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Theorem coe1tmmul2 17734
Description: Coefficient vector of a polynomial multiplied on the right by a term. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1tm.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
coe1tm.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
coe1tm.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
coe1tm.x  |-  X  =  (var1 `  R )
coe1tm.m  |-  .x.  =  ( .s `  P )
coe1tm.n  |-  N  =  (mulGrp `  P )
coe1tm.e  |-  .^  =  (.g
`  N )
coe1tmmul.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
coe1tmmul.t  |-  .xb  =  ( .r `  P )
coe1tmmul.u  |-  .X.  =  ( .r `  R )
coe1tmmul.a  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
coe1tmmul.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
coe1tmmul.c  |-  ( ph  ->  C  e.  K )
coe1tmmul.d  |-  ( ph  ->  D  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
coe1tmmul2  |-  ( ph  ->  (coe1 `  ( A  .xb  ( C  .x.  ( D 
.^  X ) ) ) )  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( D  <_  x , 
( ( (coe1 `  A
) `  ( x  -  D ) )  .X.  C ) ,  .0.  ) ) )
Distinct variable groups:    x,  .0.    x, C    x, D    x, K    x,  .^    x, A    x, N    x, P    x, X    ph, x    x, R    x,  .x.    x,  .X.    x,  .xb
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem coe1tmmul2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1tmmul.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
2 coe1tmmul.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
3 coe1tmmul.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  K )
4 coe1tmmul.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  NN0 )
5 coe1tm.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  R
)
6 coe1tm.p . . . . 5  |-  P  =  (Poly1 `  R )
7 coe1tm.x . . . . 5  |-  X  =  (var1 `  R )
8 coe1tm.m . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  P )
9 coe1tm.n . . . . 5  |-  N  =  (mulGrp `  P )
10 coe1tm.e . . . . 5  |-  .^  =  (.g
`  N )
11 coe1tmmul.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  P
)
125, 6, 7, 8, 9, 10, 11ply1tmcl 17730 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  D  e. 
NN0 )  ->  ( C  .x.  ( D  .^  X ) )  e.  B )
131, 3, 4, 12syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  .x.  ( D  .^  X ) )  e.  B )
14 coe1tmmul.t . . . 4  |-  .xb  =  ( .r `  P )
15 coe1tmmul.u . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  R )
166, 14, 15, 11coe1mul 17729 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  A  e.  B  /\  ( C  .x.  ( D  .^  X ) )  e.  B )  ->  (coe1 `  ( A  .xb  ( C 
.x.  ( D  .^  X ) ) ) )  =  ( x  e.  NN0  |->  ( R 
gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) ) ) )
171, 2, 13, 16syl3anc 1218 . 2  |-  ( ph  ->  (coe1 `  ( A  .xb  ( C  .x.  ( D 
.^  X ) ) ) )  =  ( x  e.  NN0  |->  ( R 
gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) ) ) )
18 eqeq2 2452 . . . 4  |-  ( ( ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  C
)  =  if ( D  <_  x , 
( ( (coe1 `  A
) `  ( x  -  D ) )  .X.  C ) ,  .0.  )  ->  ( ( R 
gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) )  =  ( ( (coe1 `  A ) `  (
x  -  D ) )  .X.  C )  <->  ( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) )  =  if ( D  <_  x ,  ( ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  C
) ,  .0.  )
) )
19 eqeq2 2452 . . . 4  |-  (  .0.  =  if ( D  <_  x ,  ( ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  C
) ,  .0.  )  ->  ( ( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x )  |->  ( ( (coe1 `  A ) `  y )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) )  =  .0.  <->  ( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x )  |->  ( ( (coe1 `  A ) `  y )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) )  =  if ( D  <_  x ,  ( ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  C
) ,  .0.  )
) )
20 coe1tm.z . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
211adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  ->  R  e.  Ring )
22 rngmnd 16659 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
2321, 22syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  ->  R  e.  Mnd )
24 ovex 6121 . . . . . . . 8  |-  ( 0 ... x )  e. 
