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Theorem cofsmo 8666
Description: Any cofinal map implies the existence of a strictly monotone cofinal map with a domain no larger than the original. Proposition 11.7 of [TakeutiZaring] p. 101. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cofsmo.1  |-  C  =  { y  e.  B  |  A. w  e.  y  ( f `  w
)  e.  ( f `
 y ) }
cofsmo.2  |-  K  = 
|^| { x  e.  B  |  z  C_  ( f `
 x ) }
cofsmo.3  |-  O  = OrdIso
(  _E  ,  C
)
Assertion
Ref Expression
cofsmo  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  ->  ( E. f ( f : B --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w
) )  ->  E. x  e.  suc  B E. g
( g : x --> A  /\  Smo  g  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  x  z  C_  ( g `  v ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, g,
v, w, x, z, A    y, f, B, v, w, x, z   
v, C    v, K, w, y    g, O, v, x, z
Allowed substitution hints:    A( y)    B( g)    C( x, y, z, w, f, g)    K( x, z, f, g)    O( y, w, f)

Proof of Theorem cofsmo
Dummy variables  s 
t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cofsmo.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  C  =  { y  e.  B  |  A. w  e.  y  ( f `  w
)  e.  ( f `
 y ) }
2 ssrab2 3581 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { y  e.  B  |  A. w  e.  y  (
f `  w )  e.  ( f `  y
) }  C_  B
31, 2eqsstri 3529 . . . . . . . . . . . 12  |-  C  C_  B
4 ssexg 4602 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  C_  B  /\  B  e.  On )  ->  C  e.  _V )
53, 4mpan 670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  On  ->  C  e.  _V )
6 onss 6625 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  On  ->  B  C_  On )
73, 6syl5ss 3510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  On  ->  C  C_  On )
8 epweon 6618 . . . . . . . . . . . 12  |-  _E  We  On
9 wess 4875 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C 
C_  On  ->  (  _E  We  On  ->  _E  We  C ) )
107, 8, 9mpisyl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  On  ->  _E  We  C )
11 cofsmo.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  O  = OrdIso
(  _E  ,  C
)
1211oiiso 7980 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  _V  /\  _E  We  C )  ->  O  Isom  _E  ,  _E  ( dom  O ,  C
) )
135, 10, 12syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  On  ->  O  Isom  _E  ,  _E  ( dom  O ,  C ) )
1413ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  O  Isom  _E  ,  _E  ( dom  O ,  C ) )
15 isof1o 6222 . . . . . . . . 9  |-  ( O 
Isom  _E  ,  _E  ( dom  O ,  C
)  ->  O : dom  O -1-1-onto-> C )
16 f1ofo 5829 . . . . . . . . 9  |-  ( O : dom  O -1-1-onto-> C  ->  O : dom  O -onto-> C
)
1714, 15, 163syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  O : dom  O
-onto-> C )
18 fof 5801 . . . . . . . . 9  |-  ( O : dom  O -onto-> C  ->  O : dom  O --> C )
19 fss 5745 . . . . . . . . 9  |-  ( ( O : dom  O --> C  /\  C  C_  B
)  ->  O : dom  O --> B )
2018, 3, 19sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( O : dom  O -onto-> C  ->  O : dom  O --> B )
2117, 20syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  O : dom  O --> B )
2211oion 7979 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  _V  ->  dom  O  e.  On )
235, 22syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  On  ->  dom  O  e.  On )
2423ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  dom  O  e.  On )
25 simplr 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  B  e.  On )
26 eloni 4897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom 
O  e.  On  ->  Ord 
dom  O )
27 smoiso2 7058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Ord  dom  O  /\  C  C_  On )  -> 
( ( O : dom  O -onto-> C  /\  Smo  O
)  <->  O  Isom  _E  ,  _E  ( dom  O ,  C ) ) )
2826, 7, 27syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( dom  O  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( O : dom  O -onto-> C  /\  Smo  O )  <->  O  Isom  _E  ,  _E  ( dom 
O ,  C ) ) )
2928biimpar 485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( dom  O  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  O  Isom  _E  ,  _E  ( dom  O ,  C ) )  ->  ( O : dom  O -onto-> C  /\  Smo  O ) )
3029simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( dom  O  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  O  Isom  _E  ,  _E  ( dom  O ,  C ) )  ->  Smo  O )
3124, 25, 14, 30syl21anc 1227 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  Smo  O )
32 eloni 4897 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  On  ->  Ord  B )
3332ad2antlr 726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  Ord  B )
34 smorndom 7057 . . . . . . 7  |-  ( ( O : dom  O --> B  /\  Smo  O  /\  Ord  B )  ->  dom  O 
C_  B )
3521, 31, 33, 34syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  dom  O  C_  B
)
36 onsssuc 4974 . . . . . . 7  |-  ( ( dom  O  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( dom  O  C_  B  <->  dom  O  e.  suc  B ) )
3724, 25, 36syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  ( dom  O  C_  B  <->  dom  O  e.  suc  B ) )
3835, 37mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  dom  O  e.  suc  B )
3938adantrr 716 . . . 4  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  (
f `  w )
) )  ->  dom  O  e.  suc  B )
40 vex 3112 . . . . . 6  |-  f  e. 
