Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coeeu Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem coeeu 23179
 Description: Uniqueness of the coefficient function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
coeeu Poly
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem coeeu
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyssc 23154 . . . . 5 Poly Poly
21sseli 3428 . . . 4 Poly Poly
3 elply2 23150 . . . . . 6 Poly
43simprbi 466 . . . . 5 Poly
5 rexcom 2952 . . . . 5
64, 5sylib 200 . . . 4 Poly
72, 6syl 17 . . 3 Poly
8 0cn 9635 . . . . . . 7
9 snssi 4116 . . . . . . 7
108, 9ax-mp 5 . . . . . 6
11 ssequn2 3607 . . . . . 6
1210, 11mpbi 212 . . . . 5
1312oveq1i 6300 . . . 4
1413rexeqi 2992 . . 3
157, 14sylib 200 . 2 Poly
16 reeanv 2958 . . . 4
17 simp1l 1032 . . . . . . 7 Poly Poly
18 simp1rl 1073 . . . . . . 7 Poly
19 simp1rr 1074 . . . . . . 7 Poly
20 simp2l 1034 . . . . . . 7 Poly
21 simp2r 1035 . . . . . . 7 Poly
22 simp3ll 1079 . . . . . . 7 Poly
23 simp3rl 1081 . . . . . . 7 Poly
24 simp3lr 1080 . . . . . . . 8 Poly
25 oveq1 6297 . . . . . . . . . . . 12
2625oveq2d 6306 . . . . . . . . . . 11
2726sumeq2sdv 13770 . . . . . . . . . 10
28 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . 12
29 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . 12
3028, 29oveq12d 6308 . . . . . . . . . . 11
3130cbvsumv 13762 . . . . . . . . . 10
3227, 31syl6eq 2501 . . . . . . . . 9
3332cbvmptv 4495 . . . . . . . 8
3424, 33syl6eq 2501 . . . . . . 7 Poly
35 simp3rr 1082 . . . . . . . 8 Poly
3625oveq2d 6306 . . . . . . . . . . 11
3736sumeq2sdv 13770 . . . . . . . . . 10
38 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . 12
3938, 29oveq12d 6308 . . . . . . . . . . 11
4039cbvsumv 13762 . . . . . . . . . 10
4137, 40syl6eq 2501 . . . . . . . . 9
4241cbvmptv 4495 . . . . . . . 8
4335, 42syl6eq 2501 . . . . . . 7 Poly
4417, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 34, 43coeeulem 23178 . . . . . 6 Poly
45443expia 1210 . . . . 5 Poly
4645rexlimdvva 2886 . . . 4 Poly
4716, 46syl5bir 222 . . 3 Poly
4847ralrimivva 2809 . 2 Poly
49 imaeq1 5163 . . . . . . 7
5049eqeq1d 2453 . . . . . 6
51 fveq1 5864 . . . . . . . . . 10
5251oveq1d 6305 . . . . . . . . 9
5352sumeq2sdv 13770 . . . . . . . 8
5453mpteq2dv 4490 . . . . . . 7
5554eqeq2d 2461 . . . . . 6
5650, 55anbi12d 717 . . . . 5
5756rexbidv 2901 . . . 4
58 oveq1 6297 . . . . . . . . 9
5958fveq2d 5869 . . . . . . . 8
6059imaeq2d 5168 . . . . . . 7
6160eqeq1d 2453 . . . . . 6
62 oveq2 6298 . . . . . . . . 9
6362sumeq1d 13767 . . . . . . . 8
6463mpteq2dv 4490 . . . . . . 7
6564eqeq2d 2461 . . . . . 6
6661, 65anbi12d 717 . . . . 5
6766cbvrexv 3020 . . . 4
6857, 67syl6bb 265 . . 3
6968reu4 3232 . 2
7015, 48, 69sylanbrc 670 1 Poly
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 371   w3a 985   wceq 1444   wcel 1887  wral 2737  wrex 2738  wreu 2739   cun 3402   wss 3404  csn 3968   cmpt 4461  cima 4837  cfv 5582  (class class class)co 6290   cmap 7472  cc 9537  cc0 9539  c1 9540   caddc 9542   cmul 9544  cn0 10869  cuz 11159  cfz 11784  cexp 12272  csu 13752  Polycply 23138 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-0p 22628  df-ply 23142 This theorem is referenced by:  coelem  23180  coeeq  23181
 Copyright terms: Public domain W3C validator