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Theorem coeeulem 21579
Description: Lemma for coeeu 21580. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
coeeu.1  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
coeeu.2  |-  ( ph  ->  A  e.  ( CC 
^m  NN0 ) )
coeeu.3  |-  ( ph  ->  B  e.  ( CC 
^m  NN0 ) )
coeeu.4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
coeeu.5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
coeeu.6  |-  ( ph  ->  ( A " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
coeeu.7  |-  ( ph  ->  ( B " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
coeeu.8  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
coeeu.9  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
coeeulem  |-  ( ph  ->  A  =  B )
Distinct variable groups:    z, k, B    ph, k, z    A, k, z    k, M, z   
k, N, z
Allowed substitution hints:    S( z, k)    F( z, k)

Proof of Theorem coeeulem
Dummy variables  y  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3365 . . . 4  |-  CC  C_  CC
21a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
3 coeeu.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
4 coeeu.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
53, 4nn0addcld 10630 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M  +  N
)  e.  NN0 )
6 subcl 9599 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  -  y
)  e.  CC )
76adantl 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( x  -  y
)  e.  CC )
8 coeeu.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ( CC 
^m  NN0 ) )
9 cnex 9353 . . . . . . . 8  |-  CC  e.  _V
10 nn0ex 10575 . . . . . . . 8  |-  NN0  e.  _V
119, 10elmap 7231 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( CC  ^m  NN0 )  <->  A : NN0 --> CC )
128, 11sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
13 coeeu.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  ( CC 
^m  NN0 ) )
149, 10elmap 7231 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( CC  ^m  NN0 )  <->  B : NN0 --> CC )
1513, 14sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B : NN0 --> CC )
1610a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  NN0  e.  _V )
17 inidm 3549 . . . . . 6  |-  ( NN0 
i^i  NN0 )  =  NN0
187, 12, 15, 16, 16, 17off 6325 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  oF  -  B ) : NN0 --> CC )
199, 10elmap 7231 . . . . 5  |-  ( ( A  oF  -  B )  e.  ( CC  ^m  NN0 )  <->  ( A  oF  -  B ) : NN0 --> CC )
2018, 19sylibr 212 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  oF  -  B )  e.  ( CC  ^m  NN0 ) )
21 0cn 9368 . . . . . . 7  |-  0  e.  CC
22 snssi 4007 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  CC  ->  { 0 }  C_  CC )
2321, 22ax-mp 5 . . . . . 6  |-  { 0 }  C_  CC
24 ssequn2 3519 . . . . . 6  |-  ( { 0 }  C_  CC  <->  ( CC  u.  { 0 } )  =  CC )
2523, 24mpbi 208 . . . . 5  |-  ( CC  u.  { 0 } )  =  CC
2625oveq1i 6092 . . . 4  |-  ( ( CC  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  =  ( CC  ^m 
NN0 )
2720, 26syl6eleqr 2526 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  oF  -  B )  e.  ( ( CC  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )
285nn0red 10627 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  +  N
)  e.  RR )
29 nn0re 10578 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  RR )
30 ltnle 9444 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  +  N
)  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( ( M  +  N )  <  k  <->  -.  k  <_  ( M  +  N ) ) )
3128, 29, 30syl2an 474 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( M  +  N )  <  k  <->  -.  k  <_  ( M  +  N ) ) )
32 ffn 5549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A : NN0 --> CC  ->  A  Fn  NN0 )
3312, 32syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  Fn  NN0 )
34 ffn 5549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B : NN0 --> CC  ->  B  Fn  NN0 )
3515, 34syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  Fn  NN0 )
36 eqidd 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A `  k )  =  ( A `  k ) )
37 eqidd 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( B `  k )  =  ( B `  k ) )
3833, 35, 16, 16, 17, 36, 37ofval 6320 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( A  oF  -  B
) `  k )  =  ( ( A `
 k )  -  ( B `  k ) ) )
3938adantrr 711 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
( ( A  oF  -  B ) `  k )  =  ( ( A `  k
)  -  ( B `
 k ) ) )
403nn0red 10627 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
4140adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  ->  M  e.  RR )
4228adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
( M  +  N
)  e.  RR )
4329adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  RR )
4443adantrr 711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
k  e.  RR )
453nn0cnd 10628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
464nn0cnd 10628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
4745, 46addcomd 9561 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( M  +  N
)  =  ( N  +  M ) )
48 nn0uz 10885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
494, 48syl6eleq 2525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
