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Theorem cofsmo 8661
Description: Any cofinal map implies the existence of a strictly monotone cofinal map with a domain no larger than the original. Proposition 11.7 of [TakeutiZaring] p. 101. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cofsmo.1  |-  C  =  { y  e.  B  |  A. w  e.  y  ( f `  w
)  e.  ( f `
 y ) }
cofsmo.2  |-  K  = 
|^| { x  e.  B  |  z  C_  ( f `
 x ) }
cofsmo.3  |-  O  = OrdIso
(  _E  ,  C
)
Assertion
Ref Expression
cofsmo  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  ->  ( E. f ( f : B --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w
) )  ->  E. x  e.  suc  B E. g
( g : x --> A  /\  Smo  g  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  x  z  C_  ( g `  v ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, g,
v, w, x, z, A    y, f, B, v, w, x, z   
v, C    v, K, w, y    g, O, v, x, z
Allowed substitution hints:    A( y)    B( g)    C( x, y, z, w, f, g)    K( x, z, f, g)    O( y, w, f)

Proof of Theorem cofsmo
Dummy variables  s 
t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cofsmo.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  C  =  { y  e.  B  |  A. w  e.  y  ( f `  w
)  e.  ( f `
 y ) }
2 ssrab2 3590 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { y  e.  B  |  A. w  e.  y  (
f `  w )  e.  ( f `  y
) }  C_  B
31, 2eqsstri 3539 . . . . . . . . . . . 12  |-  C  C_  B
4 ssexg 4599 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  C_  B  /\  B  e.  On )  ->  C  e.  _V )
53, 4mpan 670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  On  ->  C  e.  _V )
6 onss 6621 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  On  ->  B  C_  On )
73, 6syl5ss 3520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  On  ->  C  C_  On )
8 epweon 6614 . . . . . . . . . . . 12  |-  _E  We  On
9 wess 4872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C 
C_  On  ->  (  _E  We  On  ->  _E  We  C ) )
107, 8, 9mpisyl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  On  ->  _E  We  C )
11 cofsmo.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  O  = OrdIso
(  _E  ,  C
)
1211oiiso 7974 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  _V  /\  _E  We  C )  ->  O  Isom  _E  ,  _E  ( dom  O ,  C
) )
135, 10, 12syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  On  ->  O  Isom  _E  ,  _E  ( dom  O ,  C ) )
1413ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  O  Isom  _E  ,  _E  ( dom  O ,  C ) )
15 isof1o 6220 . . . . . . . . 9  |-  ( O 
Isom  _E  ,  _E  ( dom  O ,  C
)  ->  O : dom  O -1-1-onto-> C )
16 f1ofo 5829 . . . . . . . . 9  |-  ( O : dom  O -1-1-onto-> C  ->  O : dom  O -onto-> C
)
1714, 15, 163syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  O : dom  O
-onto-> C )
18 fof 5801 . . . . . . . . 9  |-  ( O : dom  O -onto-> C  ->  O : dom  O --> C )
19 fss 5745 . . . . . . . . 9  |-  ( ( O : dom  O --> C  /\  C  C_  B
)  ->  O : dom  O --> B )
2018, 3, 19sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( O : dom  O -onto-> C  ->  O : dom  O --> B )
2117, 20syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  O : dom  O --> B )
2211oion 7973 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  _V  ->  dom  O  e.  On )
235, 22syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  On  ->  dom  O  e.  On )
2423ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  dom  O  e.  On )
25 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  B  e.  On )
26 eloni 4894 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom 
O  e.  On  ->  Ord 
dom  O )
27 smoiso2 7052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Ord  dom  O  /\  C  C_  On )  -> 
( ( O : dom  O -onto-> C  /\  Smo  O
