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Theorem coe1tmmul2 18296
Description: Coefficient vector of a polynomial multiplied on the right by a term. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1tm.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
coe1tm.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
coe1tm.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
coe1tm.x  |-  X  =  (var1 `  R )
coe1tm.m  |-  .x.  =  ( .s `  P )
coe1tm.n  |-  N  =  (mulGrp `  P )
coe1tm.e  |-  .^  =  (.g
`  N )
coe1tmmul.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
coe1tmmul.t  |-  .xb  =  ( .r `  P )
coe1tmmul.u  |-  .X.  =  ( .r `  R )
coe1tmmul.a  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
coe1tmmul.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
coe1tmmul.c  |-  ( ph  ->  C  e.  K )
coe1tmmul.d  |-  ( ph  ->  D  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
coe1tmmul2  |-  ( ph  ->  (coe1 `  ( A  .xb  ( C  .x.  ( D 
.^  X ) ) ) )  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( D  <_  x , 
( ( (coe1 `  A
) `  ( x  -  D ) )  .X.  C ) ,  .0.  ) ) )
Distinct variable groups:    x,  .0.    x, C    x, D    x, K    x,  .^    x, A    x, N    x, P    x, X    ph, x    x, R    x,  .x.    x,  .X.    x,  .xb
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem coe1tmmul2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1tmmul.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
2 coe1tmmul.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
3 coe1tmmul.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  K )
4 coe1tmmul.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  NN0 )
5 coe1tm.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  R
)
6 coe1tm.p . . . . 5  |-  P  =  (Poly1 `  R )
7 coe1tm.x . . . . 5  |-  X  =  (var1 `  R )
8 coe1tm.m . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  P )
9 coe1tm.n . . . . 5  |-  N  =  (mulGrp `  P )
10 coe1tm.e . . . . 5  |-  .^  =  (.g
`  N )
11 coe1tmmul.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  P
)
125, 6, 7, 8, 9, 10, 11ply1tmcl 18292 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  D  e. 
NN0 )  ->  ( C  .x.  ( D  .^  X ) )  e.  B )
131, 3, 4, 12syl3anc 1229 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  .x.  ( D  .^  X ) )  e.  B )
14 coe1tmmul.t . . . 4  |-  .xb  =  ( .r `  P )
15 coe1tmmul.u . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  R )
166, 14, 15, 11coe1mul 18290 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  A  e.  B  /\  ( C  .x.  ( D  .^  X ) )  e.  B )  ->  (coe1 `  ( A  .xb  ( C 
.x.  ( D  .^  X ) ) ) )  =  ( x  e.  NN0  |->  ( R 
gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) ) ) )
171, 2, 13, 16syl3anc 1229 . 2  |-  ( ph  ->  (coe1 `  ( A  .xb  ( C  .x.  ( D 
.^  X ) ) ) )  =  ( x  e.  NN0  |->  ( R 
gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) ) ) )
18 eqeq2 2458 . . . 4  |-  ( ( ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  C
)  =  if ( D  <_  x , 
( ( (coe1 `  A
) `  ( x  -  D ) )  .X.  C ) ,  .0.  )  ->  ( ( R 
gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) )  =  ( ( (coe1 `  A ) `  (
x  -  D ) )  .X.  C )  <->  ( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) )  =  if ( D  <_  x ,  ( ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  C
) ,  .0.  )
) )
19 eqeq2 2458 . . . 4  |-  (  .0.  =  if ( D  <_  x ,  ( ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  C
) ,  .0.  )  ->  ( ( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x )  |->  ( ( (coe1 `  A ) `  y )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) )  =  .0.  <->  ( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x )  |->  ( ( (coe1 `  A ) `  y )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) )  =  if ( D  <_  x ,  ( ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  C
) ,  .0.  )
) )
20 coe1tm.z . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
211adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  ->  R  e.  Ring )
22 ringmnd 17186 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
2321, 22syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  ->  R  e.  Mnd )
24 ovex 6309 . . . . . . . 8  |-  ( 0 ... x )  e. 