_V
4111oiexg 7978 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  _V  ->  O  e.  _V )
425, 41syl 16 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  On  ->  O  e.  _V )
4342ad2antlr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  (
f `  w )
) )  ->  O  e.  _V )
44 coexg 6750 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  _V  /\  O  e.  _V )  ->  ( f  o.  O
)  e.  _V )
4540, 43, 44sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  (
f `  w )
) )  ->  (
f  o.  O )  e.  _V )
46 simprl 756 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  (
f `  w )
) )  ->  f : B --> A )
4721adantrr 716 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  (
f `  w )
) )  ->  O : dom  O --> B )
48 fco 5747 . . . . . . 7  |-  ( ( f : B --> A  /\  O : dom  O --> B )  ->  ( f  o.  O ) : dom  O --> A )
4946, 47, 48syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  (
f `  w )
) )  ->  (
f  o.  O ) : dom  O --> A )
50 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  f : B --> A )
5150, 21, 48syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  ( f  o.  O ) : dom  O --> A )
52 ordsson 6624 . . . . . . . . 9  |-  ( Ord 
A  ->  A  C_  On )
5352ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  A  C_  On )
5424, 26syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  Ord  dom  O )
5517, 18syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  O : dom  O --> C )
56 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  dom  O  /\  t  e.  s
)  ->  s  e.  dom  O )
57 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( O : dom  O --> C  /\  s  e.  dom  O )  ->  ( O `  s )  e.  C
)
5855, 56, 57syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  (
s  e.  dom  O  /\  t  e.  s
) )  ->  ( O `  s )  e.  C )
59 ffn 5737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( O : dom  O --> C  ->  O  Fn  dom  O )
6017, 18, 593syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  O  Fn  dom  O )
6160, 31jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  ( O  Fn  dom  O  /\  Smo  O
) )
62 smoel2 7052 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( O  Fn  dom  O  /\  Smo  O )  /\  ( s  e. 
dom  O  /\  t  e.  s ) )  -> 
( O `  t
)  e.  ( O `
 s ) )
6361, 62sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  (
s  e.  dom  O  /\  t  e.  s
) )  ->  ( O `  t )  e.  ( O `  s
) )
64 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( O `  s )  ->  (
f `  z )  =  ( f `  ( O `  s ) ) )
6564eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( O `  s )  ->  (
( f `  x
)  e.  ( f `
 z )  <->  ( f `  x )  e.  ( f `  ( O `
 s ) ) ) )
6665raleqbi1dv 3062 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( O `  s )  ->  ( A. x  e.  z 
( f `  x
)  e.  ( f `
 z )  <->  A. x  e.  ( O `  s
) ( f `  x )  e.  ( f `  ( O `
 s ) ) ) )
67 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  x  ->  (
f `  w )  =  ( f `  x ) )
6867eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  x  ->  (
( f `  w
)  e.  ( f `
 y )  <->  ( f `  x )  e.  ( f `  y ) ) )
6968cbvralv 3084 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. w  e.  y  (
f `  w )  e.  ( f `  y
)  <->  A. x  e.  y  ( f `  x
)  e.  ( f `
 y ) )
70 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  z  ->  (
f `  y )  =  ( f `  z ) )
7170eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  z  ->  (
( f `  x
)  e.  ( f `
 y )  <->  ( f `  x )  e.  ( f `  z ) ) )
7271raleqbi1dv 3062 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  z  ->  ( A. x  e.  y 
( f `  x
)  e.  ( f `
 y )  <->  A. x  e.  z  ( f `  x )  e.  ( f `  z ) ) )
7369, 72syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  z  ->  ( A. w  e.  y 
( f `  w
)  e.  ( f `
 y )  <->  A. x  e.  z  ( f `  x )  e.  ( f `  z ) ) )
7473cbvrabv 3108 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { y  e.  B  |  A. w  e.  y  (
f `  w )  e.  ( f `  y
) }  =  {
z  e.  B  |  A. x  e.  z 
( f `  x
)  e.  ( f `
 z ) }
751, 74eqtri 2486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  C  =  { z  e.  B  |  A. x  e.  z  ( f `  x
)  e.  ( f `
 z ) }
7666, 75elrab2 3259 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( O `  s )  e.  C  <->  ( ( O `  s )  e.  B  /\  A. x  e.  ( O `  s
) ( f `  x )  e.  ( f `  ( O `
 s ) ) ) )
7776simprbi 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( O `  s )  e.  C  ->  A. x  e.  ( O `  s