503nn0zd 10735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
51 eluzadd 10879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  +  M )  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  M ) ) )
5249, 50, 51syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( N  +  M
)  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  M
) ) )
5347, 52eqeltrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( M  +  N
)  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  M
) ) )
5445addid2d 9560 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 0  +  M
)  =  M )
5554fveq2d 5685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( 0  +  M ) )  =  ( ZZ>= `  M )
)
5653, 55eleqtrd 2511 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( M  +  N
)  e.  ( ZZ>= `  M ) )
57 eluzle 10863 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  ( M  +  N ) )
5856, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  M  <_  ( M  +  N ) )
5958adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  ->  M  <_  ( M  +  N ) )
60 simprr 751 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
( M  +  N
)  <  k )
6141, 42, 44, 59, 60lelttrd 9519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  ->  M  <  k )
6241, 44ltnled 9511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
( M  <  k  <->  -.  k  <_  M )
)
6361, 62mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  ->  -.  k  <_  M )
64 coeeu.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( A " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
65 plyco0 21547 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( ( A
" ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  =  {
0 }  <->  A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  M ) ) )
663, 12, 65syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( A "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  =  { 0 }  <->  A. k  e.  NN0  ( ( A `  k )  =/=  0  ->  k  <_  M )
) )
6764, 66mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN0  ( ( A `  k )  =/=  0  ->  k  <_  M )
)
6867r19.21bi 2806 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( A `  k )  =/=  0  ->  k  <_  M ) )
6968adantrr 711 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
( ( A `  k )  =/=  0  ->  k  <_  M )
)
7069necon1bd 2671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
( -.  k  <_  M  ->  ( A `  k )  =  0 ) )
7163, 70mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
( A `  k
)  =  0 )
724nn0red 10627 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
7372adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  ->  N  e.  RR )
743, 48syl6eleq 2525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
754nn0zd 10735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
76 eluzadd 10879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  N ) ) )
7774, 75, 76syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( M  +  N
)  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  N
) ) )
7846addid2d 9560 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 0  +  N
)  =  N )
7978fveq2d 5685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( 0  +  N ) )  =  ( ZZ>= `  N )
)
8077, 79eleqtrd 2511 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( M  +  N
)  e.  ( ZZ>= `  N ) )
81 eluzle 10863 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  N  <_  ( M  +  N ) )
8280, 81syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  N  <_  ( M  +  N ) )
8382adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  ->  N  <_  ( M  +  N ) )
8473, 42, 44, 83, 60lelttrd 9519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  ->  N  <  k )
8573, 44ltnled 9511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
( N  <  k  <->  -.  k  <_  N )
)
8684, 85mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  ->  -.  k  <_  N )
87 coeeu.7 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( B " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
88 plyco0 21547 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  B : NN0 --> CC )  ->  ( ( B
" ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 }  <->  A. k  e.  NN0  ( ( B `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) ) )
894, 15, 88syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( B "
( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  { 0 }  <->  A. k  e.  NN0  ( ( B `  k )  =/=  0  ->  k  <_  N )
) )
9087, 89mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN0  ( ( B `  k )  =/=  0  ->  k  <_  N )
)
9190r19.21bi 2806 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( B `  k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )
9291adantrr 711 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
( ( B `  k )  =/=  0  ->  k  <_  N )
)
9392necon1bd 2671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
( -.  k  <_  N  ->  ( B `  k )  =  0 ) )
9486, 93mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
( B `  k
)  =  0 )
9571, 94oveq12d 6100 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
( ( A `  k )  -  ( B `  k )
)  =  ( 0  -  0 ) )
96 0m0e0 10421 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  -  0 )  =  0
