MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1sfi Structured version   Unicode version

Theorem coe1sfi 18120
Description: Finite support of univariate polynomial coefficient vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by AV, 19-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1sfi.a  |-  A  =  (coe1 `  F )
coe1sfi.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
coe1sfi.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
coe1sfi.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
coe1sfi  |-  ( F  e.  B  ->  A finSupp  .0.  )

Proof of Theorem coe1sfi
Dummy variables  y  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1sfi.a . . 3  |-  A  =  (coe1 `  F )
2 coe1sfi.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  P
)
3 coe1sfi.p . . 3  |-  P  =  (Poly1 `  R )
4 df1o2 7154 . . . 4  |-  1o  =  { (/) }
5 nn0ex 10813 . . . 4  |-  NN0  e.  _V
6 0ex 4583 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
7 eqid 2467 . . . 4  |-  ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `
 (/) ) )  =  ( x  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( x `  (/) ) )
84, 5, 6, 7mapsncnv 7477 . . 3  |-  `' ( x  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) )  =  ( y  e. 
NN0  |->  ( 1o  X.  { y } ) )
91, 2, 3, 8coe1fval2 18117 . 2  |-  ( F  e.  B  ->  A  =  ( F  o.  `' ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) ) ) )
10 eqid 2467 . . . 4  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
11 eqid 2467 . . . 4  |-  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
)  =  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
)
12 coe1sfi.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
133, 2ply1bascl2 18111 . . . 4  |-  ( F  e.  B  ->  F  e.  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) ) )
143, 2elbasfv 14553 . . . 4  |-  ( F  e.  B  ->  R  e.  _V )
1510, 11, 12, 13, 14mplelsfi 18023 . . 3  |-  ( F  e.  B  ->  F finSupp  .0.  )
164, 5, 6, 7mapsnf1o2 7478 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `
 (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o )
-1-1-onto-> NN0
17 f1ocnv 5834 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o ) -1-1-onto-> NN0  ->  `' (
x  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) ) : NN0 -1-1-onto-> ( NN0  ^m  1o ) )
18 f1of1 5821 . . . . 5  |-  ( `' ( x  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( x `  (/) ) ) : NN0 -1-1-onto-> ( NN0  ^m  1o )  ->  `' ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `
 (/) ) ) : NN0 -1-1-> ( NN0  ^m  1o ) )
1916, 17, 18mp2b 10 . . . 4  |-  `' ( x  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) ) : NN0 -1-1-> ( NN0 
^m  1o )
2019a1i 11 . . 3  |-  ( F  e.  B  ->  `' ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) ) : NN0 -1-1-> ( NN0 
^m  1o ) )
21 fvex 5882 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
2212, 21eqeltri 2551 . . . 4  |-  .0.  e.  _V
2322a1i 11 . . 3  |-  ( F  e.  B  ->  .0.  e.  _V )
24 id 22 . . 3  |-  ( F  e.  B  ->  F  e.  B )
2515, 20, 23, 24fsuppco 7873 . 2  |-  ( F  e.  B  ->  ( F  o.  `' (
x  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) ) ) finSupp  .0.  )
269, 25eqbrtrd 4473 1  |-  ( F  e.  B  ->  A finSupp  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3118   (/)c0 3790   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511   `'ccnv 5004    o. ccom 5009   -1-1->wf1 5591   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   1oc1o 7135    ^m cmap 7432   finSupp cfsupp 7841   NN0cn0 10807   Basecbs 14506   0gc0g 14711   mPoly cmpl 17870  Poly1cpl1 18084  coe1cco1 18085
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-struct 14508  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-ress 14513  df-plusg 14584  df-mulr 14585  df-sca 14587  df-vsca 14588  df-tset 14590  df-ple 14591  df-psr 17873  df-mpl 17875  df-opsr 17877  df-psr1 18087  df-ply1 18089  df-coe1 18090
This theorem is referenced by:  coe1fsupp  18122  mptcoe1fsupp  18123  ply1coefsupp  18204  ply1coeOLD  18206  mptcoe1matfsupp  19170  mp2pm2mplem4  19177  plypf1  22475
  Copyright terms: Public domain W3C validator