MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1sfiOLD Structured version   Unicode version

Theorem coe1sfiOLD 17667
Description: Finite support of univariate polynomial coefficient vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) Obsolete version of coe1sfi 17666 as of 19-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1sfi.a  |-  A  =  (coe1 `  F )
coe1sfi.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
coe1sfi.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
coe1sfi.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
coe1sfiOLD  |-  ( F  e.  B  ->  ( `' A " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )

Proof of Theorem coe1sfiOLD
Dummy variables  y  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1sfi.a . . . . 5  |-  A  =  (coe1 `  F )
2 coe1sfi.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  P
)
3 coe1sfi.p . . . . 5  |-  P  =  (Poly1 `  R )
4 df1o2 6930 . . . . . 6  |-  1o  =  { (/) }
5 nn0ex 10583 . . . . . 6  |-  NN0  e.  _V
6 0ex 4420 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
7 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `
 (/) ) )  =  ( x  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( x `  (/) ) )
84, 5, 6, 7mapsncnv 7257 . . . . 5  |-  `' ( x  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) )  =  ( y  e. 
NN0  |->  ( 1o  X.  { y } ) )
91, 2, 3, 8coe1fval2 17664 . . . 4  |-  ( F  e.  B  ->  A  =  ( F  o.  `' ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) ) ) )
109cnveqd 5013 . . 3  |-  ( F  e.  B  ->  `' A  =  `' ( F  o.  `' (
x  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) ) ) )
1110imaeq1d 5166 . 2  |-  ( F  e.  B  ->  ( `' A " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  =  ( `' ( F  o.  `' ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) ) ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )
12 eqid 2441 . . . 4  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
13 eqid 2441 . . . 4  |-  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
)  =  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
)
14 coe1sfi.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
153, 2ply1bascl2 17658 . . . 4  |-  ( F  e.  B  ->  F  e.  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) ) )
163, 2elbasfv 14219 . . . 4  |-  ( F  e.  B  ->  R  e.  _V )
1712, 13, 14, 15, 16mplelsfiOLD 17571 . . 3  |-  ( F  e.  B  ->  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
184, 5, 6, 7mapsnf1o2 7258 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `
 (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o )
-1-1-onto-> NN0
19 f1ocnv 5651 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o ) -1-1-onto-> NN0  ->  `' (
x  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) ) : NN0 -1-1-onto-> ( NN0  ^m  1o ) )
20 f1of1 5638 . . . . 5  |-  ( `' ( x  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( x `  (/) ) ) : NN0 -1-1-onto-> ( NN0  ^m  1o )  ->  `' ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `
 (/) ) ) : NN0 -1-1-> ( NN0  ^m  1o ) )
2118, 19, 20mp2b 10 . . . 4  |-  `' ( x  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) ) : NN0 -1-1-> ( NN0 
^m  1o )
2221a1i 11 . . 3  |-  ( F  e.  B  ->  `' ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) ) : NN0 -1-1-> ( NN0 
^m  1o ) )
2317, 22fsuppcolem 7648 . 2  |-  ( F  e.  B  ->  ( `' ( F  o.  `' ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) ) ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
2411, 23eqeltrd 2515 1  |-  ( F  e.  B  ->  ( `' A " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2970    \ cdif 3323   (/)c0 3635   {csn 3875    e. cmpt 4348   `'ccnv 4837   "cima 4841    o. ccom 4842   -1-1->wf1 5413   -1-1-onto->wf1o 5415   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   1oc1o 6911    ^m cmap 7212   Fincfn 7308   NN0cn0 10577   Basecbs 14172   0gc0g 14376   mPoly cmpl 17418  Poly1cpl1 17631  coe1cco1 17632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-of 6318  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-supp 6689  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-oadd 6922  df-er 7099  df-map 7214  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-fsupp 7619  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-4 10380  df-5 10381  df-6 10382  df-7 10383  df-8 10384  df-9 10385  df-10 10386  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-fz 11436  df-struct 14174  df-ndx 14175  df-slot 14176  df-base 14177  df-sets 14178  df-ress 14179  df-plusg 14249  df-mulr 14250  df-sca 14252  df-vsca 14253  df-tset 14255  df-ple 14256  df-psr 17421  df-mpl 17423  df-opsr 17425  df-psr1 17634  df-ply1 17636  df-coe1 17637
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator