MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coef2 Structured version   Unicode version

Theorem coef2 21835
Description: The domain and range of the coefficient function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
dgrval.1  |-  A  =  (coeff `  F )
Assertion
Ref Expression
coef2  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  0  e.  S )  ->  A : NN0 --> S )

Proof of Theorem coef2
StepHypRef Expression
1 dgrval.1 . . . 4  |-  A  =  (coeff `  F )
21coef 21834 . . 3  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  A : NN0
--> ( S  u.  {
0 } ) )
32adantr 465 . 2  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  0  e.  S )  ->  A : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) )
4 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  0  e.  S )  ->  0  e.  S )
54snssd 4129 . . . 4  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  0  e.  S )  ->  { 0 }  C_  S )
6 ssequn2 3640 . . . 4  |-  ( { 0 }  C_  S  <->  ( S  u.  { 0 } )  =  S )
75, 6sylib 196 . . 3  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  0  e.  S )  ->  ( S  u.  { 0 } )  =  S )
8 feq3 5655 . . 3  |-  ( ( S  u.  { 0 } )  =  S  ->  ( A : NN0
--> ( S  u.  {
0 } )  <->  A : NN0
--> S ) )
97, 8syl 16 . 2  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  0  e.  S )  ->  ( A : NN0 --> ( S  u.  { 0 } )  <->  A : NN0 --> S ) )
103, 9mpbid 210 1  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  0  e.  S )  ->  A : NN0 --> S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    u. cun 3437    C_ wss 3439   {csn 3988   -->wf 5525   ` cfv 5529   0cc0 9396   NN0cn0 10693  Polycply 21788  coeffccoe 21790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474  ax-addf 9475
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-sup 7805  df-oi 7838  df-card 8223  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-rp 11106  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-fl 11762  df-seq 11927  df-exp 11986  df-hash 12224  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-clim 13087  df-rlim 13088  df-sum 13285  df-0p 21284  df-ply 21792  df-coe 21794
This theorem is referenced by:  coef3  21836  plyrecj  21882  dvply2g  21887  plydivlem4  21898  elqaalem1  21921  elqaalem3  21923  aareccl  21928  aannenlem1  21930  aannenlem2  21931  aalioulem1  21934  plymulx0  27112  signsply0  27116  mpaaeu  29675  cnsrplycl  29692
  Copyright terms: Public domain W3C validator