Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coeid3 Structured version   Unicode version

Theorem coeid3 22929
 Description: Reconstruct a polynomial as an explicit sum of the coefficient function up to at least the degree of the polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrub.1 coeff
dgrub.2 deg
Assertion
Ref Expression
coeid3 Poly
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem coeid3
StepHypRef Expression
1 dgrub.1 . . . 4 coeff
2 dgrub.2 . . . 4 deg
31, 2coeid2 22928 . . 3 Poly
5 fzss2 11778 . . . 4
653ad2ant2 1019 . . 3 Poly
7 elfznn0 11826 . . . 4
81coef3 22921 . . . . . . 7 Poly
983ad2ant1 1018 . . . . . 6 Poly
109ffvelrnda 6009 . . . . 5 Poly
11 expcl 12228 . . . . . 6
12113ad2antl3 1161 . . . . 5 Poly
1310, 12mulcld 9646 . . . 4 Poly
147, 13sylan2 472 . . 3 Poly
15 eldifn 3566 . . . . . . 7
1615adantl 464 . . . . . 6 Poly
17 simpl1 1000 . . . . . . . . 9 Poly Poly
18 eldifi 3565 . . . . . . . . . . . 12
19 elfzuz 11738 . . . . . . . . . . . 12
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . 11
2120adantl 464 . . . . . . . . . 10 Poly
22 nn0uz 11161 . . . . . . . . . 10
2321, 22syl6eleqr 2501 . . . . . . . . 9 Poly
241, 2dgrub 22923 . . . . . . . . . 10 Poly
25243expia 1199 . . . . . . . . 9 Poly
2617, 23, 25syl2anc 659 . . . . . . . 8 Poly
27 simpl2 1001 . . . . . . . . . 10 Poly
28 eluzel2 11132 . . . . . . . . . 10
2927, 28syl 17 . . . . . . . . 9 Poly
30 elfz5 11734 . . . . . . . . 9
3121, 29, 30syl2anc 659 . . . . . . . 8 Poly
3226, 31sylibrd 234 . . . . . . 7 Poly
3332necon1bd 2621 . . . . . 6 Poly
3416, 33mpd 15 . . . . 5 Poly
3534oveq1d 6293 . . . 4 Poly
36 elfznn0 11826 . . . . . . 7
3718, 36syl 17 . . . . . 6
3837, 12sylan2 472 . . . . 5 Poly
3938mul02d 9812 . . . 4 Poly
4035, 39eqtrd 2443 . . 3 Poly
41 fzfid 12124 . . 3 Poly
426, 14, 40, 41fsumss 13696 . 2 Poly
434, 42eqtrd 2443 1 Poly
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 367   w3a 974   wceq 1405   wcel 1842   wne 2598   cdif 3411   wss 3414   class class class wbr 4395  wf 5565  cfv 5569  (class class class)co 6278  cc 9520  cc0 9522   cmul 9527   cle 9659  cn0 10836  cz 10905  cuz 11127  cfz 11726  cexp 12210  csu 13657  Polycply 22873  coeffccoe 22875  degcdgr 22876 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-rp 11266  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-clim 13460  df-rlim 13461  df-sum 13658  df-0p 22369  df-ply 22877  df-coe 22879  df-dgr 22880 This theorem is referenced by:  dvply2g  22973  aannenlem1  23016
 Copyright terms: Public domain W3C validator