9795, 96syl6eq 2483 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
( ( A `  k )  -  ( B `  k )
)  =  0 )
9839, 97eqtrd 2467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
( ( A  oF  -  B ) `  k )  =  0 )
9998expr 612 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( M  +  N )  <  k  ->  ( ( A  oF  -  B
) `  k )  =  0 ) )
10031, 99sylbird 235 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( -.  k  <_  ( M  +  N )  ->  (
( A  oF  -  B ) `  k )  =  0 ) )
101100necon1ad 2670 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( A  oF  -  B ) `  k )  =/=  0  ->  k  <_  ( M  +  N ) ) )
102101ralrimiva 2791 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN0  ( ( ( A  oF  -  B
) `  k )  =/=  0  ->  k  <_ 
( M  +  N
) ) )
103 plyco0 21547 . . . . 5  |-  ( ( ( M  +  N
)  e.  NN0  /\  ( A  oF  -  B ) : NN0 --> CC )  ->  ( (
( A  oF  -  B ) "
( ZZ>= `  ( ( M  +  N )  +  1 ) ) )  =  { 0 }  <->  A. k  e.  NN0  ( ( ( A  oF  -  B
) `  k )  =/=  0  ->  k  <_ 
( M  +  N
) ) ) )
1045, 18, 103syl2anc 656 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  oF  -  B
) " ( ZZ>= `  ( ( M  +  N )  +  1 ) ) )  =  { 0 }  <->  A. k  e.  NN0  ( ( ( A  oF  -  B ) `  k
)  =/=  0  -> 
k  <_  ( M  +  N ) ) ) )
105102, 104mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  oF  -  B ) " ( ZZ>= `  (
( M  +  N
)  +  1 ) ) )  =  {
0 } )
106 df-0p 20992 . . . . 5  |-  0p  =  ( CC  X.  { 0 } )
107 fconstmpt 4871 . . . . 5  |-  ( CC 
X.  { 0 } )  =  ( z  e.  CC  |->  0 )
108106, 107eqtri 2455 . . . 4  |-  0p  =  ( z  e.  CC  |->  0 )
109 elfznn0 11470 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( M  +  N
) )  ->  k  e.  NN0 )
11038adantlr 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( A  oF  -  B ) `  k )  =  ( ( A `  k
)  -  ( B `
 k ) ) )
111110oveq1d 6097 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( ( A  oF  -  B ) `  k )  x.  (
z ^ k ) )  =  ( ( ( A `  k
)  -  ( B `
 k ) )  x.  ( z ^
k ) ) )
11212adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  A : NN0
--> CC )
113112ffvelrnda 5833 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
11415adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  B : NN0
--> CC )
115114ffvelrnda 5833 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( B `  k )  e.  CC )
116 expcl 11869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( z ^ k
)  e.  CC )
117116adantll 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
z ^ k )  e.  CC )
118113, 115, 117subdird 9791 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( ( A `  k )  -  ( B `  k )
)  x.  ( z ^ k ) )  =  ( ( ( A `  k )  x.  ( z ^
k ) )  -  ( ( B `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )
119111, 118eqtrd 2467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( ( A  oF  -  B ) `  k )  x.  (
z ^ k ) )  =  ( ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  -  ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
120109, 119sylan2 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )  ->  (
( ( A  oF  -  B ) `  k )  x.  (
z ^ k ) )  =  ( ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  -  ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
121120sumeq2dv 13166 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ( ( ( A  oF  -  B ) `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) ( ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  -  (
( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )
122 fzfid 11781 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( 0 ... ( M  +  N ) )  e. 
Fin )
123113, 117mulcld 9396 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  e.  CC )
124109, 123sylan2 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  e.  CC )
125115, 117mulcld 9396 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  e.  CC )
126109, 125sylan2 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )  ->  (
( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  e.  CC )
127122, 124, 126fsumsub 13240 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ( ( ( A `  k )  x.  ( z ^
k ) )  -  ( ( B `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )  =  (
sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) ( ( A `  k )  x.  (
z ^ k ) )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
128122, 124fsumcl 13196 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  e.  CC )
129 coeeu.8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
130 coeeu.9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
131129, 130eqtr3d 2469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
132131fveq1d 5683 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) `  z
)  =  ( ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) `  z ) )
133132adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) `  z )  =  ( ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) `  z ) )
134 simpr 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  z  e.  CC )
135 sumex 13151 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  e.  _V
136 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )
137136fvmpt2 5771 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  CC  /\  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  e.  _V )  -> 
( ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) `  z
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) )
138134, 135, 137sylancl 657 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) `  z )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )
139 fzss2 11487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( 0 ... M )  C_  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
14056, 139syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0 ... M
)  C_  ( 0 ... ( M  +  N ) ) )
141140adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( 0 ... M )  C_  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
142141sselda 3346 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
143142, 124syldan 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  e.  CC )
144 eldifn 3469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N ) )  \ 
( 0 ... M
) )  ->  -.  k  e.  ( 0 ... M ) )
145144adantl 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  -.  k  e.  ( 0 ... M
) )
146 eldifi 3468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N ) )  \ 
( 0 ... M
) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
147146, 109syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N ) )  \ 
( 0 ... M
) )  ->  k  e.  NN0 )
148 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  NN0 )
149148, 48syl6eleq 2525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
15050adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  M  e.  ZZ )
151 elfz5 11434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( 0 ... M )  <->  k  <_  M ) )
152149, 150, 151syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( k  e.  ( 0 ... M
)  <->  k  <_  M
) )
15368, 152sylibrd 234 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( A `  k )  =/=  0  ->  k  e.  ( 0 ... M
) ) )
154153adantlr 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( A `  k
)  =/=  0  -> 
k  e.  ( 0 ... M ) ) )
155154necon1bd 2671 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( -.  k  e.  (
0 ... M )  -> 
( A `  k
)  =  0 ) )
156147, 155sylan2 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( -.  k  e.  ( 0 ... M )  -> 
( A `  k
)  =  0 ) )
157145, 156mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( A `  k )  =  0 )
158157oveq1d 6097 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( ( A `  k )  x.  ( z ^ k
) )  =  ( 0  x.  ( z ^ k ) ) )
159134, 147, 116syl2an 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( z ^ k )  e.  CC )
160159mul02d 9557 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( 0  x.  ( z ^
k ) )  =  0 )
161158, 160eqtrd 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( ( A `  k )  x.  ( z ^ k
) )  =  0 )
162141, 143, 161, 122fsumss 13188 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )
163138, 162eqtrd 2467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) `  z )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) ( ( A `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )
164 sumex 13151 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  e.  _V
165 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )
166165fvmpt2 5771 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  CC  /\  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  e.  _V )  -> 
( ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) `  z
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) )
167134, 164, 166sylancl 657 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) `  z )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )
168 fzss2 11487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( 0 ... N )  C_  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
16980, 168syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  C_  ( 0 ... ( M  +  N ) ) )
170169adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( 0 ... N )  C_  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
171170sselda 3346 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
172171, 126syldan 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  e.  CC )
173 eldifn 3469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N ) )  \ 
( 0 ... N
) )  ->  -.  k  e.  ( 0 ... N ) )
174173adantl 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... N ) ) )  ->  -.  k  e.  ( 0 ... N
) )
175 eldifi 3468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N ) )  \ 
( 0 ... N
) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
176175, 109syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N ) )  \ 
( 0 ... N
) )  ->  k  e.  NN0 )
17775adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
178 elfz5 11434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( 0 ... N )  <->  k  <_  N ) )
179149, 177, 178syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( k  e.  ( 0 ... N
)  <->  k  <_  N
) )
18091, 179sylibrd 234 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( B `  k )  =/=  0  ->  k  e.  ( 0 ... N
) ) )
181180adantlr 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( B `  k
)  =/=  0  -> 
k  e.  ( 0 ... N ) ) )
