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Theorem coe1tmmul 18296
Description: Coefficient vector of a polynomial multiplied on the left by a term. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1tm.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
coe1tm.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
coe1tm.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
coe1tm.x  |-  X  =  (var1 `  R )
coe1tm.m  |-  .x.  =  ( .s `  P )
coe1tm.n  |-  N  =  (mulGrp `  P )
coe1tm.e  |-  .^  =  (.g
`  N )
coe1tmmul.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
coe1tmmul.t  |-  .xb  =  ( .r `  P )
coe1tmmul.u  |-  .X.  =  ( .r `  R )
coe1tmmul.a  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
coe1tmmul.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
coe1tmmul.c  |-  ( ph  ->  C  e.  K )
coe1tmmul.d  |-  ( ph  ->  D  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
coe1tmmul  |-  ( ph  ->  (coe1 `  ( ( C 
.x.  ( D  .^  X ) )  .xb  A ) )  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( D  <_  x ,  ( C  .X.  ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) ) ) ,  .0.  ) ) )
Distinct variable groups:    x,  .0.    x, C    x, D    x, K    x,  .^    x, A    x, N    x, P    x, X    ph, x    x, R    x,  .x.    x,  .X.    x,  .xb
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem coe1tmmul
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1tmmul.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
2 coe1tmmul.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  K )
3 coe1tmmul.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  NN0 )
4 coe1tm.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  R
)
5 coe1tm.p . . . . 5  |-  P  =  (Poly1 `  R )
6 coe1tm.x . . . . 5  |-  X  =  (var1 `  R )
7 coe1tm.m . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  P )
8 coe1tm.n . . . . 5  |-  N  =  (mulGrp `  P )
9 coe1tm.e . . . . 5  |-  .^  =  (.g
`  N )
10 coe1tmmul.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  P
)
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10ply1tmcl 18291 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  D  e. 
NN0 )  ->  ( C  .x.  ( D  .^  X ) )  e.  B )
121, 2, 3, 11syl3anc 1229 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  .x.  ( D  .^  X ) )  e.  B )
13 coe1tmmul.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
14 coe1tmmul.t . . . 4  |-  .xb  =  ( .r `  P )
15 coe1tmmul.u . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  R )
165, 14, 15, 10coe1mul 18289 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( C  .x.  ( D  .^  X ) )  e.  B  /\  A  e.  B )  ->  (coe1 `  ( ( C  .x.  ( D  .^  X ) )  .xb  A )
)  =  ( x  e.  NN0  |->  ( R 
gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `
 y )  .X.  ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  y
) ) ) ) ) ) )
171, 12, 13, 16syl3anc 1229 . 2  |-  ( ph  ->  (coe1 `  ( ( C 
.x.  ( D  .^  X ) )  .xb  A ) )  =  ( x  e.  NN0  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `
 y )  .X.  ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  y
) ) ) ) ) ) )
18 eqeq2 2458 . . . 4  |-  ( ( C  .X.  ( (coe1 `  A ) `  (
x  -  D ) ) )  =  if ( D  <_  x ,  ( C  .X.  ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) ) ) ,  .0.  )  ->  (
( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `
 y )  .X.  ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  y
) ) ) ) )  =  ( C 
.X.  ( (coe1 `  A
) `  ( x  -  D ) ) )  <-> 
( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `
 y )  .X.  ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  y
) ) ) ) )  =  if ( D  <_  x , 
( C  .X.  (
(coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) ) ) ,  .0.  ) ) )
19 eqeq2 2458 . . . 4  |-  (  .0.  =  if ( D  <_  x ,  ( C  .X.  ( (coe1 `  A ) `  (
x  -  D ) ) ) ,  .0.  )  ->  ( ( R 
gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `
 y )  .X.  ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  y
) ) ) ) )  =  .0.  <->  ( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x )  |->  ( ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  y
)  .X.  ( (coe1 `  A ) `  (
x  -  y ) ) ) ) )  =  if ( D  <_  x ,  ( C  .X.  ( (coe1 `  A ) `  (
x  -  D ) ) ) ,  .0.  ) ) )
20 coe1tm.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
211ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  D  <_  x )  ->  R  e.  Ring )
22 ringmnd 17185 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
2321, 22syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  D  <_  x )  ->  R  e.  Mnd )
24 ovex 6309 . . . . . . 7  |-  ( 0 ... x )  e. 
_V
2524a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  D  <_  x )  ->  (
0 ... x )  e. 
