MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1sclmulfv Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem coe1sclmulfv 18876
Description: A single coefficient of a polynomial multiplied on the left by a scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1sclmul.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
coe1sclmul.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
coe1sclmul.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
coe1sclmul.a  |-  A  =  (algSc `  P )
coe1sclmul.t  |-  .xb  =  ( .r `  P )
coe1sclmul.u  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
coe1sclmulfv  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  .0.  e.  NN0 )  ->  ( (coe1 `  ( ( A `
 X )  .xb  Y ) ) `  .0.  )  =  ( X  .x.  ( (coe1 `  Y
) `  .0.  )
) )

Proof of Theorem coe1sclmulfv
StepHypRef Expression
1 coe1sclmul.p . . . . . 6  |-  P  =  (Poly1 `  R )
2 coe1sclmul.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  P
)
3 coe1sclmul.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Base `  R
)
4 coe1sclmul.a . . . . . 6  |-  A  =  (algSc `  P )
5 coe1sclmul.t . . . . . 6  |-  .xb  =  ( .r `  P )
6 coe1sclmul.u . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  R )
71, 2, 3, 4, 5, 6coe1sclmul 18875 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  (coe1 `  ( ( A `  X )  .xb  Y
) )  =  ( ( NN0  X.  { X } )  oF  .x.  (coe1 `  Y ) ) )
873expb 1209 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )
)  ->  (coe1 `  (
( A `  X
)  .xb  Y )
)  =  ( ( NN0  X.  { X } )  oF  .x.  (coe1 `  Y ) ) )
983adant3 1028 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  .0.  e.  NN0 )  ->  (coe1 `  ( ( A `
 X )  .xb  Y ) )  =  ( ( NN0  X.  { X } )  oF  .x.  (coe1 `  Y
) ) )
109fveq1d 5867 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  .0.  e.  NN0 )  ->  ( (coe1 `  ( ( A `
 X )  .xb  Y ) ) `  .0.  )  =  (
( ( NN0  X.  { X } )  oF  .x.  (coe1 `  Y
) ) `  .0.  ) )
11 simp3 1010 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  .0.  e.  NN0 )  ->  .0.  e.  NN0 )
12 nn0ex 10875 . . . . 5  |-  NN0  e.  _V
1312a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  .0.  e.  NN0 )  ->  NN0  e.  _V )
14 simp2l 1034 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  .0.  e.  NN0 )  ->  X  e.  K )
15 simp2r 1035 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  .0.  e.  NN0 )  ->  Y  e.  B )
16 eqid 2451 . . . . . 6  |-  (coe1 `  Y
)  =  (coe1 `  Y
)
17 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
1816, 2, 1, 17coe1f 18804 . . . . 5  |-  ( Y  e.  B  ->  (coe1 `  Y ) : NN0 --> (
Base `  R )
)
19 ffn 5728 . . . . 5  |-  ( (coe1 `  Y ) : NN0 --> (
Base `  R )  ->  (coe1 `  Y )  Fn 
NN0 )
2015, 18, 193syl 18 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  .0.  e.  NN0 )  ->  (coe1 `  Y )  Fn 
NN0 )
21 eqidd 2452 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B
)  /\  .0.  e.  NN0 )  /\  .0.  e.  NN0 )  ->  ( (coe1 `  Y ) `  .0.  )  =  ( (coe1 `  Y ) `  .0.  ) )
2213, 14, 20, 21ofc1 6554 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B
)  /\  .0.  e.  NN0 )  /\  .0.  e.  NN0 )  ->  ( (
( NN0  X.  { X } )  oF  .x.  (coe1 `  Y ) ) `
 .0.  )  =  ( X  .x.  (
(coe1 `  Y ) `  .0.  ) ) )
2311, 22mpdan 674 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  .0.  e.  NN0 )  ->  ( ( ( NN0 
X.  { X }
)  oF  .x.  (coe1 `  Y ) ) `  .0.  )  =  ( X  .x.  ( (coe1 `  Y
) `  .0.  )
) )
2410, 23eqtrd 2485 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  .0.  e.  NN0 )  ->  ( (coe1 `  ( ( A `
 X )  .xb  Y ) ) `  .0.  )  =  ( X  .x.  ( (coe1 `  Y
) `  .0.  )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   _Vcvv 3045   {csn 3968    X. cxp 4832    Fn wfn 5577   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290    oFcof 6529   NN0cn0 10869   Basecbs 15121   .rcmulr 15191   Ringcrg 17780  algSccascl 18535  Poly1cpl1 18770  coe1cco1 18771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-ofr 6532  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-hash 12516  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-tset 15209  df-ple 15210  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-mulg 16676  df-subg 16814  df-ghm 16881  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-subrg 18006  df-lmod 18093  df-lss 18156  df-ascl 18538  df-psr 18580  df-mvr 18581  df-mpl 18582  df-opsr 18584  df-psr1 18773  df-vr1 18774  df-ply1 18775  df-coe1 18776
This theorem is referenced by:  deg1mul3le  23065  hbtlem2  35983  coe1sclmulval  40230
  Copyright terms: Public domain W3C validator