)  <->  O  Isom  _E  ,  _E  ( dom  O ,  C ) ) )
2826, 7, 27syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( dom  O  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( O : dom  O -onto-> C  /\  Smo  O )  <->  O  Isom  _E  ,  _E  ( dom 
O ,  C ) ) )
2928biimpar 485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( dom  O  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  O  Isom  _E  ,  _E  ( dom  O ,  C ) )  ->  ( O : dom  O -onto-> C  /\  Smo  O ) )
3029simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( dom  O  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  O  Isom  _E  ,  _E  ( dom  O ,  C ) )  ->  Smo  O )
3124, 25, 14, 30syl21anc 1227 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  Smo  O )
32 eloni 4894 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  On  ->  Ord  B )
3332ad2antlr 726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  Ord  B )
34 smorndom 7051 . . . . . . 7  |-  ( ( O : dom  O --> B  /\  Smo  O  /\  Ord  B )  ->  dom  O 
C_  B )
3521, 31, 33, 34syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  dom  O  C_  B
)
36 onsssuc 4971 . . . . . . 7  |-  ( ( dom  O  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( dom  O  C_  B  <->  dom  O  e.  suc  B ) )
3724, 25, 36syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  ( dom  O  C_  B  <->  dom  O  e.  suc  B ) )
3835, 37mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  dom  O  e.  suc  B )
3938adantrr 716 . . . 4  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  (
f `  w )
) )  ->  dom  O  e.  suc  B )
40 vex 3121 . . . . . 6  |-  f  e. 
_V
4111oiexg 7972 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  _V  ->  O  e.  _V )
425, 41syl 16 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  On  ->  O  e.  _V )
4342ad2antlr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  (
f `  w )
) )  ->  O  e.  _V )
44 coexg 6746 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  _V  /\  O  e.  _V )  ->  ( f  o.  O
)  e.  _V )
4540, 43, 44sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  (
f `  w )
) )  ->  (
f  o.  O )  e.  _V )
46 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  (
f `  w )
) )  ->  f : B --> A )
4721adantrr 716 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  (
f `  w )
) )  ->  O : dom  O --> B )
48 fco 5747 . . . . . . 7  |-  ( ( f : B --> A  /\  O : dom  O --> B )  ->  ( f  o.  O ) : dom  O --> A )
4946, 47, 48syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  (
f `  w )
) )  ->  (
f  o.  O ) : dom  O --> A )
50 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  f : B --> A )
5150, 21, 48syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  ( f  o.  O ) : dom  O --> A )
52 ordsson 6620 . . . . . . . . 9  |-  ( Ord 
A  ->  A  C_  On )
5352ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  A  C_  On )
5424, 26syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  Ord  dom  O )
5517, 18syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  O : dom  O --> C )
56 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  dom  O  /\  t  e.  s
)  ->  s  e.  dom  O )
57 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( O : dom  O --> C  /\  s  e.  dom  O )  ->  ( O `  s )  e.  C
)
5855, 56, 57syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  (
s  e.  dom  O  /\  t  e.  s
) )  ->  ( O `  s )  e.  C )
59 ffn 5737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( O : dom  O --> C  ->  O  Fn  dom  O )
6017, 18, 593syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  O  Fn  dom  O )
6160, 31jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  ( O  Fn  dom  O  /\  Smo  O
) )
62 smoel2 7046 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( O  Fn  dom  O  /\  Smo  O )  /\  ( s  e. 