_V )
263ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  D  <_  x )  ->  D  e.  NN0 )
27 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  D  <_  x )  ->  D  <_  x )
28 fznn0 11780 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  NN0  ->  ( D  e.  ( 0 ... x )  <->  ( D  e.  NN0  /\  D  <_  x ) ) )
2928ad2antlr 726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  D  <_  x )  ->  ( D  e.  ( 0 ... x )  <->  ( D  e.  NN0  /\  D  <_  x ) ) )
3026, 27, 29mpbir2and 922 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  D  <_  x )  ->  D  e.  ( 0 ... x
) )
311ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  y  e.  ( 0 ... x
) )  ->  R  e.  Ring )
32 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) )  =  (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) )
3332, 10, 5, 4coe1f 18228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  .x.  ( D 
.^  X ) )  e.  B  ->  (coe1 `  ( C  .x.  ( D 
.^  X ) ) ) : NN0 --> K )
3412, 33syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) : NN0 --> K )
3534adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN0 )  ->  (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) : NN0 --> K )
36 elfznn0 11781 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( 0 ... x )  ->  y  e.  NN0 )
37 ffvelrn 6014 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) : NN0 --> K  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `
 y )  e.  K )
3835, 36, 37syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  y  e.  ( 0 ... x
) )  ->  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  y
)  e.  K )
39 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (coe1 `  A
)  =  (coe1 `  A
)
4039, 10, 5, 4coe1f 18228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  B  ->  (coe1 `  A ) : NN0 --> K )
4113, 40syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (coe1 `  A ) : NN0 --> K )
4241adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN0 )  ->  (coe1 `  A
) : NN0 --> K )
43 fznn0sub 11726 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( 0 ... x )  ->  (
x  -  y )  e.  NN0 )
44 ffvelrn 6014 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (coe1 `  A ) : NN0 --> K  /\  (
x  -  y )  e.  NN0 )  -> 
( (coe1 `  A ) `  ( x  -  y
) )  e.  K
)
4542, 43, 44syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  y  e.  ( 0 ... x
) )  ->  (
(coe1 `  A ) `  ( x  -  y
) )  e.  K
)
464, 15ringcl 17190 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  y
)  e.  K  /\  ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  y
) )  e.  K
)  ->  ( (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  y
)  .X.  ( (coe1 `  A ) `  (
x  -  y ) ) )  e.  K
)
4731, 38, 45, 46syl3anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  y  e.  ( 0 ... x
) )  ->  (
( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  y
)  .X.  ( (coe1 `  A ) `  (
x  -  y ) ) )  e.  K
)
48 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 ... x )  |->  ( ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  y
)  .X.  ( (coe1 `  A ) `  (
x  -  y ) ) ) )  =  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `
 y )  .X.  ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  y
) ) ) )
4947, 48fmptd 6040 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( y  e.  ( 0 ... x
)  |->  ( ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  y ) 
.X.  ( (coe1 `  A
) `  ( x  -  y ) ) ) ) : ( 0 ... x ) --> K )
5049adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  D  <_  x )  ->  (
y  e.  ( 0 ... x )  |->  ( ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  y
)  .X.  ( (coe1 `  A ) `  (
x  -  y ) ) ) ) : ( 0 ... x
) --> K )
511ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  D  <_  x )  /\  y  e.  ( (
0 ... x )  \  { D } ) )  ->  R  e.  Ring )
522ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  D  <_  x )  /\  y  e.  ( (
0 ... x )  \  { D } ) )  ->  C  e.  K
)
533ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  D  <_  x )  /\  y  e.  ( (
0 ... x )  \  { D } ) )  ->  D  e.  NN0 )
54 eldifi 3611 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( ( 0 ... x )  \  { D } )  -> 
y  e.  ( 0 ... x ) )
5554, 36syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ( 0 ... x )  \  { D } )  -> 
y  e.  NN0 )
5655adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  D  <_  x )  /\  y  e.  ( (
0 ... x )  \  { D } ) )  ->  y  e.  NN0 )
57 eldifsni 4141 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( ( 0 ... x )  \  { D } )  -> 
y  =/=  D )
5857necomd 2714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ( 0 ... x )  \  { D } )  ->  D  =/=  y )
5958adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  D  <_  x )  /\  y  e.  ( (
0 ... x )  \  { D } ) )  ->  D  =/=  y
)
6020, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 51, 52, 53, 56, 59coe1tmfv2 18294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  D  <_  x )  /\  y  e.  ( (
0 ... x )  \  { D } ) )  ->  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `
 y )  =  .0.  )
6160oveq1d 6296 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  D  <_  x )  /\  y  e.  ( (
0 ... x )  \  { D } ) )  ->  ( ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  y ) 
.X.  ( (coe1 `  A
