MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1sclmulfv Structured version   Unicode version

Theorem coe1sclmulfv 18171
Description: A single coefficient of a polynomial multiplied on the left by a scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1sclmul.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
coe1sclmul.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
coe1sclmul.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
coe1sclmul.a  |-  A  =  (algSc `  P )
coe1sclmul.t  |-  .xb  =  ( .r `  P )
coe1sclmul.u  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
coe1sclmulfv  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  .0.  e.  NN0 )  ->  ( (coe1 `  ( ( A `
 X )  .xb  Y ) ) `  .0.  )  =  ( X  .x.  ( (coe1 `  Y
) `  .0.  )
) )

Proof of Theorem coe1sclmulfv
StepHypRef Expression
1 coe1sclmul.p . . . . . 6  |-  P  =  (Poly1 `  R )
2 coe1sclmul.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  P
)
3 coe1sclmul.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Base `  R
)
4 coe1sclmul.a . . . . . 6  |-  A  =  (algSc `  P )
5 coe1sclmul.t . . . . . 6  |-  .xb  =  ( .r `  P )
6 coe1sclmul.u . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  R )
71, 2, 3, 4, 5, 6coe1sclmul 18170 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  (coe1 `  ( ( A `  X )  .xb  Y
) )  =  ( ( NN0  X.  { X } )  oF  .x.  (coe1 `  Y ) ) )
873expb 1197 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )
)  ->  (coe1 `  (
( A `  X
)  .xb  Y )
)  =  ( ( NN0  X.  { X } )  oF  .x.  (coe1 `  Y ) ) )
983adant3 1016 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  .0.  e.  NN0 )  ->  (coe1 `  ( ( A `
 X )  .xb  Y ) )  =  ( ( NN0  X.  { X } )  oF  .x.  (coe1 `  Y
) ) )
109fveq1d 5873 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  .0.  e.  NN0 )  ->  ( (coe1 `  ( ( A `
 X )  .xb  Y ) ) `  .0.  )  =  (
( ( NN0  X.  { X } )  oF  .x.  (coe1 `  Y
) ) `  .0.  ) )
11 simp3 998 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  .0.  e.  NN0 )  ->  .0.  e.  NN0 )
12 nn0ex 10811 . . . . 5  |-  NN0  e.  _V
1312a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  .0.  e.  NN0 )  ->  NN0  e.  _V )
14 simp2l 1022 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  .0.  e.  NN0 )  ->  X  e.  K )
15 simp2r 1023 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  .0.  e.  NN0 )  ->  Y  e.  B )
16 eqid 2467 . . . . . 6  |-  (coe1 `  Y
)  =  (coe1 `  Y
)
17 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
1816, 2, 1, 17coe1f 18097 . . . . 5  |-  ( Y  e.  B  ->  (coe1 `  Y ) : NN0 --> (
Base `  R )
)
19 ffn 5736 . . . . 5  |-  ( (coe1 `  Y ) : NN0 --> (
Base `  R )  ->  (coe1 `  Y )  Fn 
NN0 )
2015, 18, 193syl 20 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  .0.  e.  NN0 )  ->  (coe1 `  Y )  Fn 
NN0 )
21 eqidd 2468 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B
)  /\  .0.  e.  NN0 )  /\  .0.  e.  NN0 )  ->  ( (coe1 `  Y ) `  .0.  )  =  ( (coe1 `  Y ) `  .0.  ) )
2213, 14, 20, 21ofc1 6557 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B
)  /\  .0.  e.  NN0 )  /\  .0.  e.  NN0 )  ->  ( (
( NN0  X.  { X } )  oF  .x.  (coe1 `  Y ) ) `
 .0.  )  =  ( X  .x.  (
(coe1 `  Y ) `  .0.  ) ) )
2311, 22mpdan 668 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  .0.  e.  NN0 )  ->  ( ( ( NN0 
X.  { X }
)  oF  .x.  (coe1 `  Y ) ) `  .0.  )  =  ( X  .x.  ( (coe1 `  Y
) `  .0.  )
) )
2410, 23eqtrd 2508 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  .0.  e.  NN0 )  ->  ( (coe1 `  ( ( A `
 X )  .xb  Y ) ) `  .0.  )  =  ( X  .x.  ( (coe1 `  Y
) `  .0.  )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3118   {csn 4032    X. cxp 5002    Fn wfn 5588   -->wf 5589   ` cfv 5593  (class class class)co 6294    oFcof 6532   NN0cn0 10805   Basecbs 14502   .rcmulr 14568   Ringcrg 17047  algSccascl 17807  Poly1cpl1 18063  coe1cco1 18064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-inf2 8068  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-iin 4333  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-of 6534  df-ofr 6535  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-supp 6912  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-2o 7141  df-oadd 7144  df-er 7321  df-map 7432  df-pm 7433  df-ixp 7480  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-fsupp 7840  df-oi 7945  df-card 8330  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-nn 10547  df-2 10604  df-3 10605  df-4 10606  df-5 10607  df-6 10608  df-7 10609  df-8 10610  df-9 10611  df-10 10612  df-n0 10806  df-z 10875  df-uz 11093  df-fz 11683  df-fzo 11803  df-seq 12086  df-hash 12384  df-struct 14504  df-ndx 14505  df-slot 14506  df-base 14507  df-sets 14508  df-ress 14509  df-plusg 14580  df-mulr 14581  df-sca 14583  df-vsca 14584  df-tset 14586  df-ple 14587  df-0g 14709  df-gsum 14710  df-mre 14853  df-mrc 14854  df-acs 14856  df-mgm 15741  df-sgrp 15764  df-mnd 15774  df-mhm 15819  df-submnd 15820  df-grp 15906  df-minusg 15907  df-sbg 15908  df-mulg 15909  df-subg 16047  df-ghm 16114  df-cntz 16204  df-cmn 16650  df-abl 16651  df-mgp 16991  df-ur 17003  df-ring 17049  df-subrg 17275  df-lmod 17362  df-lss 17427  df-ascl 17810  df-psr 17852  df-mvr 17853  df-mpl 17854  df-opsr 17856  df-psr1 18066  df-vr1 18067  df-ply1 18068  df-coe1 18069
This theorem is referenced by:  deg1mul3le  22362  hbtlem2  30969  coe1sclmulval  32359
  Copyright terms: Public domain W3C validator