Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1subfv Structured version   Unicode version

Theorem coe1subfv 18181
 Description: A particular coefficient of a subtraction. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1sub.y Poly1
coe1sub.b
coe1sub.p
coe1sub.q
Assertion
Ref Expression
coe1subfv coe1 coe1coe1

Proof of Theorem coe1subfv
StepHypRef Expression
1 simpl1 1000 . . . . 5
2 coe1sub.y . . . . . . . . 9 Poly1
32ply1ring 18163 . . . . . . . 8
4 ringgrp 17077 . . . . . . . 8
53, 4syl 16 . . . . . . 7
6 coe1sub.b . . . . . . . 8
7 coe1sub.p . . . . . . . 8
86, 7grpsubcl 15992 . . . . . . 7
95, 8syl3an1 1262 . . . . . 6
109adantr 465 . . . . 5
11 simpl3 1002 . . . . 5
12 simpr 461 . . . . 5
13 eqid 2443 . . . . . 6
14 eqid 2443 . . . . . 6
152, 6, 13, 14coe1addfv 18180 . . . . 5 coe1 coe1 coe1
161, 10, 11, 12, 15syl31anc 1232 . . . 4 coe1 coe1 coe1
1753ad2ant1 1018 . . . . . . . 8
1817adantr 465 . . . . . . 7
19 simpl2 1001 . . . . . . 7
206, 13, 7grpnpcan 16004 . . . . . . 7
2118, 19, 11, 20syl3anc 1229 . . . . . 6
2221fveq2d 5860 . . . . 5 coe1 coe1
2322fveq1d 5858 . . . 4 coe1 coe1
2416, 23eqtr3d 2486 . . 3 coe1 coe1 coe1
25 ringgrp 17077 . . . . . 6
26253ad2ant1 1018 . . . . 5
2726adantr 465 . . . 4
28 eqid 2443 . . . . . . 7 coe1 coe1
29 eqid 2443 . . . . . . 7
3028, 6, 2, 29coe1f 18124 . . . . . 6 coe1
31303ad2ant2 1019 . . . . 5 coe1
3231ffvelrnda 6016 . . . 4 coe1
33 eqid 2443 . . . . . . 7 coe1 coe1
3433, 6, 2, 29coe1f 18124 . . . . . 6 coe1
35343ad2ant3 1020 . . . . 5 coe1
3635ffvelrnda 6016 . . . 4 coe1
37 eqid 2443 . . . . . . 7 coe1 coe1
3837, 6, 2, 29coe1f 18124 . . . . . 6 coe1
399, 38syl 16 . . . . 5 coe1
4039ffvelrnda 6016 . . . 4 coe1
41 coe1sub.q . . . . 5
4229, 14, 41grpsubadd 16000 . . . 4 coe1 coe1 coe1 coe1coe1 coe1 coe1 coe1 coe1
4327, 32, 36, 40, 42syl13anc 1231 . . 3 coe1coe1 coe1 coe1 coe1 coe1
4424, 43mpbird 232 . 2 coe1coe1 coe1
4544eqcomd 2451 1 coe1 coe1coe1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 974   wceq 1383   wcel 1804  wf 5574  cfv 5578  (class class class)co 6281  cn0 10801  cbs 14509   cplusg 14574  cgrp 15927  csg 15929  crg 17072  Poly1cpl1 18090  coe1cco1 18091 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-ofr 6526  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-seq 12087  df-hash 12385  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-sca 14590  df-vsca 14591  df-tset 14593  df-ple 14594  df-0g 14716  df-gsum 14717  df-mre 14860  df-mrc 14861  df-acs 14863  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15840  df-submnd 15841  df-grp 15931  df-minusg 15932  df-sbg 15933  df-mulg 15934  df-subg 16072  df-ghm 16139  df-cntz 16229  df-cmn 16674  df-abl 16675  df-mgp 17016  df-ur 17028  df-ring 17074  df-subrg 17301  df-psr 17879  df-mpl 17881  df-opsr 17883  df-psr1 18093  df-ply1 18095  df-coe1 18096 This theorem is referenced by:  deg1sublt  22384  ply1remlem  22436
 Copyright terms: Public domain W3C validator