Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coefv0 Structured version   Unicode version

Theorem coefv0 22829
 Description: The result of evaluating a polynomial at zero is the constant term. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
coefv0.1 coeff
Assertion
Ref Expression
coefv0 Poly

Proof of Theorem coefv0
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 9538 . . 3
2 coefv0.1 . . . 4 coeff
3 eqid 2402 . . . 4 deg deg
42, 3coeid2 22820 . . 3 Poly deg
51, 4mpan2 669 . 2 Poly deg
6 dgrcl 22814 . . . . 5 Poly deg
7 nn0uz 11079 . . . . 5
86, 7syl6eleq 2500 . . . 4 Poly deg
9 fzss2 11695 . . . 4 deg deg
108, 9syl 17 . . 3 Poly deg
11 elfz1eq 11668 . . . . . 6
12 fveq2 5805 . . . . . . 7
13 oveq2 6242 . . . . . . . 8
14 0exp0e1 12125 . . . . . . . 8
1513, 14syl6eq 2459 . . . . . . 7
1612, 15oveq12d 6252 . . . . . 6
1711, 16syl 17 . . . . 5
182coef3 22813 . . . . . . 7 Poly
19 0nn0 10771 . . . . . . 7
20 ffvelrn 5963 . . . . . . 7
2118, 19, 20sylancl 660 . . . . . 6 Poly
2221mulid1d 9563 . . . . 5 Poly
2317, 22sylan9eqr 2465 . . . 4 Poly
2421adantr 463 . . . 4 Poly
2523, 24eqeltrd 2490 . . 3 Poly
26 eldifn 3565 . . . . . . . 8 deg
27 eldifi 3564 . . . . . . . . . . . 12 deg deg
28 elfznn0 11743 . . . . . . . . . . . 12 deg
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . 11 deg
30 elnn0 10758 . . . . . . . . . . 11
3129, 30sylib 196 . . . . . . . . . 10 deg
3231ord 375 . . . . . . . . 9 deg
33 id 22 . . . . . . . . . 10
34 0z 10836 . . . . . . . . . . 11
35 elfz3 11667 . . . . . . . . . . 11
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
3733, 36syl6eqel 2498 . . . . . . . . 9
3832, 37syl6 31 . . . . . . . 8 deg
3926, 38mt3d 125 . . . . . . 7 deg
4039adantl 464 . . . . . 6 Poly deg
41400expd 12280 . . . . 5 Poly deg
4241oveq2d 6250 . . . 4 Poly deg
43 ffvelrn 5963 . . . . . 6
4418, 29, 43syl2an 475 . . . . 5 Poly deg
4544mul01d 9733 . . . 4 Poly deg
4642, 45eqtrd 2443 . . 3 Poly deg
47 fzfid 12037 . . 3 Poly deg
4810, 25, 46, 47fsumss 13603 . 2 Poly deg
4922, 21eqeltrd 2490 . . . 4 Poly
5016fsum1 13620 . . . 4
5134, 49, 50sylancr 661 . . 3 Poly
5251, 22eqtrd 2443 . 2 Poly
535, 48, 523eqtr2d 2449 1 Poly
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wo 366   wa 367   wceq 1405   wcel 1842   cdif 3410   wss 3413  wf 5521  cfv 5525  (class class class)co 6234  cc 9440  cc0 9442  c1 9443   cmul 9447  cn 10496  cn0 10756  cz 10825  cuz 11045  cfz 11643  cexp 12120  csu 13564  Polycply 22765  coeffccoe 22767  degcdgr 22768 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-inf2 8011  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519  ax-pre-sup 9520  ax-addf 9521 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-of 6477  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-oadd 7091  df-er 7268  df-map 7379  df-pm 7380  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-sup 7855  df-oi 7889  df-card 8272  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-div 10168  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-n0 10757  df-z 10826  df-uz 11046  df-rp 11184  df-fz 11644  df-fzo 11768  df-fl 11879  df-seq 12062  df-exp 12121  df-hash 12360  df-cj 12988  df-re 12989  df-im 12990  df-sqrt 13124  df-abs 13125  df-clim 13367  df-rlim 13368  df-sum 13565  df-0p 22261  df-ply 22769  df-coe 22771  df-dgr 22772 This theorem is referenced by:  coemulc  22836  dgreq0  22846  vieta1lem2  22891  aareccl  22906  ftalem5  23623  signsply0  28894  elaa2  37367
 Copyright terms: Public domain W3C validator