Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coemulhi Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem coemulhi 23287
 Description: The leading coefficient of a product of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
coefv0.1 coeff
coemulhi.3 deg
coemulhi.4 deg
Assertion
Ref Expression
coemulhi Poly Poly coeff

Proof of Theorem coemulhi
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coemulhi.3 . . . . 5 deg
2 dgrcl 23266 . . . . 5 Poly deg
31, 2syl5eqel 2553 . . . 4 Poly
4 coemulhi.4 . . . . 5 deg
5 dgrcl 23266 . . . . 5 Poly deg
64, 5syl5eqel 2553 . . . 4 Poly
7 nn0addcl 10929 . . . 4
83, 6, 7syl2an 485 . . 3 Poly Poly
9 coefv0.1 . . . 4 coeff
10 coeadd.2 . . . 4 coeff
119, 10coemul 23285 . . 3 Poly Poly coeff
128, 11mpd3an3 1391 . 2 Poly Poly coeff
136adantl 473 . . . . . . 7 Poly Poly
1413nn0ge0d 10952 . . . . . 6 Poly Poly
153adantr 472 . . . . . . . 8 Poly Poly
1615nn0red 10950 . . . . . . 7 Poly Poly
1713nn0red 10950 . . . . . . 7 Poly Poly
1816, 17addge01d 10222 . . . . . 6 Poly Poly
1914, 18mpbid 215 . . . . 5 Poly Poly
20 nn0uz 11217 . . . . . . 7
2115, 20syl6eleq 2559 . . . . . 6 Poly Poly
228nn0zd 11061 . . . . . 6 Poly Poly
23 elfz5 11818 . . . . . 6
2421, 22, 23syl2anc 673 . . . . 5 Poly Poly
2519, 24mpbird 240 . . . 4 Poly Poly
2625snssd 4108 . . 3 Poly Poly
27 elsni 3985 . . . . . 6
2827adantl 473 . . . . 5 Poly Poly
29 fveq2 5879 . . . . . 6
30 oveq2 6316 . . . . . . 7
3130fveq2d 5883 . . . . . 6
3229, 31oveq12d 6326 . . . . 5
3328, 32syl 17 . . . 4 Poly Poly
3416recnd 9687 . . . . . . . . 9 Poly Poly
3517recnd 9687 . . . . . . . . 9 Poly Poly
3634, 35pncan2d 10007 . . . . . . . 8 Poly Poly
3736fveq2d 5883 . . . . . . 7 Poly Poly
3837oveq2d 6324 . . . . . 6 Poly Poly
399coef3 23265 . . . . . . . . 9 Poly
4039adantr 472 . . . . . . . 8 Poly Poly
4140, 15ffvelrnd 6038 . . . . . . 7 Poly Poly
4210coef3 23265 . . . . . . . . 9 Poly
4342adantl 473 . . . . . . . 8 Poly Poly
4443, 13ffvelrnd 6038 . . . . . . 7 Poly Poly
4541, 44mulcld 9681 . . . . . 6 Poly Poly
4638, 45eqeltrd 2549 . . . . 5 Poly Poly
4746adantr 472 . . . 4 Poly Poly
4833, 47eqeltrd 2549 . . 3 Poly Poly
49 simpl 464 . . . . . . . . 9 Poly Poly Poly
50 eldifi 3544 . . . . . . . . . 10
51 elfznn0 11913 . . . . . . . . . 10
5250, 51syl 17 . . . . . . . . 9
539, 1dgrub 23267 . . . . . . . . . 10 Poly
54533expia 1233 . . . . . . . . 9 Poly
5549, 52, 54syl2an 485 . . . . . . . 8 Poly Poly
5655necon1bd 2661 . . . . . . 7 Poly Poly
5756imp 436 . . . . . 6 Poly Poly
5857oveq1d 6323 . . . . 5 Poly Poly
5943ad2antrr 740 . . . . . . 7 Poly Poly
6050ad2antlr 741 . . . . . . . 8 Poly Poly
61 fznn0sub 11857 . . . . . . . 8
6260, 61syl 17 . . . . . . 7 Poly Poly
6359, 62ffvelrnd 6038 . . . . . 6 Poly Poly
6463mul02d 9849 . . . . 5 Poly Poly
6558, 64eqtrd 2505 . . . 4 Poly Poly
6616adantr 472 . . . . . . . . . . 11 Poly Poly
6750adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 Poly Poly
6867, 51syl 17 . . . . . . . . . . . 12 Poly Poly
6968nn0red 10950 . . . . . . . . . . 11 Poly Poly
7017adantr 472 . . . . . . . . . . 11 Poly Poly
7166, 69, 70leadd1d 10228 . . . . . . . . . 10 Poly Poly
728adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 Poly Poly
7372nn0red 10950 . . . . . . . . . . 11 Poly Poly
7473, 69, 70lesubadd2d 10233 . . . . . . . . . 10 Poly Poly
7571, 74bitr4d 264 . . . . . . . . 9 Poly Poly
7675notbid 301 . . . . . . . 8 Poly Poly
7776biimpa 492 . . . . . . 7 Poly Poly
78 simpr 468 . . . . . . . . . 10 Poly Poly Poly
7950, 61syl 17 . . . . . . . . . 10
8010, 4dgrub 23267 . . . . . . . . . . 11 Poly
81803expia 1233 . . . . . . . . . 10 Poly
8278, 79, 81syl2an 485 . . . . . . . . 9 Poly Poly
8382necon1bd 2661 . . . . . . . 8 Poly Poly
8483imp 436 . . . . . . 7 Poly Poly
8577, 84syldan 478 . . . . . 6 Poly Poly
8685oveq2d 6324 . . . . 5 Poly Poly
8740ad2antrr 740 . . . . . . 7 Poly Poly
8852ad2antlr 741 . . . . . . 7 Poly Poly
8987, 88ffvelrnd 6038 . . . . . 6 Poly Poly
9089mul01d 9850 . . . . 5 Poly Poly
9186, 90eqtrd 2505 . . . 4 Poly Poly
92 eldifsni 4089 . . . . . . 7
9392adantl 473 . . . . . 6 Poly Poly
9469, 66letri3d 9794 . . . . . . 7 Poly Poly
9594necon3abid 2679 . . . . . 6 Poly Poly
9693, 95mpbid 215 . . . . 5 Poly Poly
97 ianor 496 . . . . 5
9896, 97sylib 201 . . . 4 Poly Poly
9965, 91, 98mpjaodan 803 . . 3 Poly Poly
100 fzfid 12224 . . 3 Poly Poly
10126, 48, 99, 100fsumss 13868 . 2 Poly Poly
10232sumsn 13884 . . . 4
10315, 46, 102syl2anc 673 . . 3 Poly Poly
104103, 38eqtrd 2505 . 2 Poly Poly
10512, 101, 1043eqtr2d 2511 1 Poly Poly coeff
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wo 375   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641   cdif 3387  csn 3959   class class class wbr 4395  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cof 6548  cc 9555  cr 9556  cc0 9557   caddc 9560   cmul 9562   cle 9694   cmin 9880  cn0 10893  cz 10961  cuz 11182  cfz 11810  csu 13829  Polycply 23217  coeffccoe 23219  degcdgr 23220 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-0p 22707  df-ply 23221  df-coe 23223  df-dgr 23224 This theorem is referenced by:  dgrmul  23303  plymul0or  23313  plydivlem4  23328  vieta1lem2  23343
 Copyright terms: Public domain W3C validator