_V
2524a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( 0 ... x
)  e.  _V )
26 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  ->  D  <_  x )
274adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  ->  D  e.  NN0 )
28 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  ->  x  e.  NN0 )
29 nn0sub 10635 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  NN0  /\  x  e.  NN0 )  -> 
( D  <_  x  <->  ( x  -  D )  e.  NN0 ) )
3027, 28, 29syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( D  <_  x  <->  ( x  -  D )  e.  NN0 ) )
3126, 30mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( x  -  D
)  e.  NN0 )
3227nn0ge0d 10644 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
0  <_  D )
33 nn0re 10593 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  NN0  ->  x  e.  RR )
3433ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  ->  x  e.  RR )
354nn0red 10642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
3635adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  ->  D  e.  RR )
3734, 36subge02d 9936 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( 0  <_  D  <->  ( x  -  D )  <_  x ) )
3832, 37mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( x  -  D
)  <_  x )
39 fznn0 11529 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  NN0  ->  ( ( x  -  D )  e.  ( 0 ... x )  <->  ( (
x  -  D )  e.  NN0  /\  (
x  -  D )  <_  x ) ) )
4039ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( ( x  -  D )  e.  ( 0 ... x )  <-> 
( ( x  -  D )  e.  NN0  /\  ( x  -  D
)  <_  x )
) )
4131, 38, 40mpbir2and 913 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( x  -  D
)  e.  ( 0 ... x ) )
421ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  R  e.  Ring )
43 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (coe1 `  A
)  =  (coe1 `  A
)
4443, 11, 6, 5coe1f 17672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  B  ->  (coe1 `  A ) : NN0 --> K )
452, 44syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (coe1 `  A ) : NN0 --> K )
4645ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  (coe1 `  A
) : NN0 --> K )
47 elfznn0 11486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( 0 ... x )  ->  y  e.  NN0 )
4847adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  y  e.  NN0 )
4946, 48ffvelrnd 5849 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  ( (coe1 `  A ) `  y
)  e.  K )
50 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) )  =  (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) )
5150, 11, 6, 5coe1f 17672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  .x.  ( D 
.^  X ) )  e.  B  ->  (coe1 `  ( C  .x.  ( D 
.^  X ) ) ) : NN0 --> K )
5213, 51syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) : NN0 --> K )
5352ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) : NN0 --> K )
54 fznn0sub 11492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( 0 ... x )  ->  (
x  -  y )  e.  NN0 )
5554adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  ( x  -  y )  e. 
NN0 )
5653, 55ffvelrnd 5849 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D 
.^  X ) ) ) `  ( x  -  y ) )  e.  K )
575, 15rngcl 16663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
(coe1 `  A ) `  y )  e.  K  /\  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) )  e.  K )  ->  ( ( (coe1 `  A ) `  y
)  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D 
.^  X ) ) ) `  ( x  -  y ) ) )  e.  K )
5842, 49, 56, 57syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  ( (
(coe1 `  A ) `  y )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) )  e.  K
)
59 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 ... x )  |->  ( ( (coe1 `  A ) `  y )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) )  =  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) )
6058, 59fmptd 5872 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) : ( 0 ... x
) --> K )
611ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( ( 0 ... x
)  \  { (
x  -  D ) } ) )  ->  R  e.  Ring )
623ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( ( 0 ... x
)  \  { (
x  -  D ) } ) )  ->  C  e.  K )
634ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( ( 0 ... x
)  \  { (
x  -  D ) } ) )  ->  D  e.  NN0 )
64 eldifi 3483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( ( 0 ... x )  \  { ( x  -  D ) } )  ->  y  e.  ( 0 ... x ) )
6564, 54syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( ( 0 ... x )  \  { ( x  -  D ) } )  ->  ( x  -  y )  e.  NN0 )
6665adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( ( 0 ... x
)  \  { (
x  -  D ) } ) )  -> 
( x  -  y
)  e.  NN0 )
67 eldifsn 4005 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( ( 0 ... x )  \  { ( x  -  D ) } )  <-> 
( y  e.  ( 0 ... x )  /\  y  =/=  (
x  -  D ) ) )
68 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  x  e.  NN0 )
6968nn0cnd 10643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  x  e.  CC )
7047nn0cnd 10643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( 0 ... x )  ->  y  e.  CC )
7170adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  y  e.  CC )
7269, 71nncand 9729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  ( x  -  ( x  -  y ) )  =  y )
7372eqcomd 2448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  y  =  ( x  -  (
x  -  y ) ) )
74 oveq2 6104 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( D  =  ( x  -  y )  ->  (
x  -  D )  =  ( x  -  ( x  -  y