) ( f `  x )  e.  ( f `  ( O `
 s ) ) )
78 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( O `  t )  ->  (
f `  x )  =  ( f `  ( O `  t ) ) )
7978eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( O `  t )  ->  (
( f `  x
)  e.  ( f `
 ( O `  s ) )  <->  ( f `  ( O `  t
) )  e.  ( f `  ( O `
 s ) ) ) )
8079rspccv 3207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  ( O `  s ) ( f `
 x )  e.  ( f `  ( O `  s )
)  ->  ( ( O `  t )  e.  ( O `  s
)  ->  ( f `  ( O `  t
) )  e.  ( f `  ( O `
 s ) ) ) )
8177, 80syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( O `  s )  e.  C  ->  (
( O `  t
)  e.  ( O `
 s )  -> 
( f `  ( O `  t )
)  e.  ( f `
 ( O `  s ) ) ) )
8258, 63, 81sylc 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  (
s  e.  dom  O  /\  t  e.  s
) )  ->  (
f `  ( O `  t ) )  e.  ( f `  ( O `  s )
) )
8321adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  (
s  e.  dom  O  /\  t  e.  s
) )  ->  O : dom  O --> B )
84 ordtr1 4930 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Ord 
dom  O  ->  ( ( t  e.  s  /\  s  e.  dom  O )  ->  t  e.  dom  O ) )
8584ancomsd 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Ord 
dom  O  ->  ( ( s  e.  dom  O  /\  t  e.  s
)  ->  t  e.  dom  O ) )
8624, 26, 853syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  ( ( s  e.  dom  O  /\  t  e.  s )  ->  t  e.  dom  O
) )
8786imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  (
s  e.  dom  O  /\  t  e.  s
) )  ->  t  e.  dom  O )
88 fvco3 5950 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( O : dom  O --> B  /\  t  e.  dom  O )  ->  ( (
f  o.  O ) `
 t )  =  ( f `  ( O `  t )
) )
8983, 87, 88syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  (
s  e.  dom  O  /\  t  e.  s
) )  ->  (
( f  o.  O
) `  t )  =  ( f `  ( O `  t ) ) )
90 simprl 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  (
s  e.  dom  O  /\  t  e.  s
) )  ->  s  e.  dom  O )
91 fvco3 5950 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( O : dom  O --> B  /\  s  e.  dom  O )  ->  ( (
f  o.  O ) `
 s )  =  ( f `  ( O `  s )
) )
9283, 90, 91syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  (
s  e.  dom  O  /\  t  e.  s
) )  ->  (
( f  o.  O
) `  s )  =  ( f `  ( O `  s ) ) )
9382, 89, 923eltr4d 2560 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  (
s  e.  dom  O  /\  t  e.  s
) )  ->  (
( f  o.  O
) `  t )  e.  ( ( f  o.  O ) `  s
) )
9493ralrimivva 2878 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  A. s  e.  dom  O A. t  e.  s  ( ( f  o.  O ) `  t
)  e.  ( ( f  o.  O ) `
 s ) )
95 issmo2 7038 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  o.  O ) : dom  O --> A  -> 
( ( A  C_  On  /\  Ord  dom  O  /\  A. s  e.  dom  O A. t  e.  s  ( ( f  o.  O ) `  t
)  e.  ( ( f  o.  O ) `
 s ) )  ->  Smo  ( f  o.  O ) ) )
9695imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f  o.  O
) : dom  O --> A  /\  ( A  C_  On  /\  Ord  dom  O  /\  A. s  e.  dom  O A. t  e.  s  ( ( f  o.  O ) `  t
)  e.  ( ( f  o.  O ) `
 s ) ) )  ->  Smo  ( f  o.  O ) )
9751, 53, 54, 94, 96syl13anc 1230 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  Smo  ( f  o.  O ) )
9897adantrr 716 . . . . . 6  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  (
f `  w )
) )  ->  Smo  ( f  o.  O
) )
9917adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w
) )  ->  O : dom  O -onto-> C )
100 rabn0 3814 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { w  e.  B  | 
z  C_  ( f `  w ) }  =/=  (/)  <->  E. w  e.  B  z 
C_  ( f `  w ) )
101 ssrab2 3581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) }  C_  B
102101, 6syl5ss 3510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  e.  On  ->  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) }  C_  On )
103 cofsmo.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  K  = 
|^| { x  e.  B  |  z  C_  ( f `
 x ) }
104 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  w  ->  (
f `  x )  =  ( f `  w ) )
105104sseq2d 3527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  w  ->  (
z  C_  ( f `  x )  <->  z  C_  ( f `  w
) ) )
106105cbvrabv 3108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  { x  e.  B  |  z  C_  ( f `  x
) }  =  {
w  e.  B  | 
z  C_  ( f `  w ) }
