MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coexg Structured version   Unicode version

Theorem coexg 6527
Description: The composition of two sets is a set. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
coexg  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  o.  B
)  e.  _V )

Proof of Theorem coexg
StepHypRef Expression
1 cossxp 5359 . 2  |-  ( A  o.  B )  C_  ( dom  B  X.  ran  A )
2 dmexg 6508 . . 3  |-  ( B  e.  W  ->  dom  B  e.  _V )
3 rnexg 6509 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ran  A  e.  _V )
4 xpexg 6506 . . 3  |-  ( ( dom  B  e.  _V  /\ 
ran  A  e.  _V )  ->  ( dom  B  X.  ran  A )  e. 
_V )
52, 3, 4syl2anr 478 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( dom  B  X.  ran  A )  e.  _V )
6 ssexg 4437 . 2  |-  ( ( ( A  o.  B
)  C_  ( dom  B  X.  ran  A )  /\  ( dom  B  X.  ran  A )  e. 
_V )  ->  ( A  o.  B )  e.  _V )
71, 5, 6sylancr 663 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  o.  B
)  e.  _V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1756   _Vcvv 2971    C_ wss 3327    X. cxp 4837   dom cdm 4839   ran crn 4840    o. ccom 4843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2719  df-rex 2720  df-rab 2723  df-v 2973  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-op 3883  df-uni 4091  df-br 4292  df-opab 4350  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850
This theorem is referenced by:  coex  6528  supp0cosupp0  6727  imacosupp  6728  fsuppco2  7651  fsuppcor  7652  mapfienlem2  7654  wemapwe  7927  wemapweOLD  7928  cofsmo  8437  supcvg  13317  imasle  14460  setcco  14950  pwsco1mhm  15497  pwsco2mhm  15498  symgov  15894  symgcl  15895  gsumval3OLD  16381  gsumval3lem2  16383  gsumzf1o  16390  evls1sca  17757  f1lindf  18250  tngds  20233  climcncf  20475  eulerpartlemmf  26757  relexpsucr  27331  mendmulr  29543  climexp  29776  stoweidlem27  29820  stoweidlem31  29824  stoweidlem59  29852  tgrpov  34390  erngmul  34448  erngmul-rN  34456  dvamulr  34654  dvavadd  34657  dvhmulr  34729
  Copyright terms: Public domain W3C validator