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Theorem coe1tmmul2 18116
Description: Coefficient vector of a polynomial multiplied on the right by a term. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1tm.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
coe1tm.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
coe1tm.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
coe1tm.x  |-  X  =  (var1 `  R )
coe1tm.m  |-  .x.  =  ( .s `  P )
coe1tm.n  |-  N  =  (mulGrp `  P )
coe1tm.e  |-  .^  =  (.g
`  N )
coe1tmmul.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
coe1tmmul.t  |-  .xb  =  ( .r `  P )
coe1tmmul.u  |-  .X.  =  ( .r `  R )
coe1tmmul.a  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
coe1tmmul.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
coe1tmmul.c  |-  ( ph  ->  C  e.  K )
coe1tmmul.d  |-  ( ph  ->  D  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
coe1tmmul2  |-  ( ph  ->  (coe1 `  ( A  .xb  ( C  .x.  ( D 
.^  X ) ) ) )  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( D  <_  x , 
( ( (coe1 `  A
) `  ( x  -  D ) )  .X.  C ) ,  .0.  ) ) )
Distinct variable groups:    x,  .0.    x, C    x, D    x, K    x,  .^    x, A    x, N    x, P    x, X    ph, x    x, R    x,  .x.    x,  .X.    x,  .xb
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem coe1tmmul2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1tmmul.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
2 coe1tmmul.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
3 coe1tmmul.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  K )
4 coe1tmmul.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  NN0 )
5 coe1tm.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  R
)
6 coe1tm.p . . . . 5  |-  P  =  (Poly1 `  R )
7 coe1tm.x . . . . 5  |-  X  =  (var1 `  R )
8 coe1tm.m . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  P )
9 coe1tm.n . . . . 5  |-  N  =  (mulGrp `  P )
10 coe1tm.e . . . . 5  |-  .^  =  (.g
`  N )
11 coe1tmmul.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  P
)
125, 6, 7, 8, 9, 10, 11ply1tmcl 18112 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  D  e. 
NN0 )  ->  ( C  .x.  ( D  .^  X ) )  e.  B )
131, 3, 4, 12syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  .x.  ( D  .^  X ) )  e.  B )
14 coe1tmmul.t . . . 4  |-  .xb  =  ( .r `  P )
15 coe1tmmul.u . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  R )
166, 14, 15, 11coe1mul 18110 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  A  e.  B  /\  ( C  .x.  ( D  .^  X ) )  e.  B )  ->  (coe1 `  ( A  .xb  ( C 
.x.  ( D  .^  X ) ) ) )  =  ( x  e.  NN0  |->  ( R 
gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) ) ) )
171, 2, 13, 16syl3anc 1228 . 2  |-  ( ph  ->  (coe1 `  ( A  .xb  ( C  .x.  ( D 
.^  X ) ) ) )  =  ( x  e.  NN0  |->  ( R 
gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) ) ) )
18 eqeq2 2482 . . . 4  |-  ( ( ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  C
)  =  if ( D  <_  x , 
( ( (coe1 `  A
) `  ( x  -  D ) )  .X.  C ) ,  .0.  )  ->  ( ( R 
gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) )  =  ( ( (coe1 `  A ) `  (
x  -  D ) )  .X.  C )  <->  ( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) )  =  if ( D  <_  x ,  ( ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  C
) ,  .0.  )
) )
19 eqeq2 2482 . . . 4  |-  (  .0.  =  if ( D  <_  x ,  ( ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  C
) ,  .0.  )  ->  ( ( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x )  |->  ( ( (coe1 `  A ) `  y )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) )  =  .0.  <->  ( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x )  |->  ( ( (coe1 `  A ) `  y )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) )  =  if ( D  <_  x ,  ( ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  C
) ,  .0.  )
) )
20 coe1tm.z . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
211adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  ->  R  e.  Ring )
22 rngmnd 17009 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
2321, 22syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  ->  R  e.  Mnd )
24 ovex 6309 . . . . . . . 8  |-  ( 0 ... x )  e. 