dom  O  /\  t  e.  s ) )  -> 
( O `  t
)  e.  ( O `
 s ) )
6361, 62sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  (
s  e.  dom  O  /\  t  e.  s
) )  ->  ( O `  t )  e.  ( O `  s
) )
64 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( O `  s )  ->  (
f `  z )  =  ( f `  ( O `  s ) ) )
6564eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( O `  s )  ->  (
( f `  x
)  e.  ( f `
 z )  <->  ( f `  x )  e.  ( f `  ( O `
 s ) ) ) )
6665raleqbi1dv 3071 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( O `  s )  ->  ( A. x  e.  z 
( f `  x
)  e.  ( f `
 z )  <->  A. x  e.  ( O `  s
) ( f `  x )  e.  ( f `  ( O `
 s ) ) ) )
67 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  x  ->  (
f `  w )  =  ( f `  x ) )
6867eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  x  ->  (
( f `  w
)  e.  ( f `
 y )  <->  ( f `  x )  e.  ( f `  y ) ) )
6968cbvralv 3093 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. w  e.  y  (
f `  w )  e.  ( f `  y
)  <->  A. x  e.  y  ( f `  x
)  e.  ( f `
 y ) )
70 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  z  ->  (
f `  y )  =  ( f `  z ) )
7170eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  z  ->  (
( f `  x
)  e.  ( f `
 y )  <->  ( f `  x )  e.  ( f `  z ) ) )
7271raleqbi1dv 3071 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  z  ->  ( A. x  e.  y 
( f `  x
)  e.  ( f `
 y )  <->  A. x  e.  z  ( f `  x )  e.  ( f `  z ) ) )
7369, 72syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  z  ->  ( A. w  e.  y 
( f `  w
)  e.  ( f `
 y )  <->  A. x  e.  z  ( f `  x )  e.  ( f `  z ) ) )
7473cbvrabv 3117 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { y  e.  B  |  A. w  e.  y  (
f `  w )  e.  ( f `  y
) }  =  {
z  e.  B  |  A. x  e.  z 
( f `  x
)  e.  ( f `
 z ) }
751, 74eqtri 2496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  C  =  { z  e.  B  |  A. x  e.  z  ( f `  x
)  e.  ( f `
 z ) }
7666, 75elrab2 3268 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( O `  s )  e.  C  <->  ( ( O `  s )  e.  B  /\  A. x  e.  ( O `  s
) ( f `  x )  e.  ( f `  ( O `
 s ) ) ) )
7776simprbi 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( O `  s )  e.  C  ->  A. x  e.  ( O `  s
) ( f `  x )  e.  ( f `  ( O `
 s ) ) )
78 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( O `  t )  ->  (
f `  x )  =  ( f `  ( O `  t ) ) )
7978eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( O `  t )  ->  (
( f `  x
)  e.  ( f `
 ( O `  s ) )  <->  ( f `  ( O `  t
) )  e.  ( f `  ( O `
 s ) ) ) )
8079rspccv 3216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  ( O `  s ) ( f `
 x )  e.  ( f `  ( O `  s )
)  ->  ( ( O `  t )  e.  ( O `  s
)  ->  ( f `  ( O `  t
) )  e.  ( f `  ( O `
 s ) ) ) )
8177, 80syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( O `  s )  e.  C  ->  (
( O `  t
)  e.  ( O `
 s )  -> 
( f `  ( O `  t )
)  e.  ( f `
 ( O `  s ) ) ) )
8258, 63, 81sylc 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  (
s  e.  dom  O  /\  t  e.  s
) )  ->  (
f `  ( O `  t ) )  e.  ( f `  ( O `  s )
) )
8321adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  (
s  e.  dom  O  /\  t  e.  s
) )  ->  O : dom  O --> B )
84 ordtr1 4927 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Ord 
dom  O  ->  ( ( t  e.  s  /\  s  e.  dom  O )  ->  t  e.  dom  O ) )
8584ancomsd 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Ord 
dom  O  ->  ( ( s  e.  dom  O  /\  t  e.  s
)  ->  t  e.  dom  O ) )
8624, 26, 853syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  ( ( s  e.  dom  O  /\  t  e.  s )  ->  t  e.  dom  O
) )
8786imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  (
s  e.  dom  O  /\  t  e.  s
) )  ->  t  e.  dom  O )
88 fvco3 5951 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( O : dom  O --> B  /\  t  e.  dom  O )  ->  ( (
f  o.  O ) `
 t )  =  ( f `  ( O `  t )
) )
8983, 87, 88syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  (
s  e.  dom  O  /\  t  e.  s
) )  ->  (
( f  o.  O
) `  t )  =  ( f `  ( O `  t ) ) )
90 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  (
s  e.  dom  O  /\  t  e.  s
) )  ->  s  e.  dom  O )
91 fvco3 5951 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( O : dom  O --> B  /\  s  e.  dom  O )  ->  ( (