) `  ( x  -  y ) ) )  =  (  .0.  .X.  ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  y
) ) ) )
624, 15, 20ringlz 17213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
(coe1 `  A ) `  ( x  -  y
) )  e.  K
)  ->  (  .0.  .X.  ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  y
) ) )  =  .0.  )
6331, 45, 62syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  y  e.  ( 0 ... x
) )  ->  (  .0.  .X.  ( (coe1 `  A
) `  ( x  -  y ) ) )  =  .0.  )
6454, 63sylan2 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  y  e.  ( ( 0 ... x )  \  { D } ) )  -> 
(  .0.  .X.  (
(coe1 `  A ) `  ( x  -  y
) ) )  =  .0.  )
6564adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  D  <_  x )  /\  y  e.  ( (
0 ... x )  \  { D } ) )  ->  (  .0.  .X.  ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  y
) ) )  =  .0.  )
6661, 65eqtrd 2484 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  D  <_  x )  /\  y  e.  ( (
0 ... x )  \  { D } ) )  ->  ( ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  y ) 
.X.  ( (coe1 `  A
) `  ( x  -  y ) ) )  =  .0.  )
6766, 25suppss2 6936 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  D  <_  x )  ->  (
( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `
 y )  .X.  ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  y
) ) ) ) supp 
.0.  )  C_  { D } )
684, 20, 23, 25, 30, 50, 67gsumpt 16966 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  D  <_  x )  ->  ( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `
 y )  .X.  ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  y
) ) ) ) )  =  ( ( y  e.  ( 0 ... x )  |->  ( ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  y
)  .X.  ( (coe1 `  A ) `  (
x  -  y ) ) ) ) `  D ) )
69 fveq2 5856 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  D  ->  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  y
)  =  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  D ) )
70 oveq2 6289 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  D  ->  (
x  -  y )  =  ( x  -  D ) )
7170fveq2d 5860 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  D  ->  (
(coe1 `  A ) `  ( x  -  y
) )  =  ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) ) )
7269, 71oveq12d 6299 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  D  ->  (
( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  y
)  .X.  ( (coe1 `  A ) `  (
x  -  y ) ) )  =  ( ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  D
)  .X.  ( (coe1 `  A ) `  (
x  -  D ) ) ) )
73 ovex 6309 . . . . . . . 8  |-  ( ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  D
)  .X.  ( (coe1 `  A ) `  (
x  -  D ) ) )  e.  _V
7472, 48, 73fvmpt 5941 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( 0 ... x )  ->  (
( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `
 y )  .X.  ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  y
) ) ) ) `
 D )  =  ( ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `
 D )  .X.  ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) ) ) )
7530, 74syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  D  <_  x )  ->  (
( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `
 y )  .X.  ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  y
) ) ) ) `
 D )  =  ( ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `
 D )  .X.  ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) ) ) )
7620, 4, 5, 6, 7, 8, 9coe1tmfv1 18293 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  D  e. 
NN0 )  ->  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  D
)  =  C )
771, 2, 3, 76syl3anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  D
)  =  C )
7877ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  D  <_  x )  ->  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  D
)  =  C )
7978oveq1d 6296 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  D  <_  x )  ->  (
( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  D
)  .X.  ( (coe1 `  A ) `  (
x  -  D ) ) )  =  ( C  .X.  ( (coe1 `  A ) `  (
x  -  D ) ) ) )
8075, 79eqtrd 2484 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  D  <_  x )  ->  (
( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `
 y )  .X.  ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  y
) ) ) ) `
 D )  =  ( C  .X.  (
(coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) ) ) )
8168, 80eqtrd 2484 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  D  <_  x )  ->  ( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `
 y )  .X.  ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  y
) ) ) ) )  =  ( C 
.X.  ( (coe1 `  A
) `  ( x  -  D ) ) ) )
821ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  D  <_  x )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  R  e.  Ring )
832ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  D  <_  x )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  C  e.  K )
843ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  D  <_  x )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  D  e.  NN0 )
8536adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  D  <_  x )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  y  e.  NN0 )
86 elfzle2 11700 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( 0 ... x )  ->  y  <_  x )
8786adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  y  e.  ( 0 ... x