) ) )
7574eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( D  =  ( x  -  y )  ->  (
y  =  ( x  -  D )  <->  y  =  ( x  -  (
x  -  y ) ) ) )
7673, 75syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  ( D  =  ( x  -  y )  ->  y  =  ( x  -  D ) ) )
7776necon3d 2651 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  ( y  =/=  ( x  -  D
)  ->  D  =/=  ( x  -  y
) ) )
7877impr 619 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  ( y  e.  ( 0 ... x
)  /\  y  =/=  ( x  -  D
) ) )  ->  D  =/=  ( x  -  y ) )
7967, 78sylan2b 475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( ( 0 ... x
)  \  { (
x  -  D ) } ) )  ->  D  =/=  ( x  -  y ) )
8020, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 61, 62, 63, 66, 79coe1tmfv2 17733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( ( 0 ... x
)  \  { (
x  -  D ) } ) )  -> 
( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) )  =  .0.  )
8180oveq2d 6112 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( ( 0 ... x
)  \  { (
x  -  D ) } ) )  -> 
( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) )  =  ( ( (coe1 `  A ) `  y )  .X.  .0.  ) )
825, 15, 20rngrz 16687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
(coe1 `  A ) `  y )  e.  K
)  ->  ( (
(coe1 `  A ) `  y )  .X.  .0.  )  =  .0.  )
8342, 49, 82syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  ( (
(coe1 `  A ) `  y )  .X.  .0.  )  =  .0.  )
8464, 83sylan2 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( ( 0 ... x
)  \  { (
x  -  D ) } ) )  -> 
( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  .0.  )  =  .0.  )
8581, 84eqtrd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( ( 0 ... x
)  \  { (
x  -  D ) } ) )  -> 
( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) )  =  .0.  )
8685, 25suppss2 6728 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( ( y  e.  ( 0 ... x
)  |->  ( ( (coe1 `  A ) `  y
)  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D 
.^  X ) ) ) `  ( x  -  y ) ) ) ) supp  .0.  )  C_ 
{ ( x  -  D ) } )
875, 20, 23, 25, 41, 60, 86gsumpt 16459 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) )  =  ( ( y  e.  ( 0 ... x )  |->  ( ( (coe1 `  A ) `  y )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) `  ( x  -  D
) ) )
88 fveq2 5696 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( x  -  D )  ->  (
(coe1 `  A ) `  y )  =  ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) ) )
89 oveq2 6104 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( x  -  D )  ->  (
x  -  y )  =  ( x  -  ( x  -  D
) ) )
9089fveq2d 5700 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( x  -  D )  ->  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) )  =  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  ( x  -  ( x  -  D ) ) ) )
9188, 90oveq12d 6114 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( x  -  D )  ->  (
( (coe1 `  A ) `  y )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) )  =  ( ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  ( x  -  D ) ) ) ) )
92 ovex 6121 . . . . . . . 8  |-  ( ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  ( x  -  D ) ) ) )  e.  _V
9391, 59, 92fvmpt 5779 . . . . . . 7  |-  ( ( x  -  D )  e.  ( 0 ... x )  ->  (
( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) `  ( x  -  D
) )  =  ( ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  ( x  -  D ) ) ) ) )
9441, 93syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( ( y  e.  ( 0 ... x
)  |->  ( ( (coe1 `  A ) `  y
)  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D 
.^  X ) ) ) `  ( x  -  y ) ) ) ) `  (
x  -  D ) )  =  ( ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  ( x  -  D ) ) ) ) )
9528nn0cnd 10643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  ->  x  e.  CC )
9627nn0cnd 10643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  ->  D  e.  CC )
9795, 96nncand 9729 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( x  -  (
x  -  D ) )  =  D )
9897fveq2d 5700 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  ( x  -  D ) ) )  =  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  D ) )
993adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  ->  C  e.  K )
10020, 5, 6, 7, 8, 9, 10coe1tmfv1 17732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  D  e. 
NN0 )  ->  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  D
)  =  C )
10121, 99, 27, 100syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  D
)  =  C )
10298, 101eqtrd 2475 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  ( x  -  D ) ) )  =  C )
103102oveq2d 6112 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( ( (coe1 `  A
) `  ( x  -  D ) )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  ( x  -  D ) ) ) )  =  ( ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  C
) )
10487, 94, 1033eqtrd 2479 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) )  =  ( ( (coe1 `  A ) `  (
x  -  D ) )  .X.  C )
)
105104anassrs 648 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  D  <_  x )  ->  ( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) )  =  ( ( (coe1 `  A ) `  (
x  -  D ) )  .X.  C )
)
1061ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  R  e.  Ring )
1073ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  C  e.  K )
1084ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  D  e.  NN0 )
10954ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  ( x  -  y )  e. 