f  o.  O ) `
 s )  =  ( f `  ( O `  s )
) )
9283, 90, 91syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  (
s  e.  dom  O  /\  t  e.  s
) )  ->  (
( f  o.  O
) `  s )  =  ( f `  ( O `  s ) ) )
9382, 89, 923eltr4d 2570 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  (
s  e.  dom  O  /\  t  e.  s
) )  ->  (
( f  o.  O
) `  t )  e.  ( ( f  o.  O ) `  s
) )
9493ralrimivva 2888 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  A. s  e.  dom  O A. t  e.  s  ( ( f  o.  O ) `  t
)  e.  ( ( f  o.  O ) `
 s ) )
95 issmo2 7032 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  o.  O ) : dom  O --> A  -> 
( ( A  C_  On  /\  Ord  dom  O  /\  A. s  e.  dom  O A. t  e.  s  ( ( f  o.  O ) `  t
)  e.  ( ( f  o.  O ) `
 s ) )  ->  Smo  ( f  o.  O ) ) )
9695imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f  o.  O
) : dom  O --> A  /\  ( A  C_  On  /\  Ord  dom  O  /\  A. s  e.  dom  O A. t  e.  s  ( ( f  o.  O ) `  t
)  e.  ( ( f  o.  O ) `
 s ) ) )  ->  Smo  ( f  o.  O ) )
9751, 53, 54, 94, 96syl13anc 1230 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  Smo  ( f  o.  O ) )
9897adantrr 716 . . . . . 6  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  (
f `  w )
) )  ->  Smo  ( f  o.  O
) )
9917adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w
) )  ->  O : dom  O -onto-> C )
100 rabn0 3810 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { w  e.  B  | 
z  C_  ( f `  w ) }  =/=  (/)  <->  E. w  e.  B  z 
C_  ( f `  w ) )
101 ssrab2 3590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) }  C_  B
102101, 6syl5ss 3520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  e.  On  ->  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) }  C_  On )
103 cofsmo.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  K  = 
|^| { x  e.  B  |  z  C_  ( f `
 x ) }
104 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  w  ->  (
f `  x )  =  ( f `  w ) )
105104sseq2d 3537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  w  ->  (
z  C_  ( f `  x )  <->  z  C_  ( f `  w
) ) )
106105cbvrabv 3117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  { x  e.  B  |  z  C_  ( f `  x
) }  =  {
w  e.  B  | 
z  C_  ( f `  w ) }
107106inteqi 4292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  |^| { x  e.  B  |  z  C_  ( f `  x
) }  =  |^| { w  e.  B  | 
z  C_  ( f `  w ) }
108103, 107eqtri 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  K  = 
|^| { w  e.  B  |  z  C_  ( f `
 w ) }
109 onint 6625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( { w  e.  B  |  z  C_  ( f `
 w ) } 
C_  On  /\  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) }  =/=  (/) )  ->  |^| { w  e.  B  |  z  C_  ( f `
 w ) }  e.  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) } )
110108, 109syl5eqel 2559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( { w  e.  B  |  z  C_  ( f `
 w ) } 
C_  On  /\  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) }  =/=  (/) )  ->  K  e.  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) } )
111102, 110sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  On  /\  { w  e.  B  | 
z  C_  ( f `  w ) }  =/=  (/) )  ->  K  e.  { w  e.  B  | 
z  C_  ( f `  w ) } )
112100, 111sylan2br 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  On  /\  E. w  e.  B  z 
C_  ( f `  w ) )  ->  K  e.  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) } )
113 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  K  ->  (
f `  w )  =  ( f `  K ) )
114113sseq2d 3537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  K  ->  (
z  C_  ( f `  w )  <->  z  C_  ( f `  K
) ) )
115114elrab 3266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) }  <->  ( K  e.  B  /\  z  C_  ( f `  K
) ) )
116112, 115sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  On  /\  E. w  e.  B  z 
C_  ( f `  w ) )  -> 
( K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) ) )
117116ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  On  ->  ( E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w )  ->  ( K  e.  B  /\  z  C_  ( f `  K ) ) ) )
118117adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  ->  ( E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w )  ->  ( K  e.  B  /\  z  C_  ( f `  K ) ) ) )