_V
2524a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( 0 ... x
)  e.  _V )
26 simprr 757 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  ->  D  <_  x )
274adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  ->  D  e.  NN0 )
28 simprl 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  ->  x  e.  NN0 )
29 nn0sub 10853 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  NN0  /\  x  e.  NN0 )  -> 
( D  <_  x  <->  ( x  -  D )  e.  NN0 ) )
3027, 28, 29syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( D  <_  x  <->  ( x  -  D )  e.  NN0 ) )
3126, 30mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( x  -  D
)  e.  NN0 )
3227nn0ge0d 10862 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
0  <_  D )
33 nn0re 10811 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  NN0  ->  x  e.  RR )
3433ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  ->  x  e.  RR )
354nn0red 10860 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
3635adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  ->  D  e.  RR )
3734, 36subge02d 10151 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( 0  <_  D  <->  ( x  -  D )  <_  x ) )
3832, 37mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( x  -  D
)  <_  x )
39 fznn0 11781 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  NN0  ->  ( ( x  -  D )  e.  ( 0 ... x )  <->  ( (
x  -  D )  e.  NN0  /\  (
x  -  D )  <_  x ) ) )
4039ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( ( x  -  D )  e.  ( 0 ... x )  <-> 
( ( x  -  D )  e.  NN0  /\  ( x  -  D
)  <_  x )
) )
4131, 38, 40mpbir2and 922 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( x  -  D
)  e.  ( 0 ... x ) )
421ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  R  e.  Ring )
43 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (coe1 `  A
)  =  (coe1 `  A
)
4443, 11, 6, 5coe1f 18229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  B  ->  (coe1 `  A ) : NN0 --> K )
452, 44syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (coe1 `  A ) : NN0 --> K )
4645ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  (coe1 `  A
) : NN0 --> K )
47 elfznn0 11782 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( 0 ... x )  ->  y  e.  NN0 )
4847adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  y  e.  NN0 )
4946, 48ffvelrnd 6017 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  ( (coe1 `  A ) `  y
)  e.  K )
50 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) )  =  (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) )
5150, 11, 6, 5coe1f 18229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  .x.  ( D 
.^  X ) )  e.  B  ->  (coe1 `  ( C  .x.  ( D 
.^  X ) ) ) : NN0 --> K )
5213, 51syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) : NN0 --> K )
5352ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) : NN0 --> K )
54 fznn0sub 11727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( 0 ... x )  ->  (
x  -  y )  e.  NN0 )
5554adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  ( x  -  y )  e. 
NN0 )
5653, 55ffvelrnd 6017 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D 
.^  X ) ) ) `  ( x  -  y ) )  e.  K )
575, 15ringcl 17191 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
(coe1 `  A ) `  y )  e.  K  /\  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) )  e.  K )  ->  ( ( (coe1 `  A ) `  y
)  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D 
.^  X ) ) ) `  ( x  -  y ) ) )  e.  K )
5842, 49, 56, 57syl3anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  ( (
(coe1 `  A ) `  y )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) )  e.  K
)
59 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 ... x )  |->  ( ( (coe1 `  A ) `  y )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) )  =  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) )
6058, 59fmptd 6040 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) : ( 0 ... x
) --> K )
611ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( ( 0 ... x
)  \  { (
x  -  D ) } ) )  ->  R  e.  Ring )
623ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( ( 0 ... x
)  \  { (
x  -  D ) } ) )  ->  C  e.  K )
634ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( ( 0 ... x
)  \  { (
x  -  D ) } ) )  ->  D  e.  NN0 )
64 eldifi 3611 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( ( 0 ... x )  \  { ( x  -  D ) } )  ->  y  e.  ( 0 ... x ) )
6564, 54syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( ( 0 ... x )  \  { ( x  -  D ) } )  ->  ( x  -  y )  e.  NN0 )
6665adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( ( 0 ... x
)  \  { (
x  -  D ) } ) )  -> 
( x  -  y
)  e.  NN0 )
67 eldifsn 4140 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( ( 0 ... x )  \  { ( x  -  D ) } )  <-> 
( y  e.  ( 0 ... x )  /\  y  =/=  (
x  -  D ) ) )
68 simplrl 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  x  e.  NN0 )
6968nn0cnd 10861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  x  e.  CC )
7047nn0cnd 10861 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( 0 ... x )  ->  y  e.  CC )
7170adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  y  e.  CC )
7269, 71nncand 9941 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  ( x  -  ( x  -  y ) )  =  y )
7372eqcomd 2451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  y  =  ( x  -  (
x  -  y ) ) )
74 oveq2 6289 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( D  =  ( x  -  y )  ->  (
