MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1sclmul2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem coe1sclmul2 18889
Description: Coefficient vector of a polynomial multiplied on the right by a scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1sclmul.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
coe1sclmul.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
coe1sclmul.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
coe1sclmul.a  |-  A  =  (algSc `  P )
coe1sclmul.t  |-  .xb  =  ( .r `  P )
coe1sclmul.u  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
coe1sclmul2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  (coe1 `  ( Y  .xb  ( A `
 X ) ) )  =  ( (coe1 `  Y )  oF  .x.  ( NN0  X.  { X } ) ) )

Proof of Theorem coe1sclmul2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2453 . . 3  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
2 coe1sclmul.k . . 3  |-  K  =  ( Base `  R
)
3 coe1sclmul.p . . 3  |-  P  =  (Poly1 `  R )
4 eqid 2453 . . 3  |-  (var1 `  R
)  =  (var1 `  R
)
5 eqid 2453 . . 3  |-  ( .s
`  P )  =  ( .s `  P
)
6 eqid 2453 . . 3  |-  (mulGrp `  P )  =  (mulGrp `  P )
7 eqid 2453 . . 3  |-  (.g `  (mulGrp `  P ) )  =  (.g `  (mulGrp `  P
) )
8 coe1sclmul.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  P
)
9 coe1sclmul.t . . 3  |-  .xb  =  ( .r `  P )
10 coe1sclmul.u . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  R )
11 simp3 1011 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
12 simp1 1009 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
13 simp2 1010 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  K )
14 0nn0 10891 . . . 4  |-  0  e.  NN0
1514a1i 11 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  0  e.  NN0 )
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15coe1tmmul2 18881 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  (coe1 `  ( Y  .xb  ( X ( .s `  P
) ( 0 (.g `  (mulGrp `  P )
) (var1 `  R ) ) ) ) )  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( 0  <_  x ,  ( ( (coe1 `  Y ) `  (
x  -  0 ) )  .x.  X ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )
17 coe1sclmul.a . . . . . 6  |-  A  =  (algSc `  P )
182, 3, 4, 5, 6, 7, 17ply1scltm 18886 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  K )  ->  ( A `  X )  =  ( X ( .s `  P ) ( 0 (.g `  (mulGrp `  P ) ) (var1 `  R ) ) ) )
19183adant3 1029 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( A `  X )  =  ( X ( .s `  P ) ( 0 (.g `  (mulGrp `  P ) ) (var1 `  R ) ) ) )
2019oveq2d 6311 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  .xb  ( A `  X ) )  =  ( Y  .xb  ( X ( .s `  P ) ( 0 (.g `  (mulGrp `  P
) ) (var1 `  R
) ) ) ) )
2120fveq2d 5874 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  (coe1 `  ( Y  .xb  ( A `
 X ) ) )  =  (coe1 `  ( Y  .xb  ( X ( .s `  P ) ( 0 (.g `  (mulGrp `  P ) ) (var1 `  R ) ) ) ) ) )
22 nn0ex 10882 . . . . 5  |-  NN0  e.  _V
2322a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  NN0  e.  _V )
24 fvex 5880 . . . . 5  |-  ( (coe1 `  Y ) `  x
)  e.  _V
2524a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( (coe1 `  Y
) `  x )  e.  _V )
26 simpl2 1013 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  x  e.  NN0 )  ->  X  e.  K
)
27 eqid 2453 . . . . . . 7  |-  (coe1 `  Y
)  =  (coe1 `  Y
)
2827, 8, 3, 2coe1f 18816 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  B  ->  (coe1 `  Y ) : NN0 --> K )