107106inteqi 4292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  |^| { x  e.  B  |  z  C_  ( f `  x
) }  =  |^| { w  e.  B  | 
z  C_  ( f `  w ) }
108103, 107eqtri 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  K  = 
|^| { w  e.  B  |  z  C_  ( f `
 w ) }
109 onint 6629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( { w  e.  B  |  z  C_  ( f `
 w ) } 
C_  On  /\  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) }  =/=  (/) )  ->  |^| { w  e.  B  |  z  C_  ( f `
 w ) }  e.  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) } )
110108, 109syl5eqel 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( { w  e.  B  |  z  C_  ( f `
 w ) } 
C_  On  /\  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) }  =/=  (/) )  ->  K  e.  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) } )
111102, 110sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  On  /\  { w  e.  B  | 
z  C_  ( f `  w ) }  =/=  (/) )  ->  K  e.  { w  e.  B  | 
z  C_  ( f `  w ) } )
112100, 111sylan2br 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  On  /\  E. w  e.  B  z 
C_  ( f `  w ) )  ->  K  e.  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) } )
113 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  K  ->  (
f `  w )  =  ( f `  K ) )
114113sseq2d 3527 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  K  ->  (
z  C_  ( f `  w )  <->  z  C_  ( f `  K
) ) )
115114elrab 3257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) }  <->  ( K  e.  B  /\  z  C_  ( f `  K
) ) )
116112, 115sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  On  /\  E. w  e.  B  z 
C_  ( f `  w ) )  -> 
( K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) ) )
117116ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  On  ->  ( E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w )  ->  ( K  e.  B  /\  z  C_  ( f `  K ) ) ) )
118117adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  ->  ( E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w )  ->  ( K  e.  B  /\  z  C_  ( f `  K ) ) ) )
119 simpr2 1003 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) ) )  ->  K  e.  B )
120 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  w  e.  K )
121108eleq2i 2535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  e.  K  <->  w  e.  |^|
{ w  e.  B  |  z  C_  ( f `
 w ) } )
122 simp21 1029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  f : B
--> A )
123 simp1l 1020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  Ord  A )
124123, 52syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  A  C_  On )
125122, 124fssd 5746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  f : B
--> On )
126 simp22 1030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  K  e.  B )
127125, 126ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  ( f `  K )  e.  On )
128 simp1r 1021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  B  e.  On )
129 ontr1 4933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( B  e.  On  ->  (
( w  e.  K  /\  K  e.  B
)  ->  w  e.  B ) )
1301293impib 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( B  e.  On  /\  w  e.  K  /\  K  e.  B )  ->  w  e.  B )
131128, 120, 126, 130syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  w  e.  B )
132125, 131ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  ( f `  w )  e.  On )
133 ontri1 4921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( f `  K
)  e.  On  /\  ( f `  w
)  e.  On )  ->  ( ( f `
 K )  C_  ( f `  w
)  <->  -.  ( f `  w )  e.  ( f `  K ) ) )
134127, 132, 133syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  ( (
f `  K )  C_  ( f `  w
)  <->  -.  ( f `  w )  e.  ( f `  K ) ) )
135 simp23 1031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  z  C_  ( f `  K
) )
136 simpl1 999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  w  e.  K  /\  K  e.  B )  /\  ( z  C_  (
f `  K )  /\  ( f `  K
)  C_  ( f `  w ) ) )  ->  B  e.  On )
137136, 102syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  w  e.  K  /\  K  e.  B )  /\  ( z  C_  (
f `  K )  /\  ( f `  K
)  C_  ( f `  w ) ) )  ->  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) }  C_  On )
138 sstr 3507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( z  C_  ( f `  K )  /\  (
f `  K )  C_  ( f `  w
) )  ->  z  C_  ( f `  w
) )
