )
)  ->  ( (
g : C --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  C  z  C_  ( g `  w
) )  ->  E. h
( h : C --> B  /\  A. s  e.  B  E. w  e.  C  s  C_  (
h `  w )
) ) )
102101exlimdv 1690 . 2  |-  ( ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  (
f `  y )
)  ->  ( E. g ( g : C --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  C  z  C_  ( g `  w
) )  ->  E. h
( h : C --> B  /\  A. s  e.  B  E. w  e.  C  s  C_  (
h `  w )
) ) )
103102exlimiv 1688 1  |-  ( E. f ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  (
f `  y )
)  ->  ( E. g ( g : C --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  C  z  C_  ( g `  w
) )  ->  E. h
( h : C --> B  /\  A. s  e.  B  E. w  e.  C  s  C_  (
h `  w )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756    =/= wne 2611   A.wral 2720   E.wrex 2721   {crab 2724   _Vcvv 2977    C_ wss 3333   (/)c0 3642   |^|cint 4133    e. cmpt 4355   Ord word 4723   Oncon0 4724   dom cdm 4845    Fn wfn 5418   -->wf 5419   ` cfv 5423   Smo wsmo 6811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-smo 6812
This theorem is referenced by:  cfcof  8448
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