NN0 )
11054nn0red 10642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( 0 ... x )  ->  (
x  -  y )  e.  RR )
111110ad2antll 728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  ( x  -  y )  e.  RR )
11233ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  x  e.  RR )
11335ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  D  e.  RR )
11447ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  y  e.  NN0 )
115114nn0ge0d 10644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  0  <_  y )
11647nn0red 10642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( 0 ... x )  ->  y  e.  RR )
117116ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  y  e.  RR )
118112, 117subge02d 9936 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  ( 0  <_  y  <->  ( x  -  y )  <_  x ) )
119115, 118mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  ( x  -  y )  <_  x )
120 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  -.  D  <_  x )
121112, 113ltnled 9526 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  ( x  <  D  <->  -.  D  <_  x ) )
122120, 121mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  x  <  D )
123111, 112, 113, 119, 122lelttrd 9534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  ( x  -  y )  < 
D )
124111, 123gtned 9514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  D  =/=  ( x  -  y
) )
12520, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 106, 107, 108, 109, 124coe1tmfv2 17733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D 
.^  X ) ) ) `  ( x  -  y ) )  =  .0.  )
126125oveq2d 6112 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  ( (
(coe1 `  A ) `  y )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) )  =  ( ( (coe1 `  A ) `  y )  .X.  .0.  ) )
12745ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  (coe1 `  A
) : NN0 --> K )
128127, 114ffvelrnd 5849 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  ( (coe1 `  A ) `  y
)  e.  K )
129106, 128, 82syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  ( (
(coe1 `  A ) `  y )  .X.  .0.  )  =  .0.  )
130126, 129eqtrd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  ( (
(coe1 `  A ) `  y )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) )  =  .0.  )
131130anassrs 648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  D  <_  x )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  ( (
(coe1 `  A ) `  y )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) )  =  .0.  )
132131mpteq2dva 4383 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  D  <_  x )  -> 
( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) )  =  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  .0.  ) )
133132oveq2d 6112 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  D  <_  x )  -> 
( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x )  |->  .0.  )
) )
1341, 22syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Mnd )
13520gsumz 15516 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  ( 0 ... x
)  e.  _V )  ->  ( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  .0.  ) )  =  .0.  )
136134, 24, 135sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  .0.  ) )  =  .0.  )
137136ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  D  <_  x )  -> 
( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  .0.  ) )  =  .0.  )
138133, 137eqtrd 2475 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  D  <_  x )  -> 
( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) )  =  .0.  )
13918, 19, 105, 138ifbothda 3829 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x )  |->  ( ( (coe1 `  A ) `  y )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) )  =  if ( D  <_  x ,  ( ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  C
) ,  .0.  )
)
140139mpteq2dva 4383 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  NN0  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( D  <_  x , 
( ( (coe1 `  A
) `  ( x  -  D ) )  .X.  C ) ,  .0.  ) ) )
14117, 140eqtrd 2475 1  |-  ( ph  ->  (coe1 `  ( A  .xb  ( C  .x.  ( D 
.^  X ) ) ) )  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( D  <_  x , 
( ( (coe1 `  A
) `  ( x  -  D ) )  .X.  C ) ,  .0.  ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   _Vcvv 2977    \ cdif 3330   ifcif 3796   {csn 3882   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   CCcc 9285   RRcr 9286   0cc0 9287    < clt 9423    <_ cle 9424    - cmin 9600   NN0cn0 10584   ...cfz 11442   Basecbs 14179   .rcmulr 14244   .scvsca 14247   0gc0g 14383    gsumg cgsu 14384   Mndcmnd 15414  .gcmg 15419  mulGrpcmgp 16596   Ringcrg 16650  var1cv1 17637  Poly1cpl1 17638  coe1cco1 17639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-ofr 6326  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-oi 7729  df-card 8114  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-seq 11812  df-hash 12109  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-tset 14262  df-ple 14263  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-mnd 15420  df-mhm 15469  df-submnd 15470  df-grp 15550  df-minusg 15551  df-sbg 15552  df-mulg 15553  df-subg 15683  df-ghm 15750  df-cntz 15840  df-cmn 16284  df-abl 16285  df-mgp 16597  df-ur 16609  df-rng 16652  df-subrg 16868  df-lmod 16955  df-lss 17019  df-psr 17428  df-mvr 17429  df-mpl 17430  df-opsr 17432  df-psr1 17641  df-vr1 17642  df-ply1 17643  df-coe1 17644
This theorem is referenced by:  coe1tmmul2fv  17736  coe1sclmul2  17742
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