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Theorem coemullem 23216
 Description: Lemma for coemul 23218 and dgrmul 23236. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
coefv0.1 coeff
Assertion
Ref Expression
coemullem Poly Poly coeff deg
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem coemullem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plymulcl 23187 . . 3 Poly Poly Poly
2 coeadd.3 . . . . 5 deg
3 dgrcl 23199 . . . . 5 Poly deg
42, 3syl5eqel 2535 . . . 4 Poly
5 coeadd.4 . . . . 5 deg
6 dgrcl 23199 . . . . 5 Poly deg
75, 6syl5eqel 2535 . . . 4 Poly
8 nn0addcl 10912 . . . 4
94, 7, 8syl2an 480 . . 3 Poly Poly
10 fzfid 12193 . . . . 5 Poly Poly
11 coefv0.1 . . . . . . . . . 10 coeff
1211coef3 23198 . . . . . . . . 9 Poly
1312adantr 467 . . . . . . . 8 Poly Poly
1413adantr 467 . . . . . . 7 Poly Poly
15 elfznn0 11894 . . . . . . 7
16 ffvelrn 6025 . . . . . . 7
1714, 15, 16syl2an 480 . . . . . 6 Poly Poly
18 coeadd.2 . . . . . . . . . 10 coeff
1918coef3 23198 . . . . . . . . 9 Poly
2019adantl 468 . . . . . . . 8 Poly Poly
2120ad2antrr 733 . . . . . . 7 Poly Poly
22 fznn0sub 11838 . . . . . . . 8
2322adantl 468 . . . . . . 7 Poly Poly
2421, 23ffvelrnd 6028 . . . . . 6 Poly Poly
2517, 24mulcld 9668 . . . . 5 Poly Poly
2610, 25fsumcl 13811 . . . 4 Poly Poly
27 eqid 2453 . . . 4
2826, 27fmptd 6051 . . 3 Poly Poly
29 oveq2 6303 . . . . . . . . . . 11
30 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . . . 14
3130fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13
3231oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . 12
3332adantr 467 . . . . . . . . . . 11
3429, 33sumeq12dv 13784 . . . . . . . . . 10
35 sumex 13766 . . . . . . . . . 10
3634, 27, 35fvmpt 5953 . . . . . . . . 9
3736ad2antrl 735 . . . . . . . 8 Poly Poly
38 simp2r 1036 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Poly Poly
39 simp2l 1035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Poly Poly
4039nn0red 10933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Poly Poly
41 simp3l 1037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Poly Poly
42 elfznn0 11894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Poly Poly
4443nn0red 10933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Poly Poly
457adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Poly Poly
46453ad2ant1 1030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Poly Poly
4746nn0red 10933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Poly Poly
4840, 44, 47lesubadd2d 10219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Poly Poly
494adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Poly Poly
50493ad2ant1 1030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Poly Poly
5150nn0red 10933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Poly Poly
52 simp3r 1038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Poly Poly
5344, 51, 47, 52leadd1dd 10234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Poly Poly
5444, 47readdcld 9675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Poly Poly
5551, 47readdcld 9675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Poly Poly
56 letr 9732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5740, 54, 55, 56syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Poly Poly
5853, 57mpan2d 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Poly Poly
5948, 58sylbid 219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Poly Poly
6038, 59mtod 181 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly Poly
61 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Poly Poly Poly
62613ad2ant1 1030 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Poly Poly Poly
63 fznn0sub 11838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6441, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Poly Poly
6518, 5dgrub 23200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Poly