_V
2524a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( 0 ... x
)  e.  _V )
26 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  ->  D  <_  x )
274adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  ->  D  e.  NN0 )
28 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  ->  x  e.  NN0 )
29 nn0sub 10846 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  NN0  /\  x  e.  NN0 )  -> 
( D  <_  x  <->  ( x  -  D )  e.  NN0 ) )
3027, 28, 29syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( D  <_  x  <->  ( x  -  D )  e.  NN0 ) )
3126, 30mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( x  -  D
)  e.  NN0 )
3227nn0ge0d 10855 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
0  <_  D )
33 nn0re 10804 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  NN0  ->  x  e.  RR )
3433ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  ->  x  e.  RR )
354nn0red 10853 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
3635adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  ->  D  e.  RR )
3734, 36subge02d 10144 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( 0  <_  D  <->  ( x  -  D )  <_  x ) )
3832, 37mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( x  -  D
)  <_  x )
39 fznn0 11769 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  NN0  ->  ( ( x  -  D )  e.  ( 0 ... x )  <->  ( (
x  -  D )  e.  NN0  /\  (
x  -  D )  <_  x ) ) )
4039ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( ( x  -  D )  e.  ( 0 ... x )  <-> 
( ( x  -  D )  e.  NN0  /\  ( x  -  D
)  <_  x )
) )
4131, 38, 40mpbir2and 920 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( x  -  D
)  e.  ( 0 ... x ) )
421ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  R  e.  Ring )
43 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (coe1 `  A
)  =  (coe1 `  A
)
4443, 11, 6, 5coe1f 18049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  B  ->  (coe1 `  A ) : NN0 --> K )
452, 44syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (coe1 `  A ) : NN0 --> K )
4645ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  (coe1 `  A
) : NN0 --> K )
47 elfznn0 11770 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( 0 ... x )  ->  y  e.  NN0 )
4847adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  y  e.  NN0 )
4946, 48ffvelrnd 6022 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  ( (coe1 `  A ) `  y
)  e.  K )
50 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) )  =  (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) )
5150, 11, 6, 5coe1f 18049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  .x.  ( D 
.^  X ) )  e.  B  ->  (coe1 `  ( C  .x.  ( D 
.^  X ) ) ) : NN0 --> K )
5213, 51syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) : NN0 --> K )
5352ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) : NN0 --> K )
54 fznn0sub 11716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( 0 ... x )  ->  (
x  -  y )  e.  NN0 )
5554adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  ( x  -  y )  e. 
NN0 )
5653, 55ffvelrnd 6022 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D 
.^  X ) ) ) `  ( x  -  y ) )  e.  K )
575, 15rngcl 17013 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
(coe1 `  A ) `  y )  e.  K  /\  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) )  e.  K )  ->  ( ( (coe1 `  A ) `  y
)  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D 
.^  X ) ) ) `  ( x  -  y ) ) )  e.  K )
5842, 49, 56, 57syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  ( (
(coe1 `  A ) `  y )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) )  e.  K
)
59 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 ... x )  |->  ( ( (coe1 `  A ) `  y )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) )  =  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) )
6058, 59fmptd 6045 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) : ( 0 ... x
) --> K )
611ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( ( 0 ... x
)  \  { (
x  -  D ) } ) )  ->  R  e.  Ring )
623ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( ( 0 ... x
)  \  { (
x  -  D ) } ) )  ->  C  e.  K )
634ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( ( 0 ... x
)  \  { (
x  -  D ) } ) )  ->  D  e.  NN0 )
64 eldifi 3626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( ( 0 ... x )  \  { ( x  -  D ) } )  ->  y  e.  ( 0 ... x ) )
6564, 54syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( ( 0 ... x )  \  { ( x  -  D ) } )  ->  ( x  -  y )  e.  NN0 )
6665adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( ( 0 ... x
)  \  { (
x  -  D ) } ) )  -> 
( x  -  y
)  e.  NN0 )
67 eldifsn 4152 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( ( 0 ... x )  \  { ( x  -  D ) } )  <-> 
( y  e.  ( 0 ... x )  /\  y  =/=  (
x  -  D ) ) )
68 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  x  e.  NN0 )
6968nn0cnd 10854 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  x  e.  CC )
7047nn0cnd 10854 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( 0 ... x )  ->  y  e.  CC )
7170adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  y  e.  CC )
7269, 71nncand 9935 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  ( x  -  ( x  -  y ) )  =  y )
7372eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  y  =  ( x  -  (
x  -  y ) ) )
74 oveq2 6292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( D  =  ( x  -  y )  ->  (