119 simpr2 1003 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) ) )  ->  K  e.  B )
120 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  w  e.  K )
121108eleq2i 2545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  e.  K  <->  w  e.  |^|
{ w  e.  B  |  z  C_  ( f `
 w ) } )
122 simp21 1029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  f : B
--> A )
123 simp1l 1020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  Ord  A )
124123, 52syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  A  C_  On )
125 fss 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( f : B --> A  /\  A  C_  On )  -> 
f : B --> On )
126122, 124, 125syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  f : B
--> On )
127 simp22 1030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  K  e.  B )
128126, 127ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  ( f `  K )  e.  On )
129 simp1r 1021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  B  e.  On )
130 ontr1 4930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( B  e.  On  ->  (
( w  e.  K  /\  K  e.  B
)  ->  w  e.  B ) )
1311303impib 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( B  e.  On  /\  w  e.  K  /\  K  e.  B )  ->  w  e.  B )
132129, 120, 127, 131syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  w  e.  B )
133126, 132ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  ( f `  w )  e.  On )
134 ontri1 4918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( f `  K
)  e.  On  /\  ( f `  w
)  e.  On )  ->  ( ( f `
 K )  C_  ( f `  w
)  <->  -.  ( f `  w )  e.  ( f `  K ) ) )
135128, 133, 134syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  ( (
f `  K )  C_  ( f `  w
)  <->  -.  ( f `  w )  e.  ( f `  K ) ) )
136 simp23 1031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  z  C_  ( f `  K
) )
137 simpl1 999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  w  e.  K  /\  K  e.  B )  /\  ( z  C_  (
f `  K )  /\  ( f `  K
)  C_  ( f `  w ) ) )  ->  B  e.  On )
138137, 102syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  w  e.  K  /\  K  e.  B )  /\  ( z  C_  (
f `  K )  /\  ( f `  K
)  C_  ( f `  w ) ) )  ->  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) }  C_  On )
139 sstr 3517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( z  C_  ( f `  K )  /\  (
f `  K )  C_  ( f `  w
) )  ->  z  C_  ( f `  w
) )
140131, 139anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  w  e.  K  /\  K  e.  B )  /\  ( z  C_  (
f `  K )  /\  ( f `  K
)  C_  ( f `  w ) ) )  ->  ( w  e.  B  /\  z  C_  ( f `  w
) ) )
141 rabid 3043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( w  e.  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) }  <->  ( w  e.  B  /\  z  C_  ( f `  w
) ) )
142140, 141sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  w  e.  K  /\  K  e.  B )  /\  ( z  C_  (
f `  K )  /\  ( f `  K
)  C_  ( f `  w ) ) )  ->  w  e.  {
w  e.  B  | 
z  C_  ( f `  w ) } )
143 onnmin 6633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( { w  e.  B  |  z  C_  ( f `
 w ) } 
C_  On  /\  w  e.  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `
 w ) } )  ->  -.  w  e.  |^| { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) } )
144138, 142, 143syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  w  e.  K  /\  K  e.  B )  /\  ( z  C_  (
f `  K )  /\  ( f `  K
)  C_  ( f `  w ) ) )  ->  -.  w  e.  |^|
{ w  e.  B  |  z  C_  ( f `
 w ) } )
145144expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  w  e.  K  /\  K  e.  B )  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  ->  ( ( f `
 K )  C_  ( f `  w
)  ->  -.  w  e.  |^| { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) } ) )
146129, 120, 127, 136, 145syl31anc 1231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  ( (
f `  K )  C_  ( f `  w
)  ->  -.  w  e.  |^| { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) } ) )
147135, 146sylbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  ( -.  ( f `  w
)  e.  ( f `
 K )  ->  -.  w  e.  |^| { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) } ) )
