MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1z Structured version   Unicode version

Theorem coe1z 17720
Description: The coefficient vector of 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1z.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
coe1z.z  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
coe1z.y  |-  Y  =  ( 0g `  R
)
Assertion
Ref Expression
coe1z  |-  ( R  e.  Ring  ->  (coe1 `  .0.  )  =  ( NN0  X. 
{ Y } ) )

Proof of Theorem coe1z
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fconst6g 5602 . . . . 5  |-  ( a  e.  NN0  ->  ( 1o 
X.  { a } ) : 1o --> NN0 )
21adantl 466 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  a  e.  NN0 )  ->  ( 1o  X.  { a } ) : 1o --> NN0 )
3 nn0ex 10588 . . . . 5  |-  NN0  e.  _V
4 1on 6930 . . . . . 6  |-  1o  e.  On
54elexi 2985 . . . . 5  |-  1o  e.  _V
63, 5elmap 7244 . . . 4  |-  ( ( 1o  X.  { a } )  e.  ( NN0  ^m  1o )  <-> 
( 1o  X.  {
a } ) : 1o --> NN0 )
72, 6sylibr 212 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  a  e.  NN0 )  ->  ( 1o  X.  { a } )  e.  ( NN0 
^m  1o ) )
8 eqidd 2444 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { a } ) )  =  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { a } ) ) )
9 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
10 psr1baslem 17644 . . . . 5  |-  ( NN0 
^m  1o )  =  { c  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  ( `' c
" NN )  e. 
Fin }
11 coe1z.y . . . . 5  |-  Y  =  ( 0g `  R
)
12 coe1z.p . . . . . 6  |-  P  =  (Poly1 `  R )
13 coe1z.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
149, 12, 13ply1mpl0 17713 . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  ( 1o mPoly  R ) )
154a1i 11 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  1o  e.  On )
16 rnggrp 16653 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
179, 10, 11, 14, 15, 16mpl0 17523 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  =  ( ( NN0  ^m  1o )  X.  { Y } ) )
18 fconstmpt 4885 . . . 4  |-  ( ( NN0  ^m  1o )  X.  { Y }
)  =  ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  Y )
1917, 18syl6eq 2491 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  =  ( b  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  Y ) )
20 eqidd 2444 . . 3  |-  ( b  =  ( 1o  X.  { a } )  ->  Y  =  Y )
217, 8, 19, 20fmptco 5879 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  (  .0. 
o.  ( a  e. 
NN0  |->  ( 1o  X.  { a } ) ) )  =  ( a  e.  NN0  |->  Y ) )
2212ply1rng 17706 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
23 eqid 2443 . . . 4  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
2423, 13rng0cl 16669 . . 3  |-  ( P  e.  Ring  ->  .0.  e.  ( Base `  P )
)
25 eqid 2443 . . . 4  |-  (coe1 `  .0.  )  =  (coe1 `  .0.  )
26 eqid 2443 . . . 4  |-  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { a } ) )  =  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { a } ) )
2725, 23, 12, 26coe1fval2 17669 . . 3  |-  (  .0. 
e.  ( Base `  P
)  ->  (coe1 `  .0.  )  =  (  .0.  o.  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o  X.  { a } ) ) ) )
2822, 24, 273syl 20 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  (coe1 `  .0.  )  =  (  .0.  o.  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o  X.  { a } ) ) ) )
29 fconstmpt 4885 . . 3  |-  ( NN0 
X.  { Y }
)  =  ( a  e.  NN0  |->  Y )
3029a1i 11 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( NN0 
X.  { Y }
)  =  ( a  e.  NN0  |->  Y ) )
3121, 28, 303eqtr4d 2485 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  (coe1 `  .0.  )  =  ( NN0  X. 
{ Y } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {csn 3880    e. cmpt 4353   Oncon0 4722    X. cxp 4841    o. ccom 4847   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   1oc1o 6916    ^m cmap 7217   NN0cn0 10582   Basecbs 14177   0gc0g 14381   Ringcrg 16648   mPoly cmpl 17423  Poly1cpl1 17636  coe1cco1 17637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-inf2 7850  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-iin 4177  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-se 4683  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-of 6323  df-ofr 6324  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-supp 6694  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-2o 6924  df-oadd 6927  df-er 7104  df-map 7219  df-pm 7220  df-ixp 7267  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-fsupp 7624  df-oi 7727  df-card 8112  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-4 10385  df-5 10386  df-6 10387  df-7 10388  df-8 10389  df-9 10390  df-10 10391  df-n0 10583  df-z 10650  df-uz 10865  df-fz 11441  df-fzo 11552  df-seq 11810  df-hash 12107  df-struct 14179  df-ndx 14180  df-slot 14181  df-base 14182  df-sets 14183  df-ress 14184  df-plusg 14254  df-mulr 14255  df-sca 14257  df-vsca 14258  df-tset 14260  df-ple 14261  df-0g 14383  df-gsum 14384  df-mre 14527  df-mrc 14528  df-acs 14530  df-mnd 15418  df-mhm 15467  df-submnd 15468  df-grp 15548  df-minusg 15549  df-mulg 15551  df-subg 15681  df-ghm 15748  df-cntz 15838  df-cmn 16282  df-abl 16283  df-mgp 16595  df-ur 16607  df-rng 16650  df-subrg 16866  df-psr 17426  df-mpl 17428  df-opsr 17430  df-psr1 17639  df-ply1 17641  df-coe1 17642
This theorem is referenced by:  fta1blem  21643  hbtlem2  29483  coe1fzgsumd  30841  pmatcollpw1id  30902
  Copyright terms: Public domain W3C validator