x  -  D )  =  ( x  -  ( x  -  y
) ) )
7574eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( D  =  ( x  -  y )  ->  (
y  =  ( x  -  D )  <->  y  =  ( x  -  (
x  -  y ) ) ) )
7673, 75syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  ( D  =  ( x  -  y )  ->  y  =  ( x  -  D ) ) )
7776necon3d 2691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  ( y  =/=  ( x  -  D
)  ->  D  =/=  ( x  -  y
) ) )
7877impr 619 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  ( y  e.  ( 0 ... x
)  /\  y  =/=  ( x  -  D
) ) )  ->  D  =/=  ( x  -  y ) )
7967, 78sylan2b 475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( ( 0 ... x
)  \  { (
x  -  D ) } ) )  ->  D  =/=  ( x  -  y ) )
8020, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 61, 62, 63, 66, 79coe1tmfv2 18115 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( ( 0 ... x
)  \  { (
x  -  D ) } ) )  -> 
( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) )  =  .0.  )
8180oveq2d 6300 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( ( 0 ... x
)  \  { (
x  -  D ) } ) )  -> 
( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) )  =  ( ( (coe1 `  A ) `  y )  .X.  .0.  ) )
825, 15, 20rngrz 17037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
(coe1 `  A ) `  y )  e.  K
)  ->  ( (
(coe1 `  A ) `  y )  .X.  .0.  )  =  .0.  )
8342, 49, 82syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  ( (
(coe1 `  A ) `  y )  .X.  .0.  )  =  .0.  )
8464, 83sylan2 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( ( 0 ... x
)  \  { (
x  -  D ) } ) )  -> 
( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  .0.  )  =  .0.  )
8581, 84eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( ( 0 ... x
)  \  { (
x  -  D ) } ) )  -> 
( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) )  =  .0.  )
8685, 25suppss2 6934 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( ( y  e.  ( 0 ... x
)  |->  ( ( (coe1 `  A ) `  y
)  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D 
.^  X ) ) ) `  ( x  -  y ) ) ) ) supp  .0.  )  C_ 
{ ( x  -  D ) } )
875, 20, 23, 25, 41, 60, 86gsumpt 16791 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) )  =  ( ( y  e.  ( 0 ... x )  |->  ( ( (coe1 `  A ) `  y )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) `  ( x  -  D
) ) )
88 fveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( x  -  D )  ->  (
(coe1 `  A ) `  y )  =  ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) ) )
89 oveq2 6292 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( x  -  D )  ->  (
x  -  y )  =  ( x  -  ( x  -  D
) ) )
9089fveq2d 5870 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( x  -  D )  ->  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) )  =  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  ( x  -  ( x  -  D ) ) ) )
9188, 90oveq12d 6302 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( x  -  D )  ->  (
( (coe1 `  A ) `  y )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) )  =  ( ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  ( x  -  D ) ) ) ) )
92 ovex 6309 . . . . . . . 8  |-  ( ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  ( x  -  D ) ) ) )  e.  _V
9391, 59, 92fvmpt 5950 . . . . . . 7  |-  ( ( x  -  D )  e.  ( 0 ... x )  ->  (
( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) `  ( x  -  D
) )  =  ( ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  ( x  -  D ) ) ) ) )
9441, 93syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( ( y  e.  ( 0 ... x
)  |->  ( ( (coe1 `  A ) `  y
)  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D 
.^  X ) ) ) `  ( x  -  y ) ) ) ) `  (
x  -  D ) )  =  ( ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  ( x  -  D ) ) ) ) )
9528nn0cnd 10854 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  ->  x  e.  CC )
9627nn0cnd 10854 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  ->  D  e.  CC )
9795, 96nncand 9935 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( x  -  (
x  -  D ) )  =  D )
9897fveq2d 5870 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  ( x  -  D ) ) )  =  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  D ) )
993adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  ->  C  e.  K )
10020, 5, 6, 7, 8, 9, 10coe1tmfv1 18114 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  D  e. 
NN0 )  ->  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  D
)  =  C )
10121, 99, 27, 100syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  D
)  =  C )
10298, 101eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  ( x  -  D ) ) )  =  C )
103102oveq2d 6300 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( ( (coe1 `  A
) `  ( x  -  D ) )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  ( x  -  D ) ) ) )  =  ( ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  C
) )
10487, 94, 1033eqtrd 2512 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) )  =  ( ( (coe1 `  A ) `  (
x  -  D ) )  .X.  C )
)
105104anassrs 648 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  D  <_  x )  ->  ( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) )  =  ( ( (coe1 `  A ) `  (
x  -  D ) )  .X.  C )
)
1061ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  R  e.  Ring )
1073ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  C  e.  K )
1084ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  D  e.  NN0 )
10954ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  ( x  -  y )  e. 
