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Theorem coeeq2 22616
Description: Compute the coefficient function given a sum expression for the polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrle.1  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
dgrle.2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
dgrle.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  A  e.  CC )
dgrle.4  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( A  x.  ( z ^ k
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
coeeq2  |-  ( ph  ->  (coeff `  F )  =  ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) )
Distinct variable groups:    z, A    z, k, N    ph, k, z
Allowed substitution hints:    A( k)    S( z, k)    F( z, k)

Proof of Theorem coeeq2
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgrle.1 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
2 dgrle.2 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
3 simpll 753 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  k  <_  N )  ->  ph )
4 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  k  <_  N )  ->  k  <_  N )
5 simplr 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  k  <_  N )  ->  k  e.  NN0 )
6 nn0uz 11125 . . . . . . . 8  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
75, 6syl6eleq 2541 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  k  <_  N )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
82nn0zd 10973 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
98ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  k  <_  N )  ->  N  e.  ZZ )
10 elfz5 11690 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( 0 ... N )  <->  k  <_  N ) )
117, 9, 10syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  k  <_  N )  ->  (
k  e.  ( 0 ... N )  <->  k  <_  N ) )
124, 11mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  k  <_  N )  ->  k  e.  ( 0 ... N
) )
13 dgrle.3 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  A  e.  CC )
143, 12, 13syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  k  <_  N )  ->  A  e.  CC )
15 0cnd 9592 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  -.  k  <_  N )  -> 
0  e.  CC )
1614, 15ifclda 3958 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  if (
k  <_  N ,  A ,  0 )  e.  CC )
17 eqid 2443 . . 3  |-  ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) )
1816, 17fmptd 6040 . 2  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) : NN0 --> CC )
19 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  NN0 )
2017fvmpt2 5948 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  if ( k  <_  N ,  A ,  0 )  e.  CC )  -> 
( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `
 k )  =  if ( k  <_  N ,  A , 
0 ) )
2119, 16, 20syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  k )  =  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) )
2221neeq1d 2720 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  k )  =/=  0  <->  if (
k  <_  N ,  A ,  0 )  =/=  0 ) )
23 iffalse 3935 . . . . . . 7  |-  ( -.  k  <_  N  ->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 )  =  0 )
2423necon1ai 2674 . . . . . 6  |-  ( if ( k  <_  N ,  A ,  0 )  =/=  0  ->  k  <_  N )
2522, 24syl6bi 228 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )
2625ralrimiva 2857 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )
27 nfv 1694 . . . . 5  |-  F/ m
( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  k )  =/=  0  ->  k  <_  N )
28 nffvmpt1 5864 . . . . . . 7  |-  F/_ k
( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `
 m )
29 nfcv 2605 . . . . . . 7  |-  F/_ k
0
3028, 29nfne 2774 . . . . . 6  |-  F/ k ( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `
 m )  =/=  0
31 nfv 1694 . . . . . 6  |-  F/ k  m  <_  N
3230, 31nfim 1906 . . . . 5  |-  F/ k ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  m )  =/=  0  ->  m  <_  N )
33 fveq2 5856 . . . . . . 7  |-  ( k  =  m  ->  (
( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  k )  =  ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  m ) )
3433neeq1d 2720 . . . . . 6  |-  ( k  =  m  ->  (
( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `
 k )  =/=  0  <->  ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  m )  =/=  0 ) )
35 breq1 4440 . . . . . 6  |-  ( k  =  m  ->  (
k  <_  N  <->  m  <_  N ) )
3634, 35imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( k  =  m  ->  (
( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  <->  ( (
( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  m )  =/=  0  ->  m  <_  N ) ) )
3727, 32, 36cbvral 3066 . . . 4  |-  ( A. k  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  <->  A. m  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  m )  =/=  0  ->  m  <_  N ) )
3826, 37sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  m )  =/=  0  ->  m  <_  N ) )
39 plyco0 22566 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) : NN0 --> CC )  ->  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) " ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) )  =  { 0 }  <->  A. m  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  m )  =/=  0  ->  m  <_  N ) ) )
402, 18, 39syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) " ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) )  =  { 0 }  <->  A. m  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  m )  =/=  0  ->  m  <_  N ) ) )
4138, 40mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) )
" ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )
42 dgrle.4 . . 3  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( A  x.  ( z ^ k
) ) ) )
43 nfcv 2605 . . . . . 6  |-  F/_ m
( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  k )  x.  ( z ^
k ) )
44 nfcv 2605 . . . . . . 7  |-  F/_ k  x.
45 nfcv 2605 . . . . . . 7  |-  F/_ k
( z ^ m
)
4628, 44, 45nfov 6307 . . . . . 6  |-  F/_ k
( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  m )  x.  ( z ^
m ) )
47 oveq2 6289 . . . . . . 7  |-  ( k  =  m  ->  (
z ^ k )  =  ( z ^
m ) )
4833, 47oveq12d 6299 . . . . . 6  |-  ( k  =  m  ->  (
( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  =  ( ( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `
 m )  x.  ( z ^ m
) ) )
4943, 46, 48cbvsumi 13500 . . . . 5  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  k )  x.  ( z ^
k ) )  = 
sum_ m  e.  (
0 ... N ) ( ( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `
 m )  x.  ( z ^ m
) )
50 elfznn0 11781 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  NN0 )
5150adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  k  e.  NN0 )
52 elfzle2 11700 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  <_  N )
5352adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  k  <_  N )
5453iftrued 3934 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 )  =  A )
5513adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  A  e.  CC )
5654, 55eqeltrd 2531 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 )  e.  CC )
5751, 56, 20syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  k )  =  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) )
5857, 54eqtrd 2484 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  k )  =  A )
5958oveq1d 6296 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  =  ( A  x.  ( z ^ k ) ) )
6059sumeq2dv 13506 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  k )  x.  ( z ^
k ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( A  x.  (
z ^ k ) ) )
6149, 60syl5eqr 2498 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ m  e.  ( 0 ... N
) ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  m )  x.  ( z ^
m ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( A  x.  (
z ^ k ) ) )
6261mpteq2dva 4523 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  CC  |->  sum_
m  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `
 m )  x.  ( z ^ m
) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( A  x.  ( z ^ k ) ) ) )
6342, 62eqtr4d 2487 . 2  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ m  e.  ( 0 ... N
) ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  m )  x.  ( z ^
m ) ) ) )
641, 2, 18, 41, 63coeeq 22601 1  |-  ( ph  ->  (coeff `  F )  =  ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793   ifcif 3926   {csn 4014   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495   "cima 4992   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   CCcc 9493   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498    x. cmul 9500    <_ cle 9632   NN0cn0 10802   ZZcz 10871   ZZ>=cuz 11091   ...cfz 11682   ^cexp 12147   sum_csu 13489  Polycply 22558  coeffccoe 22560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11092  df-rp 11231  df-fz 11683  df-fzo 11806  df-fl 11910  df-seq 12089  df-exp 12148  df-hash 12387  df-cj 12913  df-re 12914  df-im 12915  df-sqrt 13049  df-abs 13050  df-clim 13292  df-rlim 13293  df-sum 13490  df-0p 22054  df-ply 22562  df-coe 22564
This theorem is referenced by:  dgrle  22617  aareccl  22698
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