148147con4d 105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  ( w  e.  |^| { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) }  ->  (
f `  w )  e.  ( f `  K
) ) )
149121, 148syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  ( w  e.  K  ->  ( f `
 w )  e.  ( f `  K
) ) )
150120, 149mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  /\  w  e.  K
)  ->  ( f `  w )  e.  ( f `  K ) )
1511503expia 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) ) )  ->  ( w  e.  K  ->  ( f `
 w )  e.  ( f `  K
) ) )
152151ralrimiv 2879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) ) )  ->  A. w  e.  K  ( f `  w )  e.  ( f `  K ) )
153 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  K  ->  (
f `  y )  =  ( f `  K ) )
154153eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  K  ->  (
( f `  w
)  e.  ( f `
 y )  <->  ( f `  w )  e.  ( f `  K ) ) )
155154raleqbi1dv 3071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  K  ->  ( A. w  e.  y 
( f `  w
)  e.  ( f `
 y )  <->  A. w  e.  K  ( f `  w )  e.  ( f `  K ) ) )
156155, 1elrab2 3268 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  C  <->  ( K  e.  B  /\  A. w  e.  K  ( f `  w )  e.  ( f `  K ) ) )
157119, 152, 156sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) ) )  ->  K  e.  C )
158157expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : B --> A  /\  K  e.  B  /\  z  C_  ( f `  K ) )  -> 
( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  ->  K  e.  C
) )
1591583expib 1199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : B --> A  -> 
( ( K  e.  B  /\  z  C_  ( f `  K
) )  ->  (
( Ord  A  /\  B  e.  On )  ->  K  e.  C ) ) )
160159com13 80 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  ->  (
( K  e.  B  /\  z  C_  ( f `
 K ) )  ->  ( f : B --> A  ->  K  e.  C ) ) )
161118, 160syld 44 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  ->  ( E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w )  ->  (
f : B --> A  ->  K  e.  C )
) )
162161com23 78 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  ->  (
f : B --> A  -> 
( E. w  e.  B  z  C_  (
f `  w )  ->  K  e.  C ) ) )
163162imp31 432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w
) )  ->  K  e.  C )
164 foelrn 6051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( O : dom  O -onto-> C  /\  K  e.  C
)  ->  E. v  e.  dom  O  K  =  ( O `  v
) )
16599, 163, 164syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w
) )  ->  E. v  e.  dom  O  K  =  ( O `  v
) )
166 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w
) )  ->  B  e.  On )
167 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  =  ( O `  v )  ->  ( K  e.  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) }  <->  ( O `  v )  e.  {
w  e.  B  | 
z  C_  ( f `  w ) } ) )
168167biimpcd 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) }  ->  ( K  =  ( O `  v )  ->  ( O `  v )  e.  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `
 w ) } ) )
169 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  ( O `  v )  ->  (
f `  x )  =  ( f `  ( O `  v ) ) )
170169sseq2d 3537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( O `  v )  ->  (
z  C_  ( f `  x )  <->  z  C_  ( f `  ( O `  v )
) ) )
17167sseq2d 3537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  x  ->  (
z  C_  ( f `  w )  <->  z  C_  ( f `  x
) ) )
172171cbvrabv 3117 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) }  =  {
x  e.  B  | 
z  C_  ( f `  x ) }
173170, 172elrab2 3268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( O `  v )  e.  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) }  <->  ( ( O `  v )  e.  B  /\  z  C_  ( f `  ( O `  v )
) ) )
174173simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( O `  v )  e.  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) }  ->  z  C_  ( f `  ( O `  v )
) )
175168, 174syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  { w  e.  B  |  z  C_  ( f `  w
) }  ->  ( K  =  ( O `  v )  ->  z  C_  ( f `  ( O `  v )
) ) )
176112, 175syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  On  /\  E. w  e.  B  z 
C_  ( f `  w ) )  -> 
( K  =  ( O `  v )  ->  z  C_  (
f `  ( O `  v ) ) ) )
177166, 176sylancom 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w
) )  ->  ( K  =  ( O `  v )  ->  z  C_  ( f `  ( O `  v )