182181necon1bd 2671 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( -.  k  e.  (
0 ... N )  -> 
( B `  k
)  =  0 ) )
183176, 182sylan2 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... N ) ) )  ->  ( -.  k  e.  ( 0 ... N )  -> 
( B `  k
)  =  0 ) )
184174, 183mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... N ) ) )  ->  ( B `  k )  =  0 )
185184oveq1d 6097 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... N ) ) )  ->  ( ( B `  k )  x.  ( z ^ k
) )  =  ( 0  x.  ( z ^ k ) ) )
186134, 176, 116syl2an 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... N ) ) )  ->  ( z ^ k )  e.  CC )
187186mul02d 9557 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... N ) ) )  ->  ( 0  x.  ( z ^
k ) )  =  0 )
188185, 187eqtrd 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... N ) ) )  ->  ( ( B `  k )  x.  ( z ^ k
) )  =  0 )
189170, 172, 188, 122fsumss 13188 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) ( ( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )
190167, 189eqtrd 2467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) `  z )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) ( ( B `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )
191133, 163, 1903eqtr3d 2475 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) ( ( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )
192128, 191subeq0bd 9764 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) ( ( B `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )  =  0 )
193121, 127, 1923eqtrrd 2472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  0  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) ( ( ( A  oF  -  B
) `  k )  x.  ( z ^ k
) ) )
194193mpteq2dva 4368 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  CC  |->  0 )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) ( ( ( A  oF  -  B ) `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )
195108, 194syl5eq 2479 . . 3  |-  ( ph  ->  0p  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) ( ( ( A  oF  -  B ) `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )
1962, 5, 27, 105, 195plyeq0 21566 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  oF  -  B )  =  ( NN0  X.  {
0 } ) )
197 ofsubeq0 10309 . . 3  |-  ( ( NN0  e.  _V  /\  A : NN0 --> CC  /\  B : NN0 --> CC )  ->  ( ( A  oF  -  B
)  =  ( NN0 
X.  { 0 } )  <->  A  =  B
) )
19816, 12, 15, 197syl3anc 1213 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  oF  -  B )  =  ( NN0  X.  { 0 } )  <-> 
A  =  B ) )
199196, 198mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  A  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1757    =/= wne 2598   A.wral 2707   _Vcvv 2964    \ cdif 3315    u. cun 3316    C_ wss 3318   {csn 3867   class class class wbr 4282    e. cmpt 4340    X. cxp 4827   "cima 4832    Fn wfn 5403   -->wf 5404   ` cfv 5408  (class class class)co 6082    oFcof 6309    ^m cmap 7204   CCcc 9270   RRcr 9271   0cc0 9272   1c1 9273    + caddc 9275    x. cmul 9277    < clt 9408    <_ cle 9409    - cmin 9585   NN0cn0 10569   ZZcz 10636   ZZ>=cuz 10851   ...cfz 11426   ^cexp 11851   sum_csu 13149   0pc0p 20991  Polycply 21539
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2416  ax-rep 4393  ax-sep 4403  ax-nul 4411  ax-pow 4460  ax-pr 4521  ax-un 6363  ax-inf2 7837  ax-cnex 9328  ax-resscn 9329  ax-1cn 9330  ax-icn 9331  ax-addcl 9332  ax-addrcl 9333  ax-mulcl 9334  ax-mulrcl 9335  ax-mulcom 9336  ax-addass 9337  ax-mulass 9338  ax-distr 9339  ax-i2m1 9340  ax-1ne0 9341  ax-1rid 9342  ax-rnegex 9343  ax-rrecex 9344  ax-cnre 9345  ax-pre-lttri 9346  ax-pre-lttrn 9347  ax-pre-ltadd 9348  ax-pre-mulgt0 9349  ax-pre-sup 9350  ax-addf 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1702  df-eu 2260  df-mo 2261  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2966  df-sbc 3178  df-csb 3279  df-dif 3321  df-un 3323  df-in 3325  df-ss 3332  df-pss 3334  df-nul 3628  df-if 3782  df-pw 3852  df-sn 3868  df-pr 3870  df-tp 3872  df-op 3874  df-uni 4082  df-int 4119  df-iun 4163  df-br 4283  df-opab 4341  df-mpt 4342  df-tr 4376  df-eprel 4621  df-id 4625  df-po 4630  df-so 4631  df-fr 4668  df-se 4669  df-we 4670  df-ord 4711  df-on 4712  df-lim 4713  df-suc 4714  df-xp 4835  df-rel 4836  df-cnv 4837  df-co 4838  df-dm 4839  df-rn 4840  df-res 4841  df-ima 4842  df-iota 5371  df-fun 5410  df-fn 5411  df-f 5412  df-f1 5413  df-fo 5414  df-f1o 5415  df-fv 5416  df-isom 5417  df-riota 6041  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6311  df-om 6468  df-1st 6568  df-2nd 6569  df-recs 6820  df-rdg 6854  df-1o 6910  df-oadd 6914  df-er 7091  df-map 7206  df-pm 7207  df-en 7301  df-dom 7302  df-sdom 7303  df-fin 7304  df-sup 7681  df-oi 7714  df-card 8099  df-pnf 9410  df-mnf 9411  df-xr 9412  df-ltxr 9413  df-le 9414  df-sub 9587  df-neg 9588  df-div 9984  df-nn 10313  df-2 10370  df-3 10371  df-n0 10570  df-z 10637  df-uz 10852  df-rp 10982  df-fz 11427  df-fzo 11535  df-fl 11628  df-seq 11793  df-exp 11852  df-hash 12090  df-cj 12574  df-re 12575  df-im 12576  df-sqr 12710  df-abs 12711  df-clim 12952  df-rlim 12953  df-sum 13150  df-0p 20992
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