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Theorem coemullem 22831
Description: Lemma for coemul 22833 and dgrmul 22851. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
coefv0.1  |-  A  =  (coeff `  F )
coeadd.2  |-  B  =  (coeff `  G )
coeadd.3  |-  M  =  (deg `  F )
coeadd.4  |-  N  =  (deg `  G )
Assertion
Ref Expression
coemullem  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  ( (coeff `  ( F  oF  x.  G ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( n  -  k ) ) ) )  /\  (deg `  ( F  oF  x.  G ) )  <_  ( M  +  N ) ) )
Distinct variable groups:    k, n, A    B, k, n    k, F, n    k, M    k, G, n    k, N, n    S, k, n
Allowed substitution hint:    M( n)

Proof of Theorem coemullem
Dummy variables  j 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plymulcl 22802 . . 3  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  ( F  oF  x.  G
)  e.  (Poly `  CC ) )
2 coeadd.3 . . . . 5  |-  M  =  (deg `  F )
3 dgrcl 22814 . . . . 5  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  (deg `  F
)  e.  NN0 )
42, 3syl5eqel 2494 . . . 4  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  M  e.  NN0 )
5 coeadd.4 . . . . 5  |-  N  =  (deg `  G )
6 dgrcl 22814 . . . . 5  |-  ( G  e.  (Poly `  S
)  ->  (deg `  G
)  e.  NN0 )
75, 6syl5eqel 2494 . . . 4  |-  ( G  e.  (Poly `  S
)  ->  N  e.  NN0 )
8 nn0addcl 10792 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  +  N
)  e.  NN0 )
94, 7, 8syl2an 475 . . 3  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  ( M  +  N )  e.  NN0 )
10 fzfid 12037 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( 0 ... n )  e. 
Fin )
11 coefv0.1 . . . . . . . . . 10  |-  A  =  (coeff `  F )
1211coef3 22813 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  A : NN0
--> CC )
1312adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  A : NN0
--> CC )
1413adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  A : NN0
--> CC )
15 elfznn0 11743 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... n )  ->  k  e.  NN0 )
16 ffvelrn 5963 . . . . . . 7  |-  ( ( A : NN0 --> CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A `  k
)  e.  CC )
1714, 15, 16syl2an 475 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
18 coeadd.2 . . . . . . . . . 10  |-  B  =  (coeff `  G )
1918coef3 22813 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  (Poly `  S
)  ->  B : NN0
--> CC )
2019adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  B : NN0
--> CC )
2120ad2antrr 724 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  B : NN0 --> CC )
22 fznn0sub 11688 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... n )  ->  (
n  -  k )  e.  NN0 )
2322adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( n  -  k )  e.  NN0 )
2421, 23ffvelrnd 5966 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( B `  ( n  -  k
) )  e.  CC )
2517, 24mulcld 9566 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) )  e.  CC )
2610, 25fsumcl 13611 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) )  e.  CC )
27 eqid 2402 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( n  -  k ) ) ) )
2826, 27fmptd 5989 . . 3  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( n  -  k ) ) ) ) : NN0 --> CC )
29 oveq2 6242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  j  ->  (
0 ... n )  =  ( 0 ... j
) )
30 oveq1 6241 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  j  ->  (
n  -  k )  =  ( j  -  k ) )
3130fveq2d 5809 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  j  ->  ( B `  ( n  -  k ) )  =  ( B `  ( j  -  k
) ) )
3231oveq2d 6250 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  j  ->  (
( A `  k
)  x.  ( B `
 ( n  -  k ) ) )  =  ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
j  -  k ) ) ) )
3332adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  =  j  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) )  =  ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( j  -  k ) ) ) )
3429, 33sumeq12dv 13584 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... j ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( j  -  k ) ) ) )
35 sumex 13566 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... j
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
j  -  k ) ) )  e.  _V
3634, 27, 35fvmpt 5888 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) ) ) `  j )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... j ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( j  -  k ) ) ) )
3736ad2antrl 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  -> 
( ( n  e. 
NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( n  -  k ) ) ) ) `  j
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... j
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
j  -  k ) ) ) )
38 simp2r 1024 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  -.  j  <_  ( M  +  N ) )
39 simp2l 1023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  j  e.  NN0 )
4039nn0red 10814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  j  e.  RR )
41 simp3l 1025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  k  e.  ( 0 ... j ) )
42 elfznn0 11743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( 0 ... j )  ->  k  e.  NN0 )
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  k  e.  NN0 )
4443nn0red 10814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  k  e.  RR )
457adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  N  e.  NN0 )
46453ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  N  e.  NN0 )
4746nn0red 10814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  N  e.  RR )
4840, 44, 47lesubadd2d 10111 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( ( j  -  k )  <_  N 
<->  j  <_  ( k  +  N ) ) )
494adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  M  e.  NN0 )
50493ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  M  e.  NN0 )
5150nn0red 10814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  M  e.  RR )
52 simp3r 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  k  <_  M
)
5344, 51, 47, 52leadd1dd 10126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( k  +  N )  <_  ( M  +  N )
)
5444, 47readdcld 9573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( k  +  N )  e.  RR )
5551, 47readdcld 9573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( M  +  N )  e.  RR )
56 letr 9629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( j  e.  RR  /\  ( k  +  N
)  e.  RR  /\  ( M  +  N
)  e.  RR )  ->  ( ( j  <_  ( k  +  N )  /\  (
k  +  N )  <_  ( M  +  N ) )  -> 
j  <_  ( M  +  N ) ) )
5740, 54, 55, 56syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( ( j  <_  ( k  +  N )  /\  (
k  +  N )  <_  ( M  +  N ) )  -> 
j  <_  ( M  +  N ) ) )
5853, 57mpan2d 672 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( j  <_ 
( k  +  N
)  ->  j  <_  ( M  +  N ) ) )
5948, 58sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( ( j  -  k )  <_  N  ->  j  <_  ( M  +  N )
) )
6038, 59mtod 177 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  -.  ( j  -  k )  <_  N )
61 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
62613ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
63 fznn0sub 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( 0 ... j )  ->  (
j  -  k )  e.  NN0 )
6441, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( j  -  k )  e.  NN0 )
6518, 5dgrub 22815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G  e.  (Poly `  S )  /\  (
j  -  k )  e.  NN0  /\  ( B `  ( j  -  k ) )  =/=  0 )  -> 
( j  -  k
)  <_  N )
66653expia 1199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  (Poly `  S )  /\  (
j  -  k )  e.  NN0 )  -> 
( ( B `  ( j  -  k
) )  =/=  0  ->  ( j  -  k
)  <_  N )
)
6762, 64, 66syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( ( B `
 ( j  -  k ) )  =/=  0  ->  ( j  -  k )  <_  N ) )
6867necon1bd 2621 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( -.  (
j  -  k )  <_  N  ->  ( B `  ( j  -  k ) )  =  0 ) )
6960, 68mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( B `  ( j  -  k
) )  =  0 )
7069oveq2d 6250 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
j  -  k ) ) )  =  ( ( A `  k
)  x.  0 ) )
71133ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  A : NN0 --> CC )
7271, 43ffvelrnd 5966 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
7372mul01d 9733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( ( A `
 k )  x.  0 )  =  0 )
7470, 73eqtrd 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
j  -  k ) ) )  =  0 )
75743expia 1199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  -> 
( ( k  e.  ( 0 ... j
)  /\  k  <_  M )  ->  ( ( A `  k )  x.  ( B `  (
j  -  k ) ) )  =  0 ) )
7675impl 618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S
)  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  ( j  e. 
NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... j ) )  /\  k  <_  M
)  ->  ( ( A `  k )  x.  ( B `  (
j  -  k ) ) )  =  0 )
77 simpl 455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
7877adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  ->  F  e.  (Poly `  S
) )
7911, 2dgrub 22815 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  k  e.  NN0  /\  ( A `
 k )  =/=  0 )  ->  k  <_  M )
80793expia 1199 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( A `  k
)  =/=  0  -> 
k  <_  M )
)
8178, 42, 80syl2an 475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
-.  j  <_  ( M  +  N )
) )  /\  k  e.  ( 0 ... j
) )  ->  (
( A `  k
)  =/=  0  -> 
k  <_  M )
)
8281necon1bd 2621 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
-.  j  <_  ( M  +  N )
) )  /\  k  e.  ( 0 ... j
) )  ->  ( -.  k  <_  M  -> 
( A `  k
)  =  0 ) )
8382imp 427 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S
)  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  ( j  e. 
NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... j ) )  /\  -.  k  <_  M )  ->  ( A `  k )  =  0 )
8483oveq1d 6249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S
)  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  ( j  e. 
NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... j ) )  /\  -.  k  <_  M )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( B `
 ( j  -  k ) ) )  =  ( 0  x.  ( B `  (
j  -  k ) ) ) )
8520ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S
)  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  ( j  e. 
NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... j ) )  /\  -.  k  <_  M )  ->  B : NN0 --> CC )
8663ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S
)  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  ( j  e. 
NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... j ) )  /\  -.  k  <_  M )  ->  (
j  -  k )  e.  NN0 )
8785, 86ffvelrnd 5966 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S
)  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  ( j  e. 
NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... j ) )  /\  -.  k  <_  M )  ->  ( B `  ( j  -  k ) )  e.  CC )
8887mul02d 9732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S
)  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  ( j  e. 
NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... j ) )  /\  -.  k  <_  M )  ->  (
0  x.  ( B `
 ( j  -  k ) ) )  =  0 )
8984, 88eqtrd 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S
)  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  ( j  e. 
NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... j ) )  /\  -.  k  <_  M )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( B `
 ( j  -  k ) ) )  =  0 )
9076, 89pm2.61dan 792 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
-.  j  <_  ( M  +  N )
) )  /\  k  e.  ( 0 ... j
) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( B `
 ( j  -  k ) ) )  =  0 )
9190sumeq2dv 13581 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... j ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( j  -  k ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... j ) 0 )
92 fzfi 12036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 ... j )  e. 
Fin
9392olci 389 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0 ... j ) 
C_  ( ZZ>= `  0
)  \/  ( 0 ... j )  e. 
Fin )
94 sumz 13600 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 0 ... j
)  C_  ( ZZ>= ` 
0 )  \/  (
0 ... j )  e. 
Fin )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... j
) 0  =  0 )
9593, 94ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... j
) 0  =  0
9691, 95syl6eq 2459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... j ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( j  -  k ) ) )  =  0 )
9737, 96eqtrd 2443 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  -> 
( ( n  e. 
NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( n  -  k ) ) ) ) `  j
)  =  0 )
9897expr 613 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( -.  j  <_  ( M  +  N )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( n  -  k ) ) ) ) `  j )  =  0 ) )
9998necon1ad 2619 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( n  -  k ) ) ) ) `  j )  =/=  0  ->  j  <_  ( M  +  N
) ) )
10099ralrimiva 2817 . . . 4  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  A. j  e.  NN0  ( ( ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) ) ) `  j )  =/=  0  ->  j  <_  ( M  +  N ) ) )
101 plyco0 22773 . . . . 5  |-  ( ( ( M  +  N
)  e.  NN0  /\  ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( n  -  k ) ) ) ) : NN0 --> CC )  ->  ( ( ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) ) ) "
( ZZ>= `  ( ( M  +  N )  +  1 ) ) )  =  { 0 }  <->  A. j  e.  NN0  ( ( ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) ) ) `  j )  =/=  0  ->  j  <_  ( M  +  N ) ) ) )
1029, 28, 101syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  ( (
( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( n  -  k ) ) ) ) " ( ZZ>= `  ( ( M  +  N )  +  1 ) ) )  =  { 0 }  <->  A. j  e.  NN0  ( ( ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) ) ) `  j )  =/=  0  ->  j  <_  ( M  +  N ) ) ) )
103100, 102mpbird 232 . . 3  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) ) ) "
( ZZ>= `  ( ( M  +  N )  +  1 ) ) )  =  { 0 } )
10411, 2dgrub2 22816 . . . . . 6  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( A " ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  =  { 0 } )
105104adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  ( A " ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  =  { 0 } )
10618, 5dgrub2 22816 . . . . . 6  |-  ( G  e.  (Poly `  S
)  ->  ( B " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  { 0 } )
107106adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  ( B " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  { 0 } )
10811, 2coeid 22819 . . . . . 6  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )
109108adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )
11018, 5coeid 22819 . . . . . 6  |-  ( G  e.  (Poly `  S
)  ->  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )
111110adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )
11277, 61, 49, 45, 13, 20, 105, 107, 109, 111plymullem1 22795 . . . 4  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  ( F  oF  x.  G
)  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ( sum_ k  e.  ( 0 ... j
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
j  -  k ) ) )  x.  (
z ^ j ) ) ) )
113 elfznn0 11743 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( M  +  N
) )  ->  j  e.  NN0 )
114113, 36syl 17 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( M  +  N
) )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( n  -  k ) ) ) ) `  j )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... j ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( j  -  k ) ) ) )
115114oveq1d 6249 . . . . . 6  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( M  +  N
) )  ->  (
( ( n  e. 
NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( n  -  k ) ) ) ) `  j
)  x.  ( z ^ j ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... j
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
j  -  k ) ) )  x.  (
z ^ j ) ) )
116115sumeq2i 13577 . . . . 5  |-  sum_ j  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ( ( ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) ) ) `  j )  x.  (
z ^ j ) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ( sum_ k  e.  ( 0 ... j
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
j  -  k ) ) )  x.  (
z ^ j ) )
117116mpteq2i 4477 . . . 4  |-  ( z  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ( ( ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) ) ) `  j )  x.  (
z ^ j ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) (
sum_ k  e.  ( 0 ... j ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( j  -  k ) ) )  x.  ( z ^ j ) ) )
118112, 117syl6eqr 2461 . . 3  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  ( F  oF  x.  G
)  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ( ( ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) ) ) `  j )  x.  (
z ^ j ) ) ) )
1191, 9, 28, 103, 118coeeq 22808 . 2  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  (coeff `  ( F  oF  x.  G
) )  =  ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) ) ) )
120 ffvelrn 5963 . . . 4  |-  ( ( ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( n  -  k ) ) ) ) : NN0 --> CC  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( n  e. 
NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( n  -  k ) ) ) ) `  j
)  e.  CC )
12128, 113, 120syl2an 475 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  j  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( n  -  k ) ) ) ) `  j )  e.  CC )
1221, 9, 121, 118dgrle 22824 . 2  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  (deg `  ( F  oF  x.  G
) )  <_  ( M  +  N )
)
123119, 122jca 530 1  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  ( (coeff `  ( F  oF  x.  G ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( n  -  k ) ) ) )  /\  (deg `  ( F  oF  x.  G ) )  <_  ( M  +  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2753    C_ wss 3413   {csn 3971   class class class wbr 4394    |-> cmpt 4452   "cima 4945   -->wf 5521   ` cfv 5525  (class class class)co 6234    oFcof 6475   Fincfn 7474   CCcc 9440   RRcr 9441   0cc0 9442   1c1 9443    + caddc 9445    x. cmul 9447    <_ cle 9579    - cmin 9761   NN0cn0 10756   ZZ>=cuz 11045   ...cfz 11643   ^cexp 12120   sum_csu 13564  Polycply 22765  coeffccoe 22767  degcdgr 22768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-inf2 8011  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519  ax-pre-sup 9520  ax-addf 9521
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-of 6477  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-oadd 7091  df-er 7268  df-map 7379  df-pm 7380  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-sup 7855  df-oi 7889  df-card 8272  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-div 10168  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-n0 10757  df-z 10826  df-uz 11046  df-rp 11184  df-fz 11644  df-fzo 11768  df-fl 11879  df-seq 12062  df-exp 12121  df-hash 12360  df-cj 12988  df-re 12989  df-im 12990  df-sqrt 13124  df-abs 13125  df-clim 13367  df-rlim 13368  df-sum 13565  df-0p 22261  df-ply 22769  df-coe 22771  df-dgr 22772
This theorem is referenced by:  coemul  22833  dgrmul2  22850
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