Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coeeq2 Structured version   Unicode version

Theorem coeeq2 22616
 Description: Compute the coefficient function given a sum expression for the polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrle.1 Poly
dgrle.2
dgrle.3
dgrle.4
Assertion
Ref Expression
coeeq2 coeff
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,)

Proof of Theorem coeeq2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgrle.1 . 2 Poly
2 dgrle.2 . 2
3 simpll 753 . . . . 5
4 simpr 461 . . . . . 6
5 simplr 755 . . . . . . . 8
6 nn0uz 11125 . . . . . . . 8
75, 6syl6eleq 2541 . . . . . . 7
82nn0zd 10973 . . . . . . . 8
98ad2antrr 725 . . . . . . 7
10 elfz5 11690 . . . . . . 7
117, 9, 10syl2anc 661 . . . . . 6
124, 11mpbird 232 . . . . 5
13 dgrle.3 . . . . 5
143, 12, 13syl2anc 661 . . . 4
15 0cnd 9592 . . . 4
1614, 15ifclda 3958 . . 3
17 eqid 2443 . . 3
1816, 17fmptd 6040 . 2
19 simpr 461 . . . . . . . 8
2017fvmpt2 5948 . . . . . . . 8
2119, 16, 20syl2anc 661 . . . . . . 7
2221neeq1d 2720 . . . . . 6
23 iffalse 3935 . . . . . . 7
2423necon1ai 2674 . . . . . 6
2522, 24syl6bi 228 . . . . 5
2625ralrimiva 2857 . . . 4
27 nfv 1694 . . . . 5
28 nffvmpt1 5864 . . . . . . 7
29 nfcv 2605 . . . . . . 7
3028, 29nfne 2774 . . . . . 6
31 nfv 1694 . . . . . 6
3230, 31nfim 1906 . . . . 5
33 fveq2 5856 . . . . . . 7
3433neeq1d 2720 . . . . . 6
35 breq1 4440 . . . . . 6
3634, 35imbi12d 320 . . . . 5
3727, 32, 36cbvral 3066 . . . 4
3826, 37sylib 196 . . 3
39 plyco0 22566 . . . 4
402, 18, 39syl2anc 661 . . 3
4138, 40mpbird 232 . 2
42 dgrle.4 . . 3
43 nfcv 2605 . . . . . 6
44 nfcv 2605 . . . . . . 7
45 nfcv 2605 . . . . . . 7
4628, 44, 45nfov 6307 . . . . . 6
47 oveq2 6289 . . . . . . 7
4833, 47oveq12d 6299 . . . . . 6
4943, 46, 48cbvsumi 13500 . . . . 5
50 elfznn0 11781 . . . . . . . . . 10
5150adantl 466 . . . . . . . . 9
52 elfzle2 11700 . . . . . . . . . . . 12
5352adantl 466 . . . . . . . . . . 11
5453iftrued 3934 . . . . . . . . . 10
5513adantlr 714 . . . . . . . . . 10
5654, 55eqeltrd 2531 . . . . . . . . 9
5751, 56, 20syl2anc 661 . . . . . . . 8
5857, 54eqtrd 2484 . . . . . . 7
5958oveq1d 6296 . . . . . 6
6059sumeq2dv 13506 . . . . 5
6149, 60syl5eqr 2498 . . . 4
6261mpteq2dva 4523 . . 3
6342, 62eqtr4d 2487 . 2
641, 2, 18, 41, 63coeeq 22601 1 coeff
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1383   wcel 1804   wne 2638  wral 2793  cif 3926  csn 4014   class class class wbr 4437   cmpt 4495  cima 4992  wf 5574  cfv 5578  (class class class)co 6281  cc 9493  cc0 9495  c1 9496   caddc 9498   cmul 9500   cle 9632  cn0 10802  cz 10871  cuz 11091  cfz 11682  cexp 12147  csu 13489  Polycply 22558  coeffccoe 22560 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11092  df-rp 11231  df-fz 11683  df-fzo 11806  df-fl 11910  df-seq 12089  df-exp 12148  df-hash 12387  df-cj 12913  df-re 12914  df-im 12915  df-sqrt 13049  df-abs 13050  df-clim 13292  df-rlim 13293  df-sum 13490  df-0p 22054  df-ply 22562  df-coe 22564 This theorem is referenced by:  dgrle  22617  aareccl  22698
 Copyright terms: Public domain W3C validator