) ) )
178177adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( Ord 
A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  E. w  e.  B  z 
C_  ( f `  w ) )  /\  v  e.  dom  O )  ->  ( K  =  ( O `  v
)  ->  z  C_  ( f `  ( O `  v )
) ) )
17921ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( Ord 
A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  E. w  e.  B  z 
C_  ( f `  w ) )  /\  v  e.  dom  O )  ->  O : dom  O --> B )
180 fvco3 5951 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( O : dom  O --> B  /\  v  e.  dom  O )  ->  ( (
f  o.  O ) `
 v )  =  ( f `  ( O `  v )
) )
181179, 180sylancom 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( Ord 
A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  E. w  e.  B  z 
C_  ( f `  w ) )  /\  v  e.  dom  O )  ->  ( ( f  o.  O ) `  v )  =  ( f `  ( O `
 v ) ) )
182181sseq2d 3537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( Ord 
A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  E. w  e.  B  z 
C_  ( f `  w ) )  /\  v  e.  dom  O )  ->  ( z  C_  ( ( f  o.  O ) `  v
)  <->  z  C_  (
f `  ( O `  v ) ) ) )
183178, 182sylibrd 234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( Ord 
A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  E. w  e.  B  z 
C_  ( f `  w ) )  /\  v  e.  dom  O )  ->  ( K  =  ( O `  v
)  ->  z  C_  ( ( f  o.  O ) `  v
) ) )
184183reximdva 2942 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w
) )  ->  ( E. v  e.  dom  O  K  =  ( O `
 v )  ->  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( (
f  o.  O ) `
 v ) ) )
185165, 184mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  /\  E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w
) )  ->  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( ( f  o.  O ) `  v
) )
186185ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  ( E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w
)  ->  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( ( f  o.  O ) `  v
) ) )
187186ralimdv 2877 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  f : B --> A )  ->  ( A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w
)  ->  A. z  e.  A  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( ( f  o.  O ) `  v
) ) )
188187impr 619 . . . . . 6  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  (
f `  w )
) )  ->  A. z  e.  A  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( ( f  o.  O ) `  v
) )
18949, 98, 1883jca 1176 . . . . 5  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  (
f `  w )
) )  ->  (
( f  o.  O
) : dom  O --> A  /\  Smo  ( f  o.  O )  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  dom  O  z 
C_  ( ( f  o.  O ) `  v ) ) )
190 feq1 5719 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( f  o.  O )  ->  (
g : dom  O --> A 
<->  ( f  o.  O
) : dom  O --> A ) )
191 smoeq 7033 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( f  o.  O )  ->  ( Smo  g  <->  Smo  ( f  o.  O ) ) )
192 fveq1 5871 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  ( f  o.  O )  ->  (
g `  v )  =  ( ( f  o.  O ) `  v ) )
193192sseq2d 3537 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  ( f  o.  O )  ->  (
z  C_  ( g `  v )  <->  z  C_  ( ( f  o.  O ) `  v
) ) )
194193rexbidv 2978 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  ( f  o.  O )  ->  ( E. v  e.  dom  O  z  C_  ( g `  v )  <->  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( ( f  o.  O ) `  v
) ) )
195194ralbidv 2906 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( f  o.  O )  ->  ( A. z  e.  A  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( g `  v )  <->  A. z  e.  A  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( ( f  o.  O ) `  v
) ) )
196190, 191, 1953anbi123d 1299 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( f  o.  O )  ->  (
( g : dom  O --> A  /\  Smo  g  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( g `  v ) )  <->  ( (
f  o.  O ) : dom  O --> A  /\  Smo  ( f  o.  O
)  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( ( f  o.  O ) `  v
) ) ) )
197196spcegv 3204 . . . . 5  |-  ( ( f  o.  O )  e.  _V  ->  (
( ( f  o.  O ) : dom  O --> A  /\  Smo  (
f  o.  O )  /\  A. z  e.  A  E. v  e. 