139130, 138anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  w  e.  K  /\  K  e.  B )  /\  ( z  C_  (
f `  K )  /\  ( f `  K
)  C_  ( f `  w ) ) )  ->  ( w  e.  B  /\  z  C_  ( f `  w
) ) )
140 rabid 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( w  e.  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) }  <->  ( w  e.  B  /\  z  C_  ( f `  w
) ) )
141139, 140sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  w  e.  K  /\  K  e.  B )  /\  ( z  C_  (
f `  K )  /\  ( f `  K
)  C_  ( f `  w ) ) )  ->  w  e.  {
w  e.  B  | 
z  C_  ( f `  w ) } )
142 onnmin 6637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( { w  e.  B  |  z  C_  ( f `
 w ) } 
C_  On  /\  w  e.  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `
 w ) } )  ->  -.  w  e.  |^| { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) } )
143137, 141, 142syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  w  e.  K  /\  K  e.  B )  /\  ( z  C_  (
f `  K )  /\  ( f `  K
)  C_  ( f `  w ) ) )  ->  -.  w  e.  |^|
{ w  e.  B  |  z  C_  ( f `
 w ) } )
144143expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  w  e.  K  /\  K  e.  B )  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  ->  ( ( f `
 K )  C_  ( f `  w
)  ->  -.  w  e.  |^| { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) } ) )
145128, 120, 126, 135, 144syl31anc 1231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  ( (
f `  K )  C_  ( f `  w
)  ->  -.  w  e.  |^| { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) } ) )
146134, 145sylbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  ( -.  ( f `  w
)  e.  ( f `
 K )  ->  -.  w  e.  |^| { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) } ) )
147146con4d 105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  ( w  e.  |^| { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) }  ->  (
f `  w )  e.  ( f `  K
) ) )
148121, 147syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  ( w  e.  K  ->  ( f `
 w )  e.  ( f `  K
) ) )
149120, 148mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  ( f `  w )  e.  ( f `  K ) )
1501493expia 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) ) )  ->  ( w  e.  K  ->  ( f `
 w )  e.  ( f `  K
) ) )
151150ralrimiv 2869 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) ) )  ->  A. w  e.  K  ( f `  w )  e.  ( f `  K ) )
152 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  K  ->  (
f `  y )  =  ( f `  K ) )
153152eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  K  ->  (
( f `  w
)  e.  ( f `
 y )  <->  ( f `  w )  e.  ( f `  K ) ) )
154153raleqbi1dv 3062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  K  ->  ( A. w  e.  y 
( f `  w
)  e.  ( f `
 y )  <->  A. w  e.  K  ( f `  w )  e.  ( f `  K ) ) )
155154, 1elrab2 3259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  C  <->  ( K  e.  B  /\  A. w  e.  K  ( f `  w )  e.  ( f `  K ) ) )
156119, 151, 155sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) ) )  ->  K  e.  C )
157156expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `  K ) )  -> 
( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  ->  K  e.  C
) )
1581573expib 1199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : B --> A  -> 
( ( K  e.  B  /\  z  C_  ( f `  K
) )  ->  (
( Ord  A  /\  B  e.  On )  ->  K  e.  C ) ) )
159158com13 80 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  ->  (
( K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  ->  ( f : B --> A  ->  K  e.  C ) ) )
160118, 159syld 44 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  ->  ( E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w )  ->  (
f : B --> A  ->  K  e.  C )
) )
161160com23 78 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  ->  (
f : B --> A  -> 
( E. w  e.  B  z  C_  (
f `  w )  ->  K  e.  C ) ) )
162161imp31 432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w
) )  ->  K  e.  C )
163 foelrn 6051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( O : dom  O -onto-> C  /\  K  e.  C
)  ->  E. v  e.  dom  O  K  =  ( O `  v
) )
16499, 162, 163syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w
) )  ->  E. v  e.  dom  O  K  =  ( O `  v
) )
165 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w
) )  ->  B  e.  On )
166 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  =  ( O `  v )  ->  ( K  e.  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) }  <->  ( O `  v )  e.  {
