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Theorem coemullem 22378
Description: Lemma for coemul 22380 and dgrmul 22398. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
coefv0.1  |-  A  =  (coeff `  F )
coeadd.2  |-  B  =  (coeff `  G )
coeadd.3  |-  M  =  (deg `  F )
coeadd.4  |-  N  =  (deg `  G )
Assertion
Ref Expression
coemullem  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  ( (coeff `  ( F  oF  x.  G ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( n  -  k ) ) ) )  /\  (deg `  ( F  oF  x.  G ) )  <_  ( M  +  N ) ) )
Distinct variable groups:    k, n, A    B, k, n    k, F, n    k, M    k, G, n    k, N, n    S, k, n
Allowed substitution hint:    M( n)

Proof of Theorem coemullem
Dummy variables  j 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plymulcl 22350 . . 3  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  ( F  oF  x.  G
)  e.  (Poly `  CC ) )
2 coeadd.3 . . . . 5  |-  M  =  (deg `  F )
3 dgrcl 22362 . . . . 5  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  (deg `  F
)  e.  NN0 )
42, 3syl5eqel 2559 . . . 4  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  M  e.  NN0 )
5 coeadd.4 . . . . 5  |-  N  =  (deg `  G )
6 dgrcl 22362 . . . . 5  |-  ( G  e.  (Poly `  S
)  ->  (deg `  G
)  e.  NN0 )
75, 6syl5eqel 2559 . . . 4  |-  ( G  e.  (Poly `  S
)  ->  N  e.  NN0 )
8 nn0addcl 10827 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  +  N
)  e.  NN0 )
94, 7, 8syl2an 477 . . 3  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  ( M  +  N )  e.  NN0 )
10 fzfid 12046 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( 0 ... n )  e. 
Fin )
11 coefv0.1 . . . . . . . . . 10  |-  A  =  (coeff `  F )
1211coef3 22361 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  A : NN0
--> CC )
1312adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  A : NN0
--> CC )
1413adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  A : NN0
--> CC )
15 elfznn0 11766 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... n )  ->  k  e.  NN0 )
16 ffvelrn 6017 . . . . . . 7  |-  ( ( A : NN0 --> CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A `  k
)  e.  CC )
1714, 15, 16syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
18 coeadd.2 . . . . . . . . . 10  |-  B  =  (coeff `  G )
1918coef3 22361 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  (Poly `  S
)  ->  B : NN0
--> CC )
2019adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  B : NN0
--> CC )
2120ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  B : NN0 --> CC )
22 fznn0sub 11712 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... n )  ->  (
n  -  k )  e.  NN0 )
2322adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( n  -  k )  e.  NN0 )
2421, 23ffvelrnd 6020 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( B `  ( n  -  k
) )  e.  CC )
2517, 24mulcld 9612 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) )  e.  CC )
2610, 25fsumcl 13511 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) )  e.  CC )
27 eqid 2467 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( n  -  k ) ) ) )
2826, 27fmptd 6043 . . 3  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( n  -  k ) ) ) ) : NN0 --> CC )
29 oveq2 6290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  j  ->  (
0 ... n )  =  ( 0 ... j
) )
30 oveq1 6289 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  j  ->  (
n  -  k )  =  ( j  -  k ) )
3130fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  j  ->  ( B `  ( n  -  k ) )  =  ( B `  ( j  -  k
) ) )
3231oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  j  ->  (
( A `  k
)  x.  ( B `
 ( n  -  k ) ) )  =  ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
j  -  k ) ) ) )
3332adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  =  j  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) )  =  ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( j  -  k ) ) ) )
3429, 33sumeq12dv 13484 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... j ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( j  -  k ) ) ) )
35 sumex 13466 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... j
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
j  -  k ) ) )  e.  _V
3634, 27, 35fvmpt 5948 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) ) ) `  j )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... j ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( j  -  k ) ) ) )
3736ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  -> 
( ( n  e. 
NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( n  -  k ) ) ) ) `  j
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... j
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
j  -  k ) ) ) )
38 simp2r 1023 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  -.  j  <_  ( M  +  N ) )
39 simp2l 1022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  j  e.  NN0 )
4039nn0red 10849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  j  e.  RR )
41 simp3l 1024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  k  e.  ( 0 ... j ) )
42 elfznn0 11766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( 0 ... j )  ->  k  e.  NN0 )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  k  e.  NN0 )
4443nn0red 10849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  k  e.  RR )
457adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  N  e.  NN0 )
46453ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  N  e.  NN0 )
4746nn0red 10849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  N  e.  RR )
4840, 44, 47lesubadd2d 10147 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( ( j  -  k )  <_  N 
<->  j  <_  ( k  +  N ) ) )
494adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  M  e.  NN0 )
50493ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  M  e.  NN0 )
5150nn0red 10849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  M  e.  RR )
52 simp3r 1025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  k  <_  M
)
5344, 51, 47, 52leadd1dd 10162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( k  +  N )  <_  ( M  +  N )
)
5444, 47readdcld 9619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( k  +  N )  e.  RR )
5551, 47readdcld 9619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( M  +  N )  e.  RR )
56 letr 9674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( j  e.  RR  /\  ( k  +  N
)  e.  RR  /\  ( M  +  N
)  e.  RR )  ->  ( ( j  <_  ( k  +  N )  /\  (
k  +  N )  <_  ( M  +  N ) )  -> 
j  <_  ( M  +  N ) ) )
5740, 54, 55, 56syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( ( j  <_  ( k  +  N )  /\  (
k  +  N )  <_  ( M  +  N ) )  -> 
j  <_  ( M  +  N ) ) )
5853, 57mpan2d 674 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( j  <_ 
( k  +  N
)  ->  j  <_  ( M  +  N ) ) )
5948, 58sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( ( j  -  k )  <_  N  ->  j  <_  ( M  +  N )
) )
6038, 59mtod 177 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  -.  ( j  -  k )  <_  N )
61 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
62613ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
63 fznn0sub 11712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( 0 ... j )  ->  (
j  -  k )  e.  NN0 )
6441, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( j  -  k )  e.  NN0 )
6518, 5dgrub 22363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G  e.  (Poly `  S )  /\  (
j  -  k )  e.  NN0  /\  ( B `  ( j  -  k ) )  =/=  0 )  -> 
( j  -  k
)  <_  N )
66653expia 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  (Poly `  S )  /\  (
j  -  k )  e.  NN0 )  -> 
( ( B `  ( j  -  k
) )  =/=  0  ->  ( j  -  k
)  <_  N )
)
6762, 64, 66syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( ( B `
 ( j  -  k ) )  =/=  0  ->  ( j  -  k )  <_  N ) )
6867necon1bd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( -.  (
j  -  k )  <_  N  ->  ( B `  ( j  -  k ) )  =  0 ) )
6960, 68mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( B `  ( j  -  k
) )  =  0 )
7069oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
j  -  k ) ) )  =  ( ( A `  k
)  x.  0 ) )
71133ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  A : NN0 --> CC )
7271, 43ffvelrnd 6020 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
7372mul01d 9774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( ( A `
 k )  x.  0 )  =  0 )
7470, 73eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
j  -  k ) ) )  =  0 )
75743expia 1198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  -> 
( ( k  e.  ( 0 ... j
)  /\  k  <_  M )  ->  ( ( A `  k )  x.  ( B `  (
j  -  k ) ) )  =  0 ) )
7675impl 620 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S
)  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  ( j  e. 
NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... j ) )  /\  k  <_  M
)  ->  ( ( A `  k )  x.  ( B `  (
j  -  k ) ) )  =  0 )
77 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
7877adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  ->  F  e.  (Poly `  S
) )
7911, 2dgrub 22363 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  k  e.  NN0  /\  ( A `
 k )  =/=  0 )  ->  k  <_  M )
80793expia 1198 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( A `  k
)  =/=  0  -> 
k  <_  M )
)
8178, 42, 80syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
-.  j  <_  ( M  +  N )
) )  /\  k  e.  ( 0 ... j
) )  ->  (
( A `  k
)  =/=  0  -> 
k  <_  M )
)
8281necon1bd 2685 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
-.  j  <_  ( M  +  N )
) )  /\  k  e.  ( 0 ... j
) )  ->  ( -.  k  <_  M  -> 
( A `  k
)  =  0 ) )
8382imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S
)  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  ( j  e. 
NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... j ) )  /\  -.  k  <_  M )  ->  ( A `  k )  =  0 )
8483oveq1d 6297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S
)  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  ( j  e. 
NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... j ) )  /\  -.  k  <_  M )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( B `
 ( j  -  k ) ) )  =  ( 0  x.  ( B `  (
j  -  k ) ) ) )
8520ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S
)  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  ( j  e. 
NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... j ) )  /\  -.  k  <_  M )  ->  B : NN0 --> CC )
8663ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S
)  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  ( j  e. 
NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... j ) )  /\  -.  k  <_  M )  ->  (
j  -  k )  e.  NN0 )
8785, 86ffvelrnd 6020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S
)  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  ( j  e. 
NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... j ) )  /\  -.  k  <_  M )  ->  ( B `  ( j  -  k ) )  e.  CC )
8887mul02d 9773 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S
)  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  ( j  e. 
NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... j ) )  /\  -.  k  <_  M )  ->  (
0  x.  ( B `
 ( j  -  k ) ) )  =  0 )
8984, 88eqtrd 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S
)  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  ( j  e. 
NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... j ) )  /\  -.  k  <_  M )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( B `
 ( j  -  k ) ) )  =  0 )
9076, 89pm2.61dan 789 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
-.  j  <_  ( M  +  N )
) )  /\  k  e.  ( 0 ... j
) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( B `
 ( j  -  k ) ) )  =  0 )
9190sumeq2dv 13481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... j ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( j  -  k ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... j ) 0 )
92 fzfi 12045 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 ... j )  e. 
Fin
9392olci 391 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0 ... j ) 
C_  ( ZZ>= `  0
)  \/  ( 0 ... j )  e. 
Fin )
94 sumz 13500 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 0 ... j
)  C_  ( ZZ>= ` 
0 )  \/  (
0 ... j )  e. 
Fin )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... j
) 0  =  0 )
9593, 94ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... j
) 0  =  0
9691, 95syl6eq 2524 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... j ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( j  -  k ) ) )  =  0 )
9737, 96eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  -> 
( ( n  e. 
NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( n  -  k ) ) ) ) `  j
)  =  0 )
9897expr 615 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( -.  j  <_  ( M  +  N )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( n  -  k ) ) ) ) `  j )  =  0 ) )
9998necon1ad 2683 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( n  -  k ) ) ) ) `  j )  =/=  0  ->  j  <_  ( M  +  N
) ) )
10099ralrimiva 2878 . . . 4  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  A. j  e.  NN0  ( ( ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) ) ) `  j )  =/=  0  ->  j  <_  ( M  +  N ) ) )
101 plyco0 22321 . . . . 5  |-  ( ( ( M  +  N
)  e.  NN0  /\  ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( n  -  k ) ) ) ) : NN0 --> CC )  ->  ( ( ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) ) ) "
( ZZ>= `  ( ( M  +  N )  +  1 ) ) )  =  { 0 }  <->  A. j  e.  NN0  ( ( ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) ) ) `  j )  =/=  0  ->  j  <_  ( M  +  N ) ) ) )
1029, 28, 101syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  ( (
( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( n  -  k ) ) ) ) " ( ZZ>= `  ( ( M  +  N )  +  1 ) ) )  =  { 0 }  <->  A. j  e.  NN0  ( ( ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) ) ) `  j )  =/=  0  ->  j  <_  ( M  +  N ) ) ) )