x  -  D )  =  ( x  -  ( x  -  y
) ) )
7574eqeq2d 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( D  =  ( x  -  y )  ->  (
y  =  ( x  -  D )  <->  y  =  ( x  -  (
x  -  y ) ) ) )
7673, 75syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  ( D  =  ( x  -  y )  ->  y  =  ( x  -  D ) ) )
7776necon3d 2667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  ( y  =/=  ( x  -  D
)  ->  D  =/=  ( x  -  y
) ) )
7877impr 619 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  ( y  e.  ( 0 ... x
)  /\  y  =/=  ( x  -  D
) ) )  ->  D  =/=  ( x  -  y ) )
7967, 78sylan2b 475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( ( 0 ... x
)  \  { (
x  -  D ) } ) )  ->  D  =/=  ( x  -  y ) )
8020, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 61, 62, 63, 66, 79coe1tmfv2 18295 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( ( 0 ... x
)  \  { (
x  -  D ) } ) )  -> 
( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) )  =  .0.  )
8180oveq2d 6297 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( ( 0 ... x
)  \  { (
x  -  D ) } ) )  -> 
( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) )  =  ( ( (coe1 `  A ) `  y )  .X.  .0.  ) )
825, 15, 20ringrz 17215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
(coe1 `  A ) `  y )  e.  K
)  ->  ( (
(coe1 `  A ) `  y )  .X.  .0.  )  =  .0.  )
8342, 49, 82syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  ( (
(coe1 `  A ) `  y )  .X.  .0.  )  =  .0.  )
8464, 83sylan2 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( ( 0 ... x
)  \  { (
x  -  D ) } ) )  -> 
( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  .0.  )  =  .0.  )
8581, 84eqtrd 2484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( ( 0 ... x
)  \  { (
x  -  D ) } ) )  -> 
( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) )  =  .0.  )
8685, 25suppss2 6936 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( ( y  e.  ( 0 ... x
)  |->  ( ( (coe1 `  A ) `  y
)  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D 
.^  X ) ) ) `  ( x  -  y ) ) ) ) supp  .0.  )  C_ 
{ ( x  -  D ) } )
875, 20, 23, 25, 41, 60, 86gsumpt 16967 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) )  =  ( ( y  e.  ( 0 ... x )  |->  ( ( (coe1 `  A ) `  y )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) `  ( x  -  D
) ) )
88 fveq2 5856 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( x  -  D )  ->  (
(coe1 `  A ) `  y )  =  ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) ) )
89 oveq2 6289 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( x  -  D )  ->  (
x  -  y )  =  ( x  -  ( x  -  D
) ) )
9089fveq2d 5860 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( x  -  D )  ->  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) )  =  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  ( x  -  ( x  -  D ) ) ) )
9188, 90oveq12d 6299 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( x  -  D )  ->  (
( (coe1 `  A ) `  y )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) )  =  ( ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  ( x  -  D ) ) ) ) )
92 ovex 6309 . . . . . . . 8  |-  ( ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  ( x  -  D ) ) ) )  e.  _V
9391, 59, 92fvmpt 5941 . . . . . . 7  |-  ( ( x  -  D )  e.  ( 0 ... x )  ->  (
( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) `  ( x  -  D
) )  =  ( ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  ( x  -  D ) ) ) ) )
9441, 93syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( ( y  e.  ( 0 ... x
)  |->  ( ( (coe1 `  A ) `  y
)  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D 
.^  X ) ) ) `  ( x  -  y ) ) ) ) `  (
x  -  D ) )  =  ( ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  ( x  -  D ) ) ) ) )
9528nn0cnd 10861 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  ->  x  e.  CC )
9627nn0cnd 10861 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  ->  D  e.  CC )
9795, 96nncand 9941 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( x  -  (
x  -  D ) )  =  D )
9897fveq2d 5860 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  ( x  -  D ) ) )  =  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  D ) )
993adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  ->  C  e.  K )
10020, 5, 6, 7, 8, 9, 10coe1tmfv1 18294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  D  e. 
NN0 )  ->  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  D
)  =  C )
10121, 99, 27, 100syl3anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  D
)  =  C )
10298, 101eqtrd 2484 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  ( x  -  D ) ) )  =  C )
103102oveq2d 6297 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( ( (coe1 `  A
) `  ( x  -  D ) )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  ( x  -  D ) ) ) )  =  ( ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  C
) )
10487, 94, 1033eqtrd 2488 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) )  =  ( ( (coe1 `  A ) `  (
x  -  D ) )  .X.  C )
)
105104anassrs 648 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  D  <_  x )  ->  ( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) )  =  ( ( (coe1 `  A ) `  (
x  -  D ) )  .X.  C )
)
1061ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  R  e.  Ring )
1073ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  C  e.  K )
1084ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  D  e.  NN0 )
10954ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  ( x  -  y )  e. 
