MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coeid2 Structured version   Unicode version

Theorem coeid2 22930
Description: Reconstruct a polynomial as an explicit sum of the coefficient function up to the degree of the polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrub.1  |-  A  =  (coeff `  F )
dgrub.2  |-  N  =  (deg `  F )
Assertion
Ref Expression
coeid2  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  X  e.  CC )  ->  ( F `  X )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( A `  k )  x.  ( X ^ k ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    k, F    S, k    k, N   
k, X

Proof of Theorem coeid2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgrub.1 . . . 4  |-  A  =  (coeff `  F )
2 dgrub.2 . . . 4  |-  N  =  (deg `  F )
31, 2coeid 22929 . . 3  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )
43fveq1d 5853 . 2  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( F `  X )  =  ( ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) `  X ) )
5 oveq1 6287 . . . . 5  |-  ( z  =  X  ->  (
z ^ k )  =  ( X ^
k ) )
65oveq2d 6296 . . . 4  |-  ( z  =  X  ->  (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  =  ( ( A `
 k )  x.  ( X ^ k
) ) )
76sumeq2sdv 13677 . . 3  |-  ( z  =  X  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( A `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) )
8 eqid 2404 . . 3  |-  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )
9 sumex 13661 . . 3  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( A `
 k )  x.  ( X ^ k
) )  e.  _V
107, 8, 9fvmpt 5934 . 2  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) `  X )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( A `  k )  x.  ( X ^ k ) ) )
114, 10sylan9eq 2465 1  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  X  e.  CC )  ->  ( F `  X )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( A `  k )  x.  ( X ^ k ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844    |-> cmpt 4455   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   CCcc 9522   0cc0 9524    x. cmul 9529   ...cfz 11728   ^cexp 12212   sum_csu 13659  Polycply 22875  coeffccoe 22877  degcdgr 22878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602  ax-addf 9603
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-fal 1413  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-of 6523  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-pm 7462  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-sup 7937  df-oi 7971  df-card 8354  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-rp 11268  df-fz 11729  df-fzo 11857  df-fl 11968  df-seq 12154  df-exp 12213  df-hash 12455  df-cj 13083  df-re 13084  df-im 13085  df-sqrt 13219  df-abs 13220  df-clim 13462  df-rlim 13463  df-sum 13660  df-0p 22371  df-ply 22879  df-coe 22881  df-dgr 22882
This theorem is referenced by:  coeid3  22931  coefv0  22939  plyrecj  22970  vieta1  23002  elqaalem3  23011  aareccl  23016  aalioulem1  23022  ftalem1  23729  ftalem5  23733  signsplypnf  29026  cnsrplycl  35493  elaa2lem  37397  etransclem46  37444
  Copyright terms: Public domain W3C validator