MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1sfi Structured version   Unicode version

Theorem coe1sfi 17680
Description: Finite support of univariate polynomial coefficient vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by AV, 19-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1sfi.a  |-  A  =  (coe1 `  F )
coe1sfi.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
coe1sfi.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
coe1sfi.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
coe1sfi  |-  ( F  e.  B  ->  A finSupp  .0.  )

Proof of Theorem coe1sfi
Dummy variables  y  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1sfi.a . . 3  |-  A  =  (coe1 `  F )
2 coe1sfi.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  P
)
3 coe1sfi.p . . 3  |-  P  =  (Poly1 `  R )
4 df1o2 6944 . . . 4  |-  1o  =  { (/) }
5 nn0ex 10597 . . . 4  |-  NN0  e.  _V
6 0ex 4434 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
7 eqid 2443 . . . 4  |-  ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `
 (/) ) )  =  ( x  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( x `  (/) ) )
84, 5, 6, 7mapsncnv 7271 . . 3  |-  `' ( x  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) )  =  ( y  e. 
NN0  |->  ( 1o  X.  { y } ) )
91, 2, 3, 8coe1fval2 17678 . 2  |-  ( F  e.  B  ->  A  =  ( F  o.  `' ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) ) ) )
10 eqid 2443 . . . 4  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
11 eqid 2443 . . . 4  |-  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
)  =  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
)
12 coe1sfi.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
133, 2ply1bascl2 17672 . . . 4  |-  ( F  e.  B  ->  F  e.  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) ) )
143, 2elbasfv 14233 . . . 4  |-  ( F  e.  B  ->  R  e.  _V )
1510, 11, 12, 13, 14mplelsfi 17584 . . 3  |-  ( F  e.  B  ->  F finSupp  .0.  )
164, 5, 6, 7mapsnf1o2 7272 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `
 (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o )
-1-1-onto-> NN0
17 f1ocnv 5665 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o ) -1-1-onto-> NN0  ->  `' (
x  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) ) : NN0 -1-1-onto-> ( NN0  ^m  1o ) )
18 f1of1 5652 . . . . 5  |-  ( `' ( x  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( x `  (/) ) ) : NN0 -1-1-onto-> ( NN0  ^m  1o )  ->  `' ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `
 (/) ) ) : NN0 -1-1-> ( NN0  ^m  1o ) )
1916, 17, 18mp2b 10 . . . 4  |-  `' ( x  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) ) : NN0 -1-1-> ( NN0 
^m  1o )
2019a1i 11 . . 3  |-  ( F  e.  B  ->  `' ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) ) : NN0 -1-1-> ( NN0 
^m  1o ) )
21 fvex 5713 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
2212, 21eqeltri 2513 . . . 4  |-  .0.  e.  _V
2322a1i 11 . . 3  |-  ( F  e.  B  ->  .0.  e.  _V )
24 id 22 . . 3  |-  ( F  e.  B  ->  F  e.  B )
2515, 20, 23, 24fsuppco 7663 . 2  |-  ( F  e.  B  ->  ( F  o.  `' (
x  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) ) ) finSupp  .0.  )
269, 25eqbrtrd 4324 1  |-  ( F  e.  B  ->  A finSupp  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2984   (/)c0 3649   class class class wbr 4304    e. cmpt 4362   `'ccnv 4851    o. ccom 4856   -1-1->wf1 5427   -1-1-onto->wf1o 5429   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   1oc1o 6925    ^m cmap 7226   finSupp cfsupp 7632   NN0cn0 10591   Basecbs 14186   0gc0g 14390   mPoly cmpl 17432  Poly1cpl1 17645  coe1cco1 17646
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-of 6332  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-supp 6703  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-fsupp 7633  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-7 10397  df-8 10398  df-9 10399  df-10 10400  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-fz 11450  df-struct 14188  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-sca 14266  df-vsca 14267  df-tset 14269  df-ple 14270  df-psr 17435  df-mpl 17437  df-opsr 17439  df-psr1 17648  df-ply1 17650  df-coe1 17651
This theorem is referenced by:  ply1coefsupp  17757  ply1coeOLD  17759  plypf1  21692  coe1fsupp  30843  mptcoe1fsupp  30845  mptcoe1matfsupp  30903  pmatcollpw1lem4  30914  mp2pm2mplem4  30931
  Copyright terms: Public domain W3C validator