w  e.  B  | 
z  C_  ( f `  w ) } ) )
167166biimpcd 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) }  ->  ( K  =  ( O `  v )  ->  ( O `  v )  e.  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `
 w ) } ) )
168 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  ( O `  v )  ->  (
f `  x )  =  ( f `  ( O `  v ) ) )
169168sseq2d 3527 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( O `  v )  ->  (
z  C_  ( f `  x )  <->  z  C_  ( f `  ( O `  v )
) ) )
17067sseq2d 3527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  x  ->  (
z  C_  ( f `  w )  <->  z  C_  ( f `  x
) ) )
171170cbvrabv 3108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) }  =  {
x  e.  B  | 
z  C_  ( f `  x ) }
172169, 171elrab2 3259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( O `  v )  e.  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) }  <->  ( ( O `  v )  e.  B  /\  z  C_  ( f `  ( O `  v )
) ) )
173172simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( O `  v )  e.  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) }  ->  z  C_  ( f `  ( O `  v )
) )
174167, 173syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) }  ->  ( K  =  ( O `  v )  ->  z  C_  ( f `  ( O `  v )
) ) )
175112, 174syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  On  /\  E. w  e.  B  z 
C_  ( f `  w ) )  -> 
( K  =  ( O `  v )  ->  z  C_  (
f `  ( O `  v ) ) ) )
176165, 175sylancom 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w
) )  ->  ( K  =  ( O `  v )  ->  z  C_  ( f `  ( O `  v )
) ) )
177176adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( Ord 
A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  E. w  e.  B  z 
C_  ( f `  w ) )  /\  v  e.  dom  O )  ->  ( K  =  ( O `  v
)  ->  z  C_  ( f `  ( O `  v )
) ) )
17821ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( Ord 
A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  E. w  e.  B  z 
C_  ( f `  w ) )  /\  v  e.  dom  O )  ->  O : dom  O --> B )
179 fvco3 5950 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( O : dom  O --> B  /\  v  e.  dom  O )  ->  ( (
f  o.  O ) `
 v )  =  ( f `  ( O `  v )
) )
180178, 179sylancom 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( Ord 
A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  E. w  e.  B  z 
C_  ( f `  w ) )  /\  v  e.  dom  O )  ->  ( ( f  o.  O ) `  v )  =  ( f `  ( O `
 v ) ) )
181180sseq2d 3527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( Ord 
A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  E. w  e.  B  z 
C_  ( f `  w ) )  /\  v  e.  dom  O )  ->  ( z  C_  ( ( f  o.  O ) `  v
)  <->  z  C_  (
f `  ( O `  v ) ) ) )
182177, 181sylibrd 234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( Ord 
A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  E. w  e.  B  z 
C_  ( f `  w ) )  /\  v  e.  dom  O )  ->  ( K  =  ( O `  v
)  ->  z  C_  ( ( f  o.  O ) `  v
) ) )
183182reximdva 2932 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w
) )  ->  ( E. v  e.  dom  O  K  =  ( O `
 v )  ->  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( (
f  o.  O ) `
 v ) ) )
184164, 183mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w
) )  ->  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( ( f  o.  O ) `  v
) )
185184ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  ( E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w
)  ->  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( ( f  o.  O ) `  v
) ) )
186185ralimdv 2867 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  ( A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w
)  ->  A. z  e.  A  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( ( f  o.  O ) `  v
) ) )
187186impr 619 . . . . . 6  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  (
f `  w )
) )  ->  A. z  e.  A  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( ( f  o.  O ) `  v
) )
18849, 98, 1873jca 1176 . . . . 5  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  (
f `  w )
) )  ->  (
( f  o.  O
) : dom  O --> A  /\  Smo  ( f  o.  O )  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  dom  O  z 
C_  ( ( f  o.  O ) `  v ) ) )
189 feq1 5719 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( f  o.  O )  ->  (
g : dom  O --> A 
<->  ( f  o.  O
) : dom  O --> A ) )
