MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1z Structured version   Unicode version

Theorem coe1z 18068
Description: The coefficient vector of 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1z.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
coe1z.z  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
coe1z.y  |-  Y  =  ( 0g `  R
)
Assertion
Ref Expression
coe1z  |-  ( R  e.  Ring  ->  (coe1 `  .0.  )  =  ( NN0  X. 
{ Y } ) )

Proof of Theorem coe1z
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fconst6g 5765 . . . . 5  |-  ( a  e.  NN0  ->  ( 1o 
X.  { a } ) : 1o --> NN0 )
21adantl 466 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  a  e.  NN0 )  ->  ( 1o  X.  { a } ) : 1o --> NN0 )
3 nn0ex 10790 . . . . 5  |-  NN0  e.  _V
4 1on 7127 . . . . . 6  |-  1o  e.  On
54elexi 3116 . . . . 5  |-  1o  e.  _V
63, 5elmap 7437 . . . 4  |-  ( ( 1o  X.  { a } )  e.  ( NN0  ^m  1o )  <-> 
( 1o  X.  {
a } ) : 1o --> NN0 )
72, 6sylibr 212 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  a  e.  NN0 )  ->  ( 1o  X.  { a } )  e.  ( NN0 
^m  1o ) )
8 eqidd 2461 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { a } ) )  =  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { a } ) ) )
9 eqid 2460 . . . . 5  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
10 psr1baslem 17988 . . . . 5  |-  ( NN0 
^m  1o )  =  { c  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  ( `' c
" NN )  e. 
Fin }
11 coe1z.y . . . . 5  |-  Y  =  ( 0g `  R
)
12 coe1z.p . . . . . 6  |-  P  =  (Poly1 `  R )
13 coe1z.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
149, 12, 13ply1mpl0 18060 . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  ( 1o mPoly  R ) )
154a1i 11 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  1o  e.  On )
16 rnggrp 16984 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
179, 10, 11, 14, 15, 16mpl0 17867 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  =  ( ( NN0  ^m  1o )  X.  { Y } ) )
18 fconstmpt 5035 . . . 4  |-  ( ( NN0  ^m  1o )  X.  { Y }
)  =  ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  Y )
1917, 18syl6eq 2517 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  =  ( b  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  Y ) )
20 eqidd 2461 . . 3  |-  ( b  =  ( 1o  X.  { a } )  ->  Y  =  Y )
217, 8, 19, 20fmptco 6045 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  (  .0. 
o.  ( a  e. 
NN0  |->  ( 1o  X.  { a } ) ) )  =  ( a  e.  NN0  |->  Y ) )
2212ply1rng 18053 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
23 eqid 2460 . . . 4  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
2423, 13rng0cl 17000 . . 3  |-  ( P  e.  Ring  ->  .0.  e.  ( Base `  P )
)
25 eqid 2460 . . . 4  |-  (coe1 `  .0.  )  =  (coe1 `  .0.  )
26 eqid 2460 . . . 4  |-  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { a } ) )  =  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { a } ) )
2725, 23, 12, 26coe1fval2 18013 . . 3  |-  (  .0. 
e.  ( Base `  P
)  ->  (coe1 `  .0.  )  =  (  .0.  o.  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o  X.  { a } ) ) ) )
2822, 24, 273syl 20 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  (coe1 `  .0.  )  =  (  .0.  o.  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o  X.  { a } ) ) ) )
29 fconstmpt 5035 . . 3  |-  ( NN0 
X.  { Y }
)  =  ( a  e.  NN0  |->  Y )
3029a1i 11 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( NN0 
X.  { Y }
)  =  ( a  e.  NN0  |->  Y ) )
3121, 28, 303eqtr4d 2511 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  (coe1 `  .0.  )  =  ( NN0  X. 
{ Y } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   {csn 4020    |-> cmpt 4498   Oncon0 4871    X. cxp 4990    o. ccom 4996   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   1oc1o 7113    ^m cmap 7410   NN0cn0 10784   Basecbs 14479   0gc0g 14684   Ringcrg 16979   mPoly cmpl 17766  Poly1cpl1 17980  coe1cco1 17981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-ofr 6516  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-oi 7924  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-seq 12064  df-hash 12361  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-tset 14563  df-ple 14564  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-mnd 15721  df-mhm 15770  df-submnd 15771  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-mulg 15854  df-subg 15986  df-ghm 16053  df-cntz 16143  df-cmn 16589  df-abl 16590  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-rng 16981  df-subrg 17203  df-psr 17769  df-mpl 17771  df-opsr 17773  df-psr1 17983  df-ply1 17985  df-coe1 17986
This theorem is referenced by:  coe1fzgsumd  18108  decpmatid  19031  pmatcollpwscmatlem1  19050  fta1blem  22297  hbtlem2  30666
  Copyright terms: Public domain W3C validator