NN0 )
11054nn0red 10853 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( 0 ... x )  ->  (
x  -  y )  e.  RR )
111110ad2antll 728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  ( x  -  y )  e.  RR )
11233ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  x  e.  RR )
11335ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  D  e.  RR )
11447ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  y  e.  NN0 )
115114nn0ge0d 10855 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  0  <_  y )
11647nn0red 10853 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( 0 ... x )  ->  y  e.  RR )
117116ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  y  e.  RR )
118112, 117subge02d 10144 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  ( 0  <_  y  <->  ( x  -  y )  <_  x ) )
119115, 118mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  ( x  -  y )  <_  x )
120 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  -.  D  <_  x )
121112, 113ltnled 9731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  ( x  <  D  <->  -.  D  <_  x ) )
122120, 121mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  x  <  D )
123111, 112, 113, 119, 122lelttrd 9739 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  ( x  -  y )  < 
D )
124111, 123gtned 9719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  D  =/=  ( x  -  y
) )
12520, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 106, 107, 108, 109, 124coe1tmfv2 18115 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D 
.^  X ) ) ) `  ( x  -  y ) )  =  .0.  )
126125oveq2d 6300 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  ( (
(coe1 `  A ) `  y )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) )  =  ( ( (coe1 `  A ) `  y )  .X.  .0.  ) )
12745ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  (coe1 `  A
) : NN0 --> K )
128127, 114ffvelrnd 6022 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  ( (coe1 `  A ) `  y
)  e.  K )
129106, 128, 82syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  ( (
(coe1 `  A ) `  y )  .X.  .0.  )  =  .0.  )
130126, 129eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  ( (
(coe1 `  A ) `  y )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) )  =  .0.  )
131130anassrs 648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  D  <_  x )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  ( (
(coe1 `  A ) `  y )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) )  =  .0.  )
132131mpteq2dva 4533 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  D  <_  x )  -> 
( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) )  =  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  .0.  ) )
133132oveq2d 6300 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  D  <_  x )  -> 
( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x )  |->  .0.  )
) )
1341, 22syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Mnd )
13520gsumz 15833 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  ( 0 ... x
)  e.  _V )  ->  ( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  .0.  ) )  =  .0.  )
136134, 24, 135sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  .0.  ) )  =  .0.  )
137136ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  D  <_  x )  -> 
( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  .0.  ) )  =  .0.  )
138133, 137eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  D  <_  x )  -> 
( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) )  =  .0.  )
13918, 19, 105, 138ifbothda 3974 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x )  |->  ( ( (coe1 `  A ) `  y )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) )  =  if ( D  <_  x ,  ( ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  C
) ,  .0.  )
)
140139mpteq2dva 4533 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  NN0  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( D  <_  x , 
( ( (coe1 `  A
) `  ( x  -  D ) )  .X.  C ) ,  .0.  ) ) )
14117, 140eqtrd 2508 1  |-  ( ph  ->  (coe1 `  ( A  .xb  ( C  .x.  ( D 
.^  X ) ) ) )  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( D  <_  x , 
( ( (coe1 `  A
) `  ( x  -  D ) )  .X.  C ) ,  .0.  ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   _Vcvv 3113    \ cdif 3473   ifcif 3939   {csn 4027   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492    < clt 9628    <_ cle 9629    - cmin 9805   NN0cn0 10795   ...cfz 11672   Basecbs 14490   .rcmulr 14556   .scvsca 14559   0gc0g 14695    gsumg cgsu 14696   Mndcmnd 15726  .gcmg 15731  mulGrpcmgp 16943   Ringcrg 17000  var1cv1 18014  Poly1cpl1 18015  coe1cco1 18016
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-ofr 6525  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-seq 12076  df-hash 12374  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-tset 14574  df-ple 14575  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-mhm 15786  df-submnd 15787  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-sbg 15869  df-mulg 15870  df-subg 16003  df-ghm 16070  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-abl 16607  df-mgp 16944  df-ur 16956  df-rng 17002  df-subrg 17227  df-lmod 17314  df-lss 17379  df-psr 17804  df-mvr 17805  df-mpl 17806  df-opsr 17808  df-psr1 18018  df-vr1 18019  df-ply1 18020  df-coe1 18021
This theorem is referenced by:  coe1tmmul2fv  18118  coe1sclmul2  18124
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