103100, 102mpbird 232 . . 3  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) ) ) "
( ZZ>= `  ( ( M  +  N )  +  1 ) ) )  =  { 0 } )
10411, 2dgrub2 22364 . . . . . 6  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( A " ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  =  { 0 } )
105104adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  ( A " ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  =  { 0 } )
10618, 5dgrub2 22364 . . . . . 6  |-  ( G  e.  (Poly `  S
)  ->  ( B " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  { 0 } )
107106adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  ( B " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  { 0 } )
10811, 2coeid 22367 . . . . . 6  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )
109108adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )
11018, 5coeid 22367 . . . . . 6  |-  ( G  e.  (Poly `  S
)  ->  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )
111110adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )
11277, 61, 49, 45, 13, 20, 105, 107, 109, 111plymullem1 22343 . . . 4  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  ( F  oF  x.  G
)  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ( sum_ k  e.  ( 0 ... j
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
j  -  k ) ) )  x.  (
z ^ j ) ) ) )
113 elfznn0 11766 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( M  +  N
) )  ->  j  e.  NN0 )
114113, 36syl 16 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( M  +  N
) )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( n  -  k ) ) ) ) `  j )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... j ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( j  -  k ) ) ) )
115114oveq1d 6297 . . . . . 6  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( M  +  N
) )  ->  (
( ( n  e. 
NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( n  -  k ) ) ) ) `  j
)  x.  ( z ^ j ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... j
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
j  -  k ) ) )  x.  (
z ^ j ) ) )
116115sumeq2i 13477 . . . . 5  |-  sum_ j  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ( ( ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) ) ) `  j )  x.  (
z ^ j ) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ( sum_ k  e.  ( 0 ... j
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
j  -  k ) ) )  x.  (
z ^ j ) )
117116mpteq2i 4530 . . . 4  |-  ( z  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ( ( ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) ) ) `  j )  x.  (
z ^ j ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) (
sum_ k  e.  ( 0 ... j ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( j  -  k ) ) )  x.  ( z ^ j ) ) )
118112, 117syl6eqr 2526 . . 3  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  ( F  oF  x.  G
)  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ( ( ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) ) ) `  j )  x.  (
z ^ j ) ) ) )
1191, 9, 28, 103, 118coeeq 22356 . 2  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  (coeff `  ( F  oF  x.  G
) )  =  ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) ) ) )
120 ffvelrn 6017 . . . 4  |-  ( ( ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( n  -  k ) ) ) ) : NN0 --> CC  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( n  e. 
NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( n  -  k ) ) ) ) `  j
)  e.  CC )
12128, 113, 120syl2an 477 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  j  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( n  -  k ) ) ) ) `  j )  e.  CC )
1221, 9, 121, 118dgrle 22372 . 2  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  (deg `  ( F  oF  x.  G
) )  <_  ( M  +  N )
)
123119, 122jca 532 1  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  ( (coeff `  ( F  oF  x.  G ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( n  -  k ) ) ) )  /\  (deg `  ( F  oF  x.  G ) )  <_  ( M  +  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814    C_ wss 3476   {csn 4027   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   "cima 5002   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    oFcof 6520   Fincfn 7513   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489    + caddc 9491    x. cmul 9493    <_ cle 9625    - cmin 9801   NN0cn0 10791   ZZ>=cuz 11078   ...cfz 11668   ^cexp 12129   sum_csu 13464  Polycply 22313  coeffccoe 22315  degcdgr 22316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-rp 11217  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-seq 12071  df-exp 12130  df-hash 12368  df-cj 12889  df-re 12890  df-im 12891  df-sqrt 13025  df-abs 13026  df-clim 13267  df-rlim 13268  df-sum 13465  df-0p 21809  df-ply 22317  df-coe 22319  df-dgr 22320
This theorem is referenced by:  coemul  22380  dgrmul2  22397
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