2928feqmptd 5923 . . . . 5  |-  ( Y  e.  B  ->  (coe1 `  Y )  =  ( x  e.  NN0  |->  ( (coe1 `  Y ) `  x
) ) )
30293ad2ant3 1032 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  (coe1 `  Y )  =  ( x  e.  NN0  |->  ( (coe1 `  Y ) `  x
) ) )
31 fconstmpt 4881 . . . . 5  |-  ( NN0 
X.  { X }
)  =  ( x  e.  NN0  |->  X )
3231a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( NN0  X.  { X }
)  =  ( x  e.  NN0  |->  X ) )
3323, 25, 26, 30, 32offval2 6553 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  (
(coe1 `  Y )  oF  .x.  ( NN0 
X.  { X }
) )  =  ( x  e.  NN0  |->  ( ( (coe1 `  Y ) `  x )  .x.  X
) ) )
34 nn0ge0 10902 . . . . . 6  |-  ( x  e.  NN0  ->  0  <_  x )
3534iftrued 3891 . . . . 5  |-  ( x  e.  NN0  ->  if ( 0  <_  x , 
( ( (coe1 `  Y
) `  ( x  -  0 ) ) 
.x.  X ) ,  ( 0g `  R
) )  =  ( ( (coe1 `  Y ) `  ( x  -  0
) )  .x.  X
) )
36 nn0cn 10886 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  NN0  ->  x  e.  CC )
3736subid1d 9980 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  NN0  ->  ( x  -  0 )  =  x )
3837fveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( x  e.  NN0  ->  ( (coe1 `  Y ) `  (
x  -  0 ) )  =  ( (coe1 `  Y ) `  x
) )
3938oveq1d 6310 . . . . 5  |-  ( x  e.  NN0  ->  ( ( (coe1 `  Y ) `  ( x  -  0
) )  .x.  X
)  =  ( ( (coe1 `  Y ) `  x )  .x.  X
) )
4035, 39eqtrd 2487 . . . 4  |-  ( x  e.  NN0  ->  if ( 0  <_  x , 
( ( (coe1 `  Y
) `  ( x  -  0 ) ) 
.x.  X ) ,  ( 0g `  R
) )  =  ( ( (coe1 `  Y ) `  x )  .x.  X
) )
4140mpteq2ia 4488 . . 3  |-  ( x  e.  NN0  |->  if ( 0  <_  x , 
( ( (coe1 `  Y
) `  ( x  -  0 ) ) 
.x.  X ) ,  ( 0g `  R
) ) )  =  ( x  e.  NN0  |->  ( ( (coe1 `  Y
) `  x )  .x.  X ) )
4233, 41syl6eqr 2505 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  (
(coe1 `  Y )  oF  .x.  ( NN0 
X.  { X }
) )  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( 0  <_  x , 
( ( (coe1 `  Y
) `  ( x  -  0 ) ) 
.x.  X ) ,  ( 0g `  R
) ) ) )
4316, 21, 423eqtr4d 2497 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  (coe1 `  ( Y  .xb  ( A `
 X ) ) )  =  ( (coe1 `  Y )  oF  .x.  ( NN0  X.  { X } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 986    = wceq 1446    e. wcel 1889   _Vcvv 3047   ifcif 3883   {csn 3970   class class class wbr 4405    |-> cmpt 4464    X. cxp 4835   ` cfv 5585  (class class class)co 6295    oFcof 6534   0cc0 9544    <_ cle 9681    - cmin 9865   NN0cn0 10876   Basecbs 15133   .rcmulr 15203   .scvsca 15206   0gc0g 15350  .gcmg 16684  mulGrpcmgp 17735   Ringcrg 17792  algSccascl 18547  var1cv1 18781  Poly1cpl1 18782  coe1cco1 18783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-ofr 6537  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-oi 8030  df-card 8378  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12221  df-hash 12523  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-tset 15221  df-ple 15222  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-mre 15504  df-mrc 15505  df-acs 15507  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-mhm 16594  df-submnd 16595  df-grp 16685  df-minusg 16686  df-sbg 16687  df-mulg 16688  df-subg 16826  df-ghm 16893  df-cntz 16983  df-cmn 17444  df-abl 17445  df-mgp 17736  df-ur 17748  df-ring 17794  df-subrg 18018  df-lmod 18105  df-lss 18168  df-ascl 18550  df-psr 18592  df-mvr 18593  df-mpl 18594  df-opsr 18596  df-psr1 18785  df-vr1 18786  df-ply1 18787  df-coe1 18788
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator