MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coeeulem Unicode version

Theorem coeeulem 20096
Description: Lemma for coeeu 20097. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
coeeu.1  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
coeeu.2  |-  ( ph  ->  A  e.  ( CC 
^m  NN0 ) )
coeeu.3  |-  ( ph  ->  B  e.  ( CC 
^m  NN0 ) )
coeeu.4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
coeeu.5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
coeeu.6  |-  ( ph  ->  ( A " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
coeeu.7  |-  ( ph  ->  ( B " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
coeeu.8  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
coeeu.9  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
coeeulem  |-  ( ph  ->  A  =  B )
Distinct variable groups:    z, k, B    ph, k, z    A, k, z    k, M, z   
k, N, z
Allowed substitution hints:    S( z, k)    F( z, k)

Proof of Theorem coeeulem
Dummy variables  y  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3327 . . . 4  |-  CC  C_  CC
21a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
3 coeeu.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
4 coeeu.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
53, 4nn0addcld 10234 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M  +  N
)  e.  NN0 )
6 subcl 9261 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  -  y
)  e.  CC )
76adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( x  -  y
)  e.  CC )
8 coeeu.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ( CC 
^m  NN0 ) )
9 cnex 9027 . . . . . . . 8  |-  CC  e.  _V
10 nn0ex 10183 . . . . . . . 8  |-  NN0  e.  _V
119, 10elmap 7001 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( CC  ^m  NN0 )  <->  A : NN0 --> CC )
128, 11sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
13 coeeu.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  ( CC 
^m  NN0 ) )
149, 10elmap 7001 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( CC  ^m  NN0 )  <->  B : NN0 --> CC )
1513, 14sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B : NN0 --> CC )
1610a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  NN0  e.  _V )
17 inidm 3510 . . . . . 6  |-  ( NN0 
i^i  NN0 )  =  NN0
187, 12, 15, 16, 16, 17off 6279 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  o F  -  B ) : NN0 --> CC )
199, 10elmap 7001 . . . . 5  |-  ( ( A  o F  -  B )  e.  ( CC  ^m  NN0 )  <->  ( A  o F  -  B ) : NN0 --> CC )
2018, 19sylibr 204 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  o F  -  B )  e.  ( CC  ^m  NN0 ) )
21 0cn 9040 . . . . . . 7  |-  0  e.  CC
22 snssi 3902 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  CC  ->  { 0 }  C_  CC )
2321, 22ax-mp 8 . . . . . 6  |-  { 0 }  C_  CC
24 ssequn2 3480 . . . . . 6  |-  ( { 0 }  C_  CC  <->  ( CC  u.  { 0 } )  =  CC )
2523, 24mpbi 200 . . . . 5  |-  ( CC  u.  { 0 } )  =  CC
2625oveq1i 6050 . . . 4  |-  ( ( CC  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  =  ( CC  ^m 
NN0 )
2720, 26syl6eleqr 2495 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  o F  -  B )  e.  ( ( CC  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )
285nn0red 10231 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  +  N
)  e.  RR )
29 nn0re 10186 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  RR )
30 ltnle 9111 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  +  N
)  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( ( M  +  N )  <  k  <->  -.  k  <_  ( M  +  N ) ) )
3128, 29, 30syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( M  +  N )  <  k  <->  -.  k  <_  ( M  +  N ) ) )
32 ffn 5550 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A : NN0 --> CC  ->  A  Fn  NN0 )
3312, 32syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  Fn  NN0 )
34 ffn 5550 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B : NN0 --> CC  ->  B  Fn  NN0 )
3515, 34syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  Fn  NN0 )
36 eqidd 2405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A `  k )  =  ( A `  k ) )
37 eqidd 2405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( B `  k )  =  ( B `  k ) )
3833, 35, 16, 16, 17, 36, 37ofval 6273 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( A  o F  -  B
) `  k )  =  ( ( A `
 k )  -  ( B `  k ) ) )
3938adantrr 698 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
( ( A  o F  -  B ) `  k )  =  ( ( A `  k
)  -  ( B `
 k ) ) )
403nn0red 10231 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
4140adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  ->  M  e.  RR )
4228adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
( M  +  N
)  e.  RR )
4329adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  RR )
4443adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
k  e.  RR )
453nn0cnd 10232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
464nn0cnd 10232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
4745, 46addcomd 9224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( M  +  N
)  =  ( N  +  M ) )
48 nn0uz 10476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
494, 48syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
503nn0zd 10329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
51 eluzadd 10470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  +  M )  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  M ) ) )
5249, 50, 51syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( N  +  M
)  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  M
) ) )
5347, 52eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( M  +  N
)  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  M
) ) )
5445addid2d 9223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 0  +  M
)  =  M )
5554fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( 0  +  M ) )  =  ( ZZ>= `  M )
)
5653, 55eleqtrd 2480 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( M  +  N
)  e.  ( ZZ>= `  M ) )
57 eluzle 10454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  ( M  +  N ) )
5856, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  M  <_  ( M  +  N ) )
5958adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  ->  M  <_  ( M  +  N ) )
60 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
( M  +  N
)  <  k )
6141, 42, 44, 59, 60lelttrd 9184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  ->  M  <  k )
6241, 44ltnled 9176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
( M  <  k  <->  -.  k  <_  M )
)
6361, 62mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  ->  -.  k  <_  M )
64 coeeu.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( A " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
65 plyco0 20064 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( ( A
" ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  =  {
0 }  <->  A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  M ) ) )
663, 12, 65syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( A "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  =  { 0 }  <->  A. k  e.  NN0  ( ( A `  k )  =/=  0  ->  k  <_  M )
) )
6764, 66mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN0  ( ( A `  k )  =/=  0  ->  k  <_  M )
)
6867r19.21bi 2764 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( A `  k )  =/=  0  ->  k  <_  M ) )
6968adantrr 698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
( ( A `  k )  =/=  0  ->  k  <_  M )
)
7069necon1bd 2635 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
( -.  k  <_  M  ->  ( A `  k )  =  0 ) )
7163, 70mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
( A `  k
)  =  0 )
724nn0red 10231 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
7372adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  ->  N  e.  RR )
743, 48syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
754nn0zd 10329 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
76 eluzadd 10470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  N ) ) )
7774, 75, 76syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( M  +  N
)  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  N
) ) )
7846addid2d 9223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 0  +  N
)  =  N )
7978fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( 0  +  N ) )  =  ( ZZ>= `  N )
)
8077, 79eleqtrd 2480 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( M  +  N
)  e.  ( ZZ>= `  N ) )
81 eluzle 10454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  N  <_  ( M  +  N ) )
8280, 81syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  N  <_  ( M  +  N ) )
8382adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  ->  N  <_  ( M  +  N ) )
8473, 42, 44, 83, 60lelttrd 9184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  ->  N  <  k )
8573, 44ltnled 9176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
( N  <  k  <->  -.  k  <_  N )
)
8684, 85mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  ->  -.  k  <_  N )
87 coeeu.7 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( B " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
88 plyco0 20064 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  B : NN0 --> CC )  ->  ( ( B
" ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 }  <->  A. k  e.  NN0  ( ( B `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) ) )
894, 15, 88syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( B "
( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  { 0 }  <->  A. k  e.  NN0  ( ( B `  k )  =/=  0  ->  k  <_  N )
) )
9087, 89mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN0  ( ( B `  k )  =/=  0  ->  k  <_  N )
)
9190r19.21bi 2764 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( B `  k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )
9291adantrr 698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
( ( B `  k )  =/=  0  ->  k  <_  N )
)
9392necon1bd 2635 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
( -.  k  <_  N  ->  ( B `  k )  =  0 ) )
9486, 93mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
( B `  k
)  =  0 )
9571, 94oveq12d 6058 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
( ( A `  k )  -  ( B `  k )
)  =  ( 0  -  0 ) )
9621subidi 9327 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  -  0 )  =  0
9795, 96syl6eq 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
( ( A `  k )  -  ( B `  k )
)  =  0 )
9839, 97eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
( ( A  o F  -  B ) `  k )  =  0 )
9998expr 599 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( M  +  N )  <  k  ->  ( ( A  o F  -  B
) `  k )  =  0 ) )
10031, 99sylbird 227 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( -.  k  <_  ( M  +  N )  ->  (
( A  o F  -  B ) `  k )  =  0 ) )
101100necon1ad 2634 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( A  o F  -  B ) `  k )  =/=  0  ->  k  <_  ( M  +  N ) ) )
102101ralrimiva 2749 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN0  ( ( ( A  o F  -  B
) `  k )  =/=  0  ->  k  <_ 
( M  +  N
) ) )
103 plyco0 20064 . . . . 5  |-  ( ( ( M  +  N
)  e.  NN0  /\  ( A  o F  -  B ) : NN0 --> CC )  ->  ( (
( A  o F  -  B ) "
( ZZ>= `  ( ( M  +  N )  +  1 ) ) )  =  { 0 }  <->  A. k  e.  NN0  ( ( ( A  o F  -  B
) `  k )  =/=  0  ->  k  <_ 
( M  +  N
) ) ) )
1045, 18, 103syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  o F  -  B
) " ( ZZ>= `  ( ( M  +  N )  +  1 ) ) )  =  { 0 }  <->  A. k  e.  NN0  ( ( ( A  o F  -  B ) `  k
)  =/=  0  -> 
k  <_  ( M  +  N ) ) ) )
105102, 104mpbird 224 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  o F  -  B ) " ( ZZ>= `  (
( M  +  N
)  +  1 ) ) )  =  {
0 } )
106 df-0p 19515 . . . . 5  |-  0 p  =  ( CC  X.  { 0 } )
107 fconstmpt 4880 . . . . 5  |-  ( CC 
X.  { 0 } )  =  ( z  e.  CC  |->  0 )
108106, 107eqtri 2424 . . . 4  |-  0 p  =  ( z  e.  CC  |->  0 )
109 elfznn0 11039 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( M  +  N
) )  ->  k  e.  NN0 )
11038adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( A  o F  -  B ) `  k )  =  ( ( A `  k
)  -  ( B `
 k ) ) )
111110oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( ( A  o F  -  B ) `  k )  x.  (
z ^ k ) )  =  ( ( ( A `  k
)  -  ( B `
 k ) )  x.  ( z ^
k ) ) )
11212adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  A : NN0
--> CC )
113112ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
11415adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  B : NN0
--> CC )
115114ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( B `  k )  e.  CC )
116 expcl 11354 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( z ^ k
)  e.  CC )
117116adantll 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
z ^ k )  e.  CC )
118113, 115, 117subdird 9446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( ( A `  k )  -  ( B `  k )
)  x.  ( z ^ k ) )  =  ( ( ( A `  k )  x.  ( z ^
k ) )  -  ( ( B `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )
119111, 118eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( ( A  o F  -  B ) `  k )  x.  (
z ^ k ) )  =  ( ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  -  ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
120109, 119sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )  ->  (
( ( A  o F  -  B ) `  k )  x.  (
z ^ k ) )  =  ( ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  -  ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
121120sumeq2dv 12452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ( ( ( A  o F  -  B ) `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) ( ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  -  (
( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )
122 fzfid 11267 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( 0 ... ( M  +  N ) )  e. 
Fin )
123113, 117mulcld 9064 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  e.  CC )
124109, 123sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  e.  CC )
125115, 117mulcld 9064 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  e.  CC )
126109, 125sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )  ->  (
( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  e.  CC )
127122, 124, 126fsumsub 12526 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ( ( ( A `  k )  x.  ( z ^
k ) )  -  ( ( B `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )  =  (
sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) ( ( A `  k )  x.  (
z ^ k ) )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
128122, 124fsumcl 12482 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  e.  CC )
129 coeeu.8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
130 coeeu.9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
131129, 130eqtr3d 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
132131fveq1d 5689 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) `  z
)  =  ( ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) `  z ) )
133132adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) `  z )  =  ( ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) `  z ) )
134 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  z  e.  CC )
135 sumex 12436 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  e.  _V
136 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )
137136fvmpt2 5771 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  CC  /\  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  e.  _V )  -> 
( ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) `  z
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) )
138134, 135, 137sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) `  z )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )
139 fzss2 11048 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( 0 ... M )  C_  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
14056, 139syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0 ... M
)  C_  ( 0 ... ( M  +  N ) ) )
141140adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( 0 ... M )  C_  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
142141sselda 3308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
143142, 124syldan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  e.  CC )
144 eldifn 3430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N ) )  \ 
( 0 ... M
) )  ->  -.  k  e.  ( 0 ... M ) )
145144adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  -.  k  e.  ( 0 ... M
) )
146 eldifi 3429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N ) )  \ 
( 0 ... M
) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
147146, 109syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N ) )  \ 
( 0 ... M
) )  ->  k  e.  NN0 )
148 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  NN0 )
149148, 48syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
15050adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  M  e.  ZZ )
151 elfz5 11007 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( 0 ... M )  <->  k  <_  M ) )
152149, 150, 151syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( k  e.  ( 0 ... M
)  <->  k  <_  M
) )
15368, 152sylibrd 226 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( A `  k )  =/=  0  ->  k  e.  ( 0 ... M
) ) )
154153adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( A `  k
)  =/=  0  -> 
k  e.  ( 0 ... M ) ) )
155154necon1bd 2635 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( -.  k  e.  (
0 ... M )  -> 
( A `  k
)  =  0 ) )
156147, 155sylan2 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( -.  k  e.  ( 0 ... M )  -> 
( A `  k
)  =  0 ) )
157145, 156mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( A `  k )  =  0 )
158157oveq1d 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( ( A `  k )  x.  ( z ^ k
) )  =  ( 0  x.  ( z ^ k ) ) )
159134, 147, 116syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( z ^ k )  e.  CC )
160159mul02d 9220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( 0  x.  ( z ^
k ) )  =  0 )
161158, 160eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( ( A `  k )  x.  ( z ^ k
) )  =  0 )
162141, 143, 161, 122fsumss 12474 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )
163138, 162eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) `  z )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) ( ( A `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )
164 sumex 12436 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  e.  _V
165 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )
166165fvmpt2 5771 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  CC  /\  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  e.  _V )  -> 
( ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) `  z
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) )
167134, 164, 166sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) `  z )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )
168 fzss2 11048 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( 0 ... N )  C_  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
16980, 168syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  C_  ( 0 ... ( M  +  N ) ) )
170169adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( 0 ... N )  C_  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
171170sselda 3308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
172171, 126syldan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  e.  CC )
173 eldifn 3430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N ) )  \ 
( 0 ... N
) )  ->  -.  k  e.  ( 0 ... N ) )
174173adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... N ) ) )  ->  -.  k  e.  ( 0 ... N
) )
175 eldifi 3429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N ) )  \ 
( 0 ... N
) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
176175, 109syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N ) )  \ 
( 0 ... N
) )  ->  k  e.  NN0 )
17775adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
178 elfz5 11007 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( 0 ... N )  <->  k  <_  N ) )
179149, 177, 178syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( k  e.  ( 0 ... N
)  <->  k  <_  N
) )
18091, 179sylibrd 226 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( B `  k )  =/=  0  ->  k  e.  ( 0 ... N
) ) )
181180adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( B `  k
)  =/=  0  -> 
k  e.  ( 0 ... N ) ) )
182181necon1bd 2635 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( -.  k  e.  (
0 ... N )  -> 
( B `  k
)  =  0 ) )
183176, 182sylan2 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... N ) ) )  ->  ( -.  k  e.  ( 0 ... N )  -> 
( B `  k
)  =  0 ) )
184174, 183mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... N ) ) )  ->  ( B `  k )  =  0 )
185184oveq1d 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... N ) ) )  ->  ( ( B `  k )  x.  ( z ^ k
) )  =  ( 0  x.  ( z ^ k ) ) )
186134, 176, 116syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... N ) ) )  ->  ( z ^ k )  e.  CC )
187186mul02d 9220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... N ) ) )  ->  ( 0  x.  ( z ^
k ) )  =  0 )
188185, 187eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... N ) ) )  ->  ( ( B `  k )  x.  ( z ^ k
) )  =  0 )
189170, 172, 188, 122fsumss 12474 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) ( ( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )
190167, 189eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) `  z )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) ( ( B `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )
191133, 163, 1903eqtr3d 2444 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) ( ( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )
192128, 191subeq0bd 9419 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) ( ( B `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )  =  0 )
193121, 127, 1923eqtrrd 2441 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  0  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) ( ( ( A  o F  -  B
) `  k )  x.  ( z ^ k
) ) )
194193mpteq2dva 4255 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  CC  |->  0 )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) ( ( ( A  o F  -  B ) `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )
195108, 194syl5eq 2448 . . 3  |-  ( ph  ->  0 p  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) ( ( ( A  o F  -  B ) `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )
1962, 5, 27, 105, 195plyeq0 20083 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  o F  -  B )  =  ( NN0  X.  {
0 } ) )
197 ofsubeq0 9953 . . 3  |-  ( ( NN0  e.  _V  /\  A : NN0 --> CC  /\  B : NN0 --> CC )  ->  ( ( A  o F  -  B
)  =  ( NN0 
X.  { 0 } )  <->  A  =  B
) )
19816, 12, 15, 197syl3anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  o F  -  B )  =  ( NN0  X.  { 0 } )  <-> 
A  =  B ) )
199196, 198mpbid 202 1  |-  ( ph  ->  A  =  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    u. cun 3278    C_ wss 3280   {csn 3774   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   "cima 4840    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    o Fcof 6262    ^m cmap 6977   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999   ^cexp 11337   sum_csu 12434   0 pc0p 19514  Polycply 20056
This theorem is referenced by:  coeeu  20097
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-0p 19515
  Copyright terms: Public domain W3C validator