) )  ->  y  <_  x )
88 breq1 4440 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  =  y  ->  ( D  <_  x  <->  y  <_  x ) )
8987, 88syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  y  e.  ( 0 ... x
) )  ->  ( D  =  y  ->  D  <_  x ) )
9089necon3bd 2655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  y  e.  ( 0 ... x
) )  ->  ( -.  D  <_  x  ->  D  =/=  y ) )
9190imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  /\  -.  D  <_  x )  ->  D  =/=  y )
9291an32s 804 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  D  <_  x )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  D  =/=  y )
9320, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 82, 83, 84, 85, 92coe1tmfv2 18294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  D  <_  x )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D 
.^  X ) ) ) `  y )  =  .0.  )
9493oveq1d 6296 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  D  <_  x )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  ( (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  y
)  .X.  ( (coe1 `  A ) `  (
x  -  y ) ) )  =  (  .0.  .X.  ( (coe1 `  A ) `  (
x  -  y ) ) ) )
9563adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  D  <_  x )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  (  .0.  .X.  ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  y
) ) )  =  .0.  )
9694, 95eqtrd 2484 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  D  <_  x )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  ( (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  y
)  .X.  ( (coe1 `  A ) `  (
x  -  y ) ) )  =  .0.  )
9796mpteq2dva 4523 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  D  <_  x )  -> 
( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `
 y )  .X.  ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  y
) ) ) )  =  ( y  e.  ( 0 ... x
)  |->  .0.  ) )
9897oveq2d 6297 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  D  <_  x )  -> 
( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `
 y )  .X.  ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  y
) ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  .0.  ) ) )
991, 22syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Mnd )
10099ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  D  <_  x )  ->  R  e.  Mnd )
10124a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  D  <_  x )  -> 
( 0 ... x
)  e.  _V )
10220gsumz 15983 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  ( 0 ... x
)  e.  _V )  ->  ( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  .0.  ) )  =  .0.  )
103100, 101, 102syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  D  <_  x )  -> 
( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  .0.  ) )  =  .0.  )
10498, 103eqtrd 2484 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  D  <_  x )  -> 
( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `
 y )  .X.  ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  y
) ) ) ) )  =  .0.  )
10518, 19, 81, 104ifbothda 3961 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x )  |->  ( ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  y
)  .X.  ( (coe1 `  A ) `  (
x  -  y ) ) ) ) )  =  if ( D  <_  x ,  ( C  .X.  ( (coe1 `  A ) `  (
x  -  D ) ) ) ,  .0.  ) )
106105mpteq2dva 4523 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  NN0  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `
 y )  .X.  ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  y
) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( D  <_  x , 
( C  .X.  (
(coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) ) ) ,  .0.  ) ) )
10717, 106eqtrd 2484 1  |-  ( ph  ->  (coe1 `  ( ( C 
.x.  ( D  .^  X ) )  .xb  A ) )  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( D  <_  x ,  ( C  .X.  ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) ) ) ,  .0.  ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   _Vcvv 3095    \ cdif 3458   ifcif 3926   {csn 4014   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   0cc0 9495    <_ cle 9632    - cmin 9810   NN0cn0 10802   ...cfz 11682   Basecbs 14613   .rcmulr 14679   .scvsca 14682   0gc0g 14818    gsumg cgsu 14819   Mndcmnd 15897  .gcmg 16034  mulGrpcmgp 17119   Ringcrg 17176  var1cv1 18193  Poly1cpl1 18194  coe1cco1 18195
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-ofr 6526  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11092  df-fz 11683  df-fzo 11806  df-seq 12089  df-hash 12387  df-struct 14615  df-ndx 14616  df-slot 14617  df-base 14618  df-sets 14619  df-ress 14620  df-plusg 14691  df-mulr 14692  df-sca 14694  df-vsca 14695  df-tset 14697  df-ple 14698  df-0g 14820  df-gsum 14821  df-mre 14964  df-mrc 14965  df-acs 14967  df-mgm 15850  df-sgrp 15889  df-mnd 15899  df-mhm 15944  df-submnd 15945  df-grp 16035  df-minusg 16036  df-sbg 16037  df-mulg 16038  df-subg 16176  df-ghm 16243  df-cntz 16333  df-cmn 16778  df-abl 16779  df-mgp 17120  df-ur 17132  df-ring 17178  df-subrg 17405  df-lmod 17492  df-lss 17557  df-psr 17983  df-mvr 17984  df-mpl 17985  df-opsr 17987  df-psr1 18197  df-vr1 18198  df-ply1 18199  df-coe1 18200
This theorem is referenced by:  coe1pwmul  18298  coe1sclmul  18301
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