MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1sclmulfv Structured version   Unicode version

Theorem coe1sclmulfv 17735
Description: A single coefficient of a polynomial multiplied on the left by a scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1sclmul.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
coe1sclmul.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
coe1sclmul.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
coe1sclmul.a  |-  A  =  (algSc `  P )
coe1sclmul.t  |-  .xb  =  ( .r `  P )
coe1sclmul.u  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
coe1sclmulfv  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  .0.  e.  NN0 )  ->  ( (coe1 `  ( ( A `
 X )  .xb  Y ) ) `  .0.  )  =  ( X  .x.  ( (coe1 `  Y
) `  .0.  )
) )

Proof of Theorem coe1sclmulfv
StepHypRef Expression
1 coe1sclmul.p . . . . . 6  |-  P  =  (Poly1 `  R )
2 coe1sclmul.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  P
)
3 coe1sclmul.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Base `  R
)
4 coe1sclmul.a . . . . . 6  |-  A  =  (algSc `  P )
5 coe1sclmul.t . . . . . 6  |-  .xb  =  ( .r `  P )
6 coe1sclmul.u . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  R )
71, 2, 3, 4, 5, 6coe1sclmul 17734 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  (coe1 `  ( ( A `  X )  .xb  Y
) )  =  ( ( NN0  X.  { X } )  oF  .x.  (coe1 `  Y ) ) )
873expb 1188 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )
)  ->  (coe1 `  (
( A `  X
)  .xb  Y )
)  =  ( ( NN0  X.  { X } )  oF  .x.  (coe1 `  Y ) ) )
983adant3 1008 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  .0.  e.  NN0 )  ->  (coe1 `  ( ( A `
 X )  .xb  Y ) )  =  ( ( NN0  X.  { X } )  oF  .x.  (coe1 `  Y
) ) )
109fveq1d 5692 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  .0.  e.  NN0 )  ->  ( (coe1 `  ( ( A `
 X )  .xb  Y ) ) `  .0.  )  =  (
( ( NN0  X.  { X } )  oF  .x.  (coe1 `  Y
) ) `  .0.  ) )
11 simp3 990 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  .0.  e.  NN0 )  ->  .0.  e.  NN0 )
12 nn0ex 10584 . . . . 5  |-  NN0  e.  _V
1312a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  .0.  e.  NN0 )  ->  NN0  e.  _V )
14 simp2l 1014 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  .0.  e.  NN0 )  ->  X  e.  K )
15 simp2r 1015 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  .0.  e.  NN0 )  ->  Y  e.  B )
16 eqid 2442 . . . . . 6  |-  (coe1 `  Y
)  =  (coe1 `  Y
)
17 eqid 2442 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
1816, 2, 1, 17coe1f 17666 . . . . 5  |-  ( Y  e.  B  ->  (coe1 `  Y ) : NN0 --> (
Base `  R )
)
19 ffn 5558 . . . . 5  |-  ( (coe1 `  Y ) : NN0 --> (
Base `  R )  ->  (coe1 `  Y )  Fn 
NN0 )
2015, 18, 193syl 20 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  .0.  e.  NN0 )  ->  (coe1 `  Y )  Fn 
NN0 )
21 eqidd 2443 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B
)  /\  .0.  e.  NN0 )  /\  .0.  e.  NN0 )  ->  ( (coe1 `  Y ) `  .0.  )  =  ( (coe1 `  Y ) `  .0.  ) )
2213, 14, 20, 21ofc1 6342 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B
)  /\  .0.  e.  NN0 )  /\  .0.  e.  NN0 )  ->  ( (
( NN0  X.  { X } )  oF  .x.  (coe1 `  Y ) ) `
 .0.  )  =  ( X  .x.  (
(coe1 `  Y ) `  .0.  ) ) )
2311, 22mpdan 668 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  .0.  e.  NN0 )  ->  ( ( ( NN0 
X.  { X }
)  oF  .x.  (coe1 `  Y ) ) `  .0.  )  =  ( X  .x.  ( (coe1 `  Y
) `  .0.  )
) )
2410, 23eqtrd 2474 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  .0.  e.  NN0 )  ->  ( (coe1 `  ( ( A `
 X )  .xb  Y ) ) `  .0.  )  =  ( X  .x.  ( (coe1 `  Y
) `  .0.  )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2971   {csn 3876    X. cxp 4837    Fn wfn 5412   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6090    oFcof 6317   NN0cn0 10578   Basecbs 14173   .rcmulr 14238   Ringcrg 16644  algSccascl 17382  Poly1cpl1 17632  coe1cco1 17633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-inf2 7846  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-iin 4173  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-se 4679  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-ofr 6320  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-2o 6920  df-oadd 6923  df-er 7100  df-map 7215  df-pm 7216  df-ixp 7263  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-fsupp 7620  df-oi 7723  df-card 8108  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-4 10381  df-5 10382  df-6 10383  df-7 10384  df-8 10385  df-9 10386  df-10 10387  df-n0 10579  df-z 10646  df-uz 10861  df-fz 11437  df-fzo 11548  df-seq 11806  df-hash 12103  df-struct 14175  df-ndx 14176  df-slot 14177  df-base 14178  df-sets 14179  df-ress 14180  df-plusg 14250  df-mulr 14251  df-sca 14253  df-vsca 14254  df-tset 14256  df-ple 14257  df-0g 14379  df-gsum 14380  df-mre 14523  df-mrc 14524  df-acs 14526  df-mnd 15414  df-mhm 15463  df-submnd 15464  df-grp 15544  df-minusg 15545  df-sbg 15546  df-mulg 15547  df-subg 15677  df-ghm 15744  df-cntz 15834  df-cmn 16278  df-abl 16279  df-mgp 16591  df-ur 16603  df-rng 16646  df-subrg 16862  df-lmod 16949  df-lss 17013  df-ascl 17385  df-psr 17422  df-mvr 17423  df-mpl 17424  df-opsr 17426  df-psr1 17635  df-vr1 17636  df-ply1 17637  df-coe1 17638
This theorem is referenced by:  deg1mul3le  21587  hbtlem2  29478  coe1sclmulval  30837
  Copyright terms: Public domain W3C validator