MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coef3 Structured version   Unicode version

Theorem coef3 21643
Description: The domain and range of the coefficient function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
dgrval.1  |-  A  =  (coeff `  F )
Assertion
Ref Expression
coef3  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  A : NN0
--> CC )

Proof of Theorem coef3
StepHypRef Expression
1 plyssc 21611 . . 3  |-  (Poly `  S )  C_  (Poly `  CC )
21sseli 3349 . 2  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  F  e.  (Poly `  CC ) )
3 0cn 9374 . 2  |-  0  e.  CC
4 dgrval.1 . . 3  |-  A  =  (coeff `  F )
54coef2 21642 . 2  |-  ( ( F  e.  (Poly `  CC )  /\  0  e.  CC )  ->  A : NN0 --> CC )
62, 3, 5sylancl 657 1  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  A : NN0
--> CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1364    e. wcel 1761   -->wf 5411   ` cfv 5415   CCcc 9276   0cc0 9278   NN0cn0 10575  Polycply 21595  coeffccoe 21597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-rp 10988  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-0p 21048  df-ply 21599  df-coe 21601
This theorem is referenced by:  dgrub  21645  dgrub2  21646  dgrlb  21647  coeidlem  21648  coeid3  21651  plyco  21652  dgrle  21654  0dgrb  21657  coefv0  21658  coeaddlem  21659  coemullem  21660  coemulhi  21664  coemulc  21665  coe0  21666  coesub  21667  plycn  21671  dgreq0  21675  dgradd2  21678  dgrmul  21680  dgrcolem2  21684  plycjlem  21686  coecj  21688  plymul0or  21690  dvply2g  21694  plydivlem4  21705  plydiveu  21707  vieta1lem2  21720  vieta1  21721  elqaalem3  21730  aareccl  21735  ftalem1  22353  ftalem2  22354  ftalem4  22356  ftalem5  22357  signsplypnf  26865  dgrsub2  29400  mpaaeu  29416
  Copyright terms: Public domain W3C validator