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Theorem coe1mul2lem2 17855
Description: An equivalence for coe1mul2 17856. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
coe1mul2lem2.h  |-  H  =  { d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  oR  <_  ( 1o  X.  { k } ) }
Assertion
Ref Expression
coe1mul2lem2  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( c  e.  H  |->  ( c `
 (/) ) ) : H -1-1-onto-> ( 0 ... k
) )
Distinct variable groups:    H, c    c, d, k
Allowed substitution hints:    H( k, d)

Proof of Theorem coe1mul2lem2
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df1o2 7045 . . . . 5  |-  1o  =  { (/) }
2 nn0ex 10700 . . . . 5  |-  NN0  e.  _V
3 0ex 4533 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
4 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( c  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( c `
 (/) ) )  =  ( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) )
51, 2, 3, 4mapsnf1o2 7373 . . . 4  |-  ( c  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( c `
 (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o )
-1-1-onto-> NN0
6 f1of1 5751 . . . 4  |-  ( ( c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o ) -1-1-onto-> NN0  ->  ( c  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o )
-1-1-> NN0 )
75, 6ax-mp 5 . . 3  |-  ( c  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( c `
 (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o ) -1-1-> NN0
8 coe1mul2lem2.h . . . . 5  |-  H  =  { d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  oR  <_  ( 1o  X.  { k } ) }
9 ssrab2 3548 . . . . 5  |-  { d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  oR  <_  ( 1o 
X.  { k } ) }  C_  ( NN0  ^m  1o )
108, 9eqsstri 3497 . . . 4  |-  H  C_  ( NN0  ^m  1o )
1110a1i 11 . . 3  |-  ( k  e.  NN0  ->  H  C_  ( NN0  ^m  1o ) )
12 f1ores 5766 . . 3  |-  ( ( ( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o ) -1-1-> NN0  /\  H  C_  ( NN0  ^m  1o ) )  ->  ( (
c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) )  |`  H ) : H -1-1-onto-> (
( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) )
" H ) )
137, 11, 12sylancr 663 . 2  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) )  |`  H ) : H -1-1-onto-> (
( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) )
" H ) )
14 coe1mul2lem1 17854 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  d  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( d  oR  <_  ( 1o  X.  { k } )  <-> 
( d `  (/) )  e.  ( 0 ... k
) ) )
1514rabbidva 3069 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  { d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  oR  <_  ( 1o 
X.  { k } ) }  =  {
d  e.  ( NN0 
^m  1o )  |  ( d `  (/) )  e.  ( 0 ... k
) } )
16 fveq1 5801 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  d  ->  (
c `  (/) )  =  ( d `  (/) ) )
1716eleq1d 2523 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  d  ->  (
( c `  (/) )  e.  ( 0 ... k
)  <->  ( d `  (/) )  e.  ( 0 ... k ) ) )
1817cbvrabv 3077 . . . . . . . 8  |-  { c  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  (
c `  (/) )  e.  ( 0 ... k
) }  =  {
d  e.  ( NN0 
^m  1o )  |  ( d `  (/) )  e.  ( 0 ... k
) }
1915, 18syl6eqr 2513 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  { d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  oR  <_  ( 1o 
X.  { k } ) }  =  {
c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |  ( c `  (/) )  e.  ( 0 ... k
) } )
204mptpreima 5442 . . . . . . 7  |-  ( `' ( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) )
" ( 0 ... k ) )  =  { c  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  ( c `  (/) )  e.  ( 0 ... k ) }
2119, 8, 203eqtr4g 2520 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  H  =  ( `' ( c  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( c `
 (/) ) ) "
( 0 ... k
) ) )
2221imaeq2d 5280 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) )
" H )  =  ( ( c  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) ) " ( `' ( c  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) ) " (
0 ... k ) ) ) )
23 f1ofo 5759 . . . . . . 7  |-  ( ( c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o ) -1-1-onto-> NN0  ->  ( c  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o )
-onto->
NN0 )
245, 23ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( c  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( c `
 (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o ) -onto-> NN0
25 elfznn0 11602 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( 0 ... k )  ->  a  e.  NN0 )
2625ssriv 3471 . . . . . 6  |-  ( 0 ... k )  C_  NN0
27 foimacnv 5769 . . . . . 6  |-  ( ( ( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o ) -onto-> NN0  /\  ( 0 ... k )  C_  NN0 )  ->  ( (
c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) )
" ( `' ( c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) )
" ( 0 ... k ) ) )  =  ( 0 ... k ) )
2824, 26, 27mp2an 672 . . . . 5  |-  ( ( c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) )
" ( `' ( c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) )
" ( 0 ... k ) ) )  =  ( 0 ... k )
2922, 28syl6eq 2511 . . . 4  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) )
" H )  =  ( 0 ... k
) )
30 f1oeq3 5745 . . . 4  |-  ( ( ( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) )
" H )  =  ( 0 ... k
)  ->  ( (
( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) )  |`  H ) : H -1-1-onto-> (
( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) )
" H )  <->  ( (
c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) )  |`  H ) : H -1-1-onto-> (
0 ... k ) ) )
3129, 30syl 16 . . 3  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) )  |`  H ) : H -1-1-onto-> (
( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) )
" H )  <->  ( (
c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) )  |`  H ) : H -1-1-onto-> (
0 ... k ) ) )
32 resmpt 5267 . . . 4  |-  ( H 
C_  ( NN0  ^m  1o )  ->  ( ( c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) )  |`  H )  =  ( c  e.  H  |->  ( c `  (/) ) ) )
33 f1oeq1 5743 . . . 4  |-  ( ( ( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) )  |`  H )  =  ( c  e.  H  |->  ( c `  (/) ) )  ->  ( ( ( c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) )  |`  H ) : H -1-1-onto-> (
0 ... k )  <->  ( c  e.  H  |->  ( c `
 (/) ) ) : H -1-1-onto-> ( 0 ... k
) ) )
3411, 32, 333syl 20 . . 3  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) )  |`  H ) : H -1-1-onto-> (
0 ... k )  <->  ( c  e.  H  |->  ( c `
 (/) ) ) : H -1-1-onto-> ( 0 ... k
) ) )
3531, 34bitrd 253 . 2  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) )  |`  H ) : H -1-1-onto-> (
( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) )
" H )  <->  ( c  e.  H  |->  ( c `
 (/) ) ) : H -1-1-onto-> ( 0 ... k
) ) )
3613, 35mpbid 210 1  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( c  e.  H  |->  ( c `
 (/) ) ) : H -1-1-onto-> ( 0 ... k
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2803    C_ wss 3439   (/)c0 3748   {csn 3988   class class class wbr 4403    |-> cmpt 4461    X. cxp 4949   `'ccnv 4950    |` cres 4953   "cima 4954   -1-1->wf1 5526   -onto->wfo 5527   -1-1-onto->wf1o 5528   ` cfv 5529  (class class class)co 6203    oRcofr 6432   1oc1o 7026    ^m cmap 7327   0cc0 9397    <_ cle 9534   NN0cn0 10694   ...cfz 11558
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-ofr 6434  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-fz 11559
This theorem is referenced by:  coe1mul2  17856
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