dom  O  z  C_  ( ( f  o.  O ) `  v
) )  ->  E. g
( g : dom  O --> A  /\  Smo  g  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( g `  v ) ) ) )
19845, 189, 197sylc 60 . . . 4  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  (
f `  w )
) )  ->  E. g
( g : dom  O --> A  /\  Smo  g  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( g `  v ) ) )
199 feq2 5720 . . . . . . 7  |-  ( x  =  dom  O  -> 
( g : x --> A  <->  g : dom  O --> A ) )
200 rexeq 3064 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  dom  O  -> 
( E. v  e.  x  z  C_  (
g `  v )  <->  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( g `  v ) ) )
201200ralbidv 2906 . . . . . . 7  |-  ( x  =  dom  O  -> 
( A. z  e.  A  E. v  e.  x  z  C_  (
g `  v )  <->  A. z  e.  A  E. v  e.  dom  O  z 
C_  ( g `  v ) ) )
202199, 2013anbi13d 1301 . . . . . 6  |-  ( x  =  dom  O  -> 
( ( g : x --> A  /\  Smo  g  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  x  z  C_  (
g `  v )
)  <->  ( g : dom  O --> A  /\  Smo  g  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( g `  v
) ) ) )
203202exbidv 1690 . . . . 5  |-  ( x  =  dom  O  -> 
( E. g ( g : x --> A  /\  Smo  g  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  x  z  C_  ( g `  v
) )  <->  E. g
( g : dom  O --> A  /\  Smo  g  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  dom  O  z  C_  ( g `  v ) ) ) )
204203rspcev 3219 . . . 4  |-  ( ( dom  O  e.  suc  B  /\  E. g ( g : dom  O --> A  /\  Smo  g  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  dom  O  z 
C_  ( g `  v ) ) )  ->  E. x  e.  suc  B E. g ( g : x --> A  /\  Smo  g  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  x  z  C_  ( g `  v
) ) )
20539, 198, 204syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  /\  ( f : B --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  (
f `  w )
) )  ->  E. x  e.  suc  B E. g
( g : x --> A  /\  Smo  g  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  x  z  C_  ( g `  v ) ) )
206205ex 434 . 2  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  ->  (
( f : B --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  (
f `  w )
)  ->  E. x  e.  suc  B E. g
( g : x --> A  /\  Smo  g  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  x  z  C_  ( g `  v ) ) ) )
207206exlimdv 1700 1  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  On )  ->  ( E. f ( f : B --> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w
) )  ->  E. x  e.  suc  B E. g
( g : x --> A  /\  Smo  g  /\  A. z  e.  A  E. v  e.  x  z  C_  ( g `  v ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818   {crab 2821   _Vcvv 3118    C_ wss 3481   (/)c0 3790   |^|cint 4288    _E cep 4795    We wwe 4843   Ord word 4883   Oncon0 4884   suc csuc 4886   dom cdm 5005    o. ccom 5009    Fn wfn 5589   -->wf 5590   -onto->wfo 5592   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594    Isom wiso 5595   Smo wsmo 7028  OrdIsocoi 7946
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-smo 7029  df-recs 7054  df-oi 7947
This theorem is referenced by:  cfcof  8666
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