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Theorem coe1mul2lem2 16616
Description: An equivalence for coe1mul2 16617. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
coe1mul2lem2.h  |-  H  =  { d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) }
Assertion
Ref Expression
coe1mul2lem2  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( c  e.  H  |->  ( c `
 (/) ) ) : H -1-1-onto-> ( 0 ... k
) )
Distinct variable groups:    H, c    c, d, k
Allowed substitution hints:    H( k, d)

Proof of Theorem coe1mul2lem2
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df1o2 6695 . . . . 5  |-  1o  =  { (/) }
2 nn0ex 10183 . . . . 5  |-  NN0  e.  _V
3 0ex 4299 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
4 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( c  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( c `
 (/) ) )  =  ( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) )
51, 2, 3, 4mapsnf1o2 7020 . . . 4  |-  ( c  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( c `
 (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o )
-1-1-onto-> NN0
6 f1of1 5632 . . . 4  |-  ( ( c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o ) -1-1-onto-> NN0  ->  ( c  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o )
-1-1-> NN0 )
75, 6ax-mp 8 . . 3  |-  ( c  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( c `
 (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o ) -1-1-> NN0
8 coe1mul2lem2.h . . . . 5  |-  H  =  { d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) }
9 ssrab2 3388 . . . . 5  |-  { d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o 
X.  { k } ) }  C_  ( NN0  ^m  1o )
108, 9eqsstri 3338 . . . 4  |-  H  C_  ( NN0  ^m  1o )
1110a1i 11 . . 3  |-  ( k  e.  NN0  ->  H  C_  ( NN0  ^m  1o ) )
12 f1ores 5648 . . 3  |-  ( ( ( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o ) -1-1-> NN0  /\  H  C_  ( NN0  ^m  1o ) )  ->  ( (
c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) )  |`  H ) : H -1-1-onto-> (
( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) )
" H ) )
137, 11, 12sylancr 645 . 2  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) )  |`  H ) : H -1-1-onto-> (
( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) )
" H ) )
14 coe1mul2lem1 16615 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  d  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } )  <-> 
( d `  (/) )  e.  ( 0 ... k
) ) )
1514rabbidva 2907 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  { d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o 
X.  { k } ) }  =  {
d  e.  ( NN0 
^m  1o )  |  ( d `  (/) )  e.  ( 0 ... k
) } )
16 fveq1 5686 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  d  ->  (
c `  (/) )  =  ( d `  (/) ) )
1716eleq1d 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  d  ->  (
( c `  (/) )  e.  ( 0 ... k
)  <->  ( d `  (/) )  e.  ( 0 ... k ) ) )
1817cbvrabv 2915 . . . . . . . 8  |-  { c  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  (
c `  (/) )  e.  ( 0 ... k
) }  =  {
d  e.  ( NN0 
^m  1o )  |  ( d `  (/) )  e.  ( 0 ... k
) }
1915, 18syl6eqr 2454 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  { d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o 
X.  { k } ) }  =  {
c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |  ( c `  (/) )  e.  ( 0 ... k
) } )
204mptpreima 5322 . . . . . . 7  |-  ( `' ( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) )
" ( 0 ... k ) )  =  { c  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  ( c `  (/) )  e.  ( 0 ... k ) }
2119, 8, 203eqtr4g 2461 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  H  =  ( `' ( c  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( c `
 (/) ) ) "
( 0 ... k
) ) )
2221imaeq2d 5162 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) )
" H )  =  ( ( c  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) ) " ( `' ( c  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) ) " (
0 ... k ) ) ) )
23 f1ofo 5640 . . . . . . 7  |-  ( ( c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o ) -1-1-onto-> NN0  ->  ( c  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o )
-onto->
NN0 )
245, 23ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( c  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( c `
 (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o ) -onto-> NN0
25 elfznn0 11039 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( 0 ... k )  ->  a  e.  NN0 )
2625ssriv 3312 . . . . . 6  |-  ( 0 ... k )  C_  NN0
27 foimacnv 5651 . . . . . 6  |-  ( ( ( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o ) -onto-> NN0  /\  ( 0 ... k )  C_  NN0 )  ->  ( (
c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) )
" ( `' ( c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) )
" ( 0 ... k ) ) )  =  ( 0 ... k ) )
2824, 26, 27mp2an 654 . . . . 5  |-  ( ( c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) )
" ( `' ( c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) )
" ( 0 ... k ) ) )  =  ( 0 ... k )
2922, 28syl6eq 2452 . . . 4  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) )
" H )  =  ( 0 ... k
) )
30 f1oeq3 5626 . . . 4  |-  ( ( ( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) )
" H )  =  ( 0 ... k
)  ->  ( (
( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) )  |`  H ) : H -1-1-onto-> (
( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) )
" H )  <->  ( (
c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) )  |`  H ) : H -1-1-onto-> (
0 ... k ) ) )
3129, 30syl 16 . . 3  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) )  |`  H ) : H -1-1-onto-> (
( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) )
" H )  <->  ( (
c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) )  |`  H ) : H -1-1-onto-> (
0 ... k ) ) )
32 resmpt 5150 . . . 4  |-  ( H 
C_  ( NN0  ^m  1o )  ->  ( ( c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) )  |`  H )  =  ( c  e.  H  |->  ( c `  (/) ) ) )
33 f1oeq1 5624 . . . 4  |-  ( ( ( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) )  |`  H )  =  ( c  e.  H  |->  ( c `  (/) ) )  ->  ( ( ( c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) )  |`  H ) : H -1-1-onto-> (
0 ... k )  <->  ( c  e.  H  |->  ( c `
 (/) ) ) : H -1-1-onto-> ( 0 ... k
) ) )
3411, 32, 333syl 19 . . 3  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) )  |`  H ) : H -1-1-onto-> (
0 ... k )  <->  ( c  e.  H  |->  ( c `
 (/) ) ) : H -1-1-onto-> ( 0 ... k
) ) )
3531, 34bitrd 245 . 2  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) )  |`  H ) : H -1-1-onto-> (
( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) )
" H )  <->  ( c  e.  H  |->  ( c `
 (/) ) ) : H -1-1-onto-> ( 0 ... k
) ) )
3613, 35mpbid 202 1  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( c  e.  H  |->  ( c `
 (/) ) ) : H -1-1-onto-> ( 0 ... k
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1649    e. wcel 1721   {crab 2670    C_ wss 3280   (/)c0 3588   {csn 3774   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   `'ccnv 4836    |` cres 4839   "cima 4840   -1-1->wf1 5410   -onto->wfo 5411   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    o Rcofr 6263   1oc1o 6676    ^m cmap 6977   0cc0 8946    <_ cle 9077   NN0cn0 10177   ...cfz 10999
This theorem is referenced by:  coe1mul2  16617
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-ofr 6265  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000
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