NN0 )
11054nn0red 10860 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( 0 ... x )  ->  (
x  -  y )  e.  RR )
111110ad2antll 728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  ( x  -  y )  e.  RR )
11233ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  x  e.  RR )
11335ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  D  e.  RR )
11447ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  y  e.  NN0 )
115114nn0ge0d 10862 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  0  <_  y )
11647nn0red 10860 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( 0 ... x )  ->  y  e.  RR )
117116ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  y  e.  RR )
118112, 117subge02d 10151 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  ( 0  <_  y  <->  ( x  -  y )  <_  x ) )
119115, 118mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  ( x  -  y )  <_  x )
120 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  -.  D  <_  x )
121112, 113ltnled 9735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  ( x  <  D  <->  -.  D  <_  x ) )
122120, 121mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  x  <  D )
123111, 112, 113, 119, 122lelttrd 9743 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  ( x  -  y )  < 
D )
124111, 123gtned 9723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  D  =/=  ( x  -  y
) )
12520, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 106, 107, 108, 109, 124coe1tmfv2 18295 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D 
.^  X ) ) ) `  ( x  -  y ) )  =  .0.  )
126125oveq2d 6297 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  ( (
(coe1 `  A ) `  y )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) )  =  ( ( (coe1 `  A ) `  y )  .X.  .0.  ) )
12745ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  (coe1 `  A
) : NN0 --> K )
128127, 114ffvelrnd 6017 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  ( (coe1 `  A ) `  y
)  e.  K )
129106, 128, 82syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  ( (
(coe1 `  A ) `  y )  .X.  .0.  )  =  .0.  )
130126, 129eqtrd 2484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  ( (
(coe1 `  A ) `  y )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) )  =  .0.  )
131130anassrs 648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  D  <_  x )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  ( (
(coe1 `  A ) `  y )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) )  =  .0.  )
132131mpteq2dva 4523 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  D  <_  x )  -> 
( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) )  =  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  .0.  ) )
133132oveq2d 6297 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  D  <_  x )  -> 
( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x )  |->  .0.  )
) )
1341, 22syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Mnd )
13520gsumz 15984 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  ( 0 ... x
)  e.  _V )  ->  ( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  .0.  ) )  =  .0.  )
136134, 24, 135sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  .0.  ) )  =  .0.  )
137136ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  D  <_  x )  -> 
( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  .0.  ) )  =  .0.  )
138133, 137eqtrd 2484 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  D  <_  x )  -> 
( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) )  =  .0.  )
13918, 19, 105, 138ifbothda 3961 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x )  |->  ( ( (coe1 `  A ) `  y )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) )  =  if ( D  <_  x ,  ( ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  C
) ,  .0.  )
)
140139mpteq2dva 4523 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  NN0  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( D  <_  x , 
( ( (coe1 `  A
) `  ( x  -  D ) )  .X.  C ) ,  .0.  ) ) )
14117, 140eqtrd 2484 1  |-  ( ph  ->  (coe1 `  ( A  .xb  ( C  .x.  ( D 
.^  X ) ) ) )  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( D  <_  x , 
( ( (coe1 `  A
) `  ( x  -  D ) )  .X.  C ) ,  .0.  ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   _Vcvv 3095    \ cdif 3458   ifcif 3926   {csn 4014   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   CCcc 9493   RRcr 9494   0cc0 9495    < clt 9631    <_ cle 9632    - cmin 9810   NN0cn0 10802   ...cfz 11683   Basecbs 14614   .rcmulr 14680   .scvsca 14683   0gc0g 14819    gsumg cgsu 14820   Mndcmnd 15898  .gcmg 16035  mulGrpcmgp 17120   Ringcrg 17177  var1cv1 18194  Poly1cpl1 18195  coe1cco1 18196
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-ofr 6526  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-seq 12090  df-hash 12388  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-tset 14698  df-ple 14699  df-0g 14821  df-gsum 14822  df-mre 14965  df-mrc 14966  df-acs 14968  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-mhm 15945  df-submnd 15946  df-grp 16036  df-minusg 16037  df-sbg 16038  df-mulg 16039  df-subg 16177  df-ghm 16244  df-cntz 16334  df-cmn 16779  df-abl 16780  df-mgp 17121  df-ur 17133  df-ring 17179  df-subrg 17406  df-lmod 17493  df-lss 17558  df-psr 17984  df-mvr 17985  df-mpl 17986  df-opsr 17988  df-psr1 18198  df-vr1 18199  df-ply1 18200  df-coe1 18201
This theorem is referenced by:  coe1tmmul2fv  18298  coe1sclmul2  18304
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