66653expia 1211 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Poly
6762, 64, 66syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Poly Poly
6867necon1bd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly Poly
6960, 68mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly Poly
7069oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly Poly
71133ad2ant1 1030 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly Poly
7271, 43ffvelrnd 6028 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly Poly
7372mul01d 9837 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly Poly
7470, 73eqtrd 2487 . . . . . . . . . . . . 13 Poly Poly
75743expia 1211 . . . . . . . . . . . 12 Poly Poly
7675impl 626 . . . . . . . . . . 11 Poly Poly
77 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Poly Poly Poly
7877adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly Poly Poly
7911, 2dgrub 23200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Poly
80793expia 1211 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly
8178, 42, 80syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly Poly
8281necon1bd 2644 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly Poly
8382imp 431 . . . . . . . . . . . . 13 Poly Poly
8483oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . 12 Poly Poly
8520ad3antrrr 737 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly Poly
8663ad2antlr 734 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly Poly
8785, 86ffvelrnd 6028 . . . . . . . . . . . . 13 Poly Poly
8887mul02d 9836 . . . . . . . . . . . 12 Poly Poly
8984, 88eqtrd 2487 . . . . . . . . . . 11 Poly Poly
9076, 89pm2.61dan 801 . . . . . . . . . 10 Poly Poly
9190sumeq2dv 13781 . . . . . . . . 9 Poly Poly
92 fzfi 12192 . . . . . . . . . . 11
9392olci 393 . . . . . . . . . 10
94 sumz 13800 . . . . . . . . . 10
9593, 94ax-mp 5 . . . . . . . . 9
9691, 95syl6eq 2503 . . . . . . . 8 Poly Poly
9737, 96eqtrd 2487 . . . . . . 7 Poly Poly
9897expr 620 . . . . . 6 Poly Poly
9998necon1ad 2643 . . . . 5 Poly Poly
10099ralrimiva 2804 . . . 4 Poly Poly
101 plyco0 23158 . . . . 5
1029, 28, 101syl2anc 667 . . . 4 Poly Poly
103100, 102mpbird 236 . . 3 Poly Poly
10411, 2dgrub2 23201 . . . . . 6 Poly
105104adantr 467 . . . . 5 Poly Poly
10618, 5dgrub2 23201 . . . . . 6 Poly
107106adantl 468 . . . . 5 Poly Poly
10811, 2coeid 23204 . . . . . 6 Poly
109108adantr 467 . . . . 5 Poly Poly
11018, 5coeid 23204 . . . . . 6 Poly
111110adantl 468 . . . . 5 Poly Poly
11277, 61, 49, 45, 13, 20, 105, 107, 109, 111plymullem1 23180 . . . 4 Poly Poly
113 elfznn0 11894 . . . . . . . 8
114113, 36syl 17 . . . . . . 7
115114oveq1d 6310 . . . . . 6
116115sumeq2i 13777 . . . . 5
117116mpteq2i 4489 . . . 4
118112, 117syl6eqr 2505 . . 3 Poly Poly
1191, 9, 28, 103, 118coeeq 23193 . 2 Poly Poly coeff
120 ffvelrn 6025 . . . 4
12128, 113, 120syl2an 480 . . 3 Poly Poly
1221, 9, 121, 118dgrle 23209 . 2 Poly Poly deg
123119, 122jca 535 1 Poly Poly coeff deg
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 188   wo 370   wa 371   w3a 986   wceq 1446   wcel 1889   wne 2624  wral 2739   wss 3406  csn 3970   class class class wbr 4405   cmpt 4464  cima 4840  wf 5581  cfv 5585  (class class class)co 6295   cof 6534  cfn 7574  cc 9542  cr 9543  cc0 9544  c1 9545   caddc 9547   cmul 9549   cle 9681   cmin 9865  cn0 10876  cuz 11166  cfz 11791  cexp 12279  csu 13764  Polycply 23150  coeffccoe 23152  degcdgr 23153 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622  ax-addf 9623 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-rp 11310  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12035  df-seq 12221  df-exp 12280  df-hash 12523  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-clim 13564  df-rlim 13565  df-sum 13765  df-0p 22640  df-ply 23154  df-coe 23156  df-dgr 23157 This theorem is referenced by:  coemul  23218  dgrmul2  23235
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