MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coexg Structured version   Unicode version

Theorem coexg 6735
Description: The composition of two sets is a set. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
coexg  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  o.  B
)  e.  _V )

Proof of Theorem coexg
StepHypRef Expression
1 cossxp 5530 . 2  |-  ( A  o.  B )  C_  ( dom  B  X.  ran  A )
2 dmexg 6715 . . 3  |-  ( B  e.  W  ->  dom  B  e.  _V )
3 rnexg 6716 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ran  A  e.  _V )
4 xpexg 6586 . . 3  |-  ( ( dom  B  e.  _V  /\ 
ran  A  e.  _V )  ->  ( dom  B  X.  ran  A )  e. 
_V )
52, 3, 4syl2anr 478 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( dom  B  X.  ran  A )  e.  _V )
6 ssexg 4593 . 2  |-  ( ( ( A  o.  B
)  C_  ( dom  B  X.  ran  A )  /\  ( dom  B  X.  ran  A )  e. 
_V )  ->  ( A  o.  B )  e.  _V )
71, 5, 6sylancr 663 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  o.  B
)  e.  _V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    C_ wss 3476    X. cxp 4997   dom cdm 4999   ran crn 5000    o. ccom 5003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010
This theorem is referenced by:  coex  6736  supp0cosupp0  6939  imacosupp  6940  fsuppco2  7862  fsuppcor  7863  mapfienlem2  7865  wemapwe  8139  wemapweOLD  8140  cofsmo  8649  supcvg  13630  imasle  14778  setcco  15268  pwsco1mhm  15820  pwsco2mhm  15821  symgov  16220  symgcl  16221  gsumval3OLD  16711  gsumval3lem2  16713  gsumzf1o  16720  evls1sca  18159  f1lindf  18652  tngds  20925  climcncf  21167  motplusg  23685  eulerpartlemmf  27982  relexpsucr  28556  mendmulr  30770  climexp  31175  dvsinax  31269  stoweidlem27  31355  stoweidlem31  31359  stoweidlem59  31387  tgrpov  35562  erngmul  35620  erngmul-rN  35628  dvamulr  35826  dvavadd  35829  dvhmulr  35901
  Copyright terms: Public domain W3C validator