MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coexg Unicode version

Theorem coexg 5371
Description: The composition of two sets is a set. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
coexg  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  o.  B
)  e.  _V )

Proof of Theorem coexg
StepHypRef Expression
1 cossxp 5351 . 2  |-  ( A  o.  B )  C_  ( dom  B  X.  ran  A )
2 dmexg 5089 . . 3  |-  ( B  e.  W  ->  dom  B  e.  _V )
3 rnexg 5090 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ran  A  e.  _V )
4 xpexg 4948 . . 3  |-  ( ( dom  B  e.  _V  /\ 
ran  A  e.  _V )  ->  ( dom  B  X.  ran  A )  e. 
_V )
52, 3, 4syl2anr 465 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( dom  B  X.  ran  A )  e.  _V )
6 ssexg 4309 . 2  |-  ( ( ( A  o.  B
)  C_  ( dom  B  X.  ran  A )  /\  ( dom  B  X.  ran  A )  e. 
_V )  ->  ( A  o.  B )  e.  _V )
71, 5, 6sylancr 645 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  o.  B
)  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1721   _Vcvv 2916    C_ wss 3280    X. cxp 4835   dom cdm 4837   ran crn 4838    o. ccom 4841
This theorem is referenced by:  coex  5372  wemapwe  7610  cofsmo  8105  supcvg  12590  imasle  13703  setcco  14193  pwsco1mhm  14724  pwsco2mhm  14725  symgov  15055  symgcl  15056  gsumval3  15469  tngds  18642  climcncf  18883  relexpsucr  25083  f1lindf  27160  mendmulr  27364  climexp  27598  stoweidlem27  27643  stoweidlem31  27647  stoweidlem59  27675  tgrpov  31230  erngmul  31288  erngmul-rN  31296  dvamulr  31494  dvavadd  31497  dvhmulr  31569
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848
  Copyright terms: Public domain W3C validator