190 smoeq 7039 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( f  o.  O )  ->  ( Smo  g  <->  Smo  ( f  o.  O ) ) )
191 fveq1 5871 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  ( f  o.  O )  ->  (
g `  v )  =  ( ( f  o.  O ) `  v ) )
192191sseq2d 3527 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  ( f  o.  O )  ->  (
z  C_  ( g `  v )  <->  z  C_  ( ( f  o.  O ) `  v
) ) )
193192rexbidv 2968 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  ( f  o.  O )  ->  ( E. v  e.  dom  O  z  C_  ( g `  v )  <->  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( ( f  o.  O ) `  v
) ) )
194193ralbidv 2896 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( f  o.  O )  ->  ( A. z  e.  A  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( g `  v )  <->  A. z  e.  A  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( ( f  o.  O ) `  v
) ) )
195189, 190, 1943anbi123d 1299 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( f  o.  O )  ->  (
( g : dom  O --> A  /\  Smo  g  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( g `  v ) )  <->  ( (
f  o.  O ) : dom  O --> A  /\  Smo  ( f  o.  O
)  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( ( f  o.  O ) `  v
) ) ) )
196195spcegv 3195 . . . . 5  |-  ( ( f  o.  O )  e.  _V  ->  (
( ( f  o.  O ) : dom  O --> A  /\  Smo  (
f  o.  O )  /\  A. z  e.  A  E. v  e. 
dom  O  z  C_  ( ( f  o.  O ) `  v
) )  ->  E. g
( g : dom  O --> A  /\  Smo  g  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( g `  v ) ) ) )
19745, 188, 196sylc 60 . . . 4  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  (
f `  w )
) )  ->  E. g
( g : dom  O --> A  /\  Smo  g  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( g `  v ) ) )
198 feq2 5720 . . . . . . 7  |-  ( x  =  dom  O  -> 
( g : x --> A  <->  g : dom  O --> A ) )
199 rexeq 3055 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  dom  O  -> 
( E. v  e.  x  z  C_  (
g `  v )  <->  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( g `  v ) ) )
200199ralbidv 2896 . . . . . . 7  |-  ( x  =  dom  O  -> 
( A. z  e.  A  E. v  e.  x  z  C_  (
g `  v )  <->  A. z  e.  A  E. v  e.  dom  O  z 
C_  ( g `  v ) ) )
201198, 2003anbi13d 1301 . . . . . 6  |-  ( x  =  dom  O  -> 
( ( g : x --> A  /\  Smo  g  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  x  z  C_  (
g `  v )
)  <->  ( g : dom  O --> A  /\  Smo  g  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( g `  v
) ) ) )
202201exbidv 1715 . . . . 5  |-  ( x  =  dom  O  -> 
( E. g ( g : x --> A  /\  Smo  g  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  x  z  C_  ( g `  v
) )  <->  E. g
( g : dom  O --> A  /\  Smo  g  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( g `  v ) ) ) )
203202rspcev 3210 . . . 4  |-  ( ( dom  O  e.  suc  B  /\  E. g ( g : dom  O --> A  /\  Smo  g  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  dom  O  z 
C_  ( g `  v ) ) )  ->  E. x  e.  suc  B E. g ( g : x --> A  /\  Smo  g  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  x  z  C_  ( g `  v
) ) )
20439, 197, 203syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  (
f `  w )
) )  ->  E. x  e.  suc  B E. g
( g : x --> A  /\  Smo  g  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  x  z  C_  ( g `  v ) ) )
205204ex 434 . 2  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  ->  (
( f : B --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  (
f `  w )
)  ->  E. x  e.  suc  B E. g
( g : x --> A  /\  Smo  g  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  x  z  C_  ( g `  v ) ) ) )
206205exlimdv 1725 1  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  ->  ( E. f ( f : B --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w
) )  ->  E. x  e.  suc  B E. g
( g : x --> A  /\  Smo  g  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  x  z  C_  ( g `  v ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   (/)c0 3793   |^|cint 4288    _E cep 4798    We wwe 4846   Ord word 4886   Oncon0 4887   suc csuc 4889   dom cdm 5008    o. ccom 5012    Fn wfn 5589   -->wf 5590   -onto->wfo 5592   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594    Isom wiso 5595   Smo wsmo 7034  OrdIsocoi 7952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-smo 7035  df-recs 7060  df-oi 7953
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