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Theorem coe1mul2lem2 18861
Description: An equivalence for coe1mul2 18862. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
coe1mul2lem2.h  |-  H  =  { d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  oR  <_  ( 1o  X.  { k } ) }
Assertion
Ref Expression
coe1mul2lem2  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( c  e.  H  |->  ( c `
 (/) ) ) : H -1-1-onto-> ( 0 ... k
) )
Distinct variable groups:    H, c    c, d, k
Allowed substitution hints:    H( k, d)

Proof of Theorem coe1mul2lem2
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df1o2 7194 . . . . 5  |-  1o  =  { (/) }
2 nn0ex 10875 . . . . 5  |-  NN0  e.  _V
3 0ex 4535 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
4 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( c  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( c `
 (/) ) )  =  ( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) )
51, 2, 3, 4mapsnf1o2 7519 . . . 4  |-  ( c  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( c `
 (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o )
-1-1-onto-> NN0
6 f1of1 5813 . . . 4  |-  ( ( c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o ) -1-1-onto-> NN0  ->  ( c  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o )
-1-1-> NN0 )
75, 6ax-mp 5 . . 3  |-  ( c  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( c `
 (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o ) -1-1-> NN0
8 coe1mul2lem2.h . . . . 5  |-  H  =  { d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  oR  <_  ( 1o  X.  { k } ) }
9 ssrab2 3514 . . . . 5  |-  { d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  oR  <_  ( 1o 
X.  { k } ) }  C_  ( NN0  ^m  1o )
108, 9eqsstri 3462 . . . 4  |-  H  C_  ( NN0  ^m  1o )
1110a1i 11 . . 3  |-  ( k  e.  NN0  ->  H  C_  ( NN0  ^m  1o ) )
12 f1ores 5828 . . 3  |-  ( ( ( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o ) -1-1-> NN0  /\  H  C_  ( NN0  ^m  1o ) )  ->  ( (
c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) )  |`  H ) : H -1-1-onto-> (
( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) )
" H ) )
137, 11, 12sylancr 669 . 2  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) )  |`  H ) : H -1-1-onto-> (
( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) )
" H ) )
14 coe1mul2lem1 18860 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  d  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( d  oR  <_  ( 1o  X.  { k } )  <-> 
( d `  (/) )  e.  ( 0 ... k
) ) )
1514rabbidva 3035 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  { d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  oR  <_  ( 1o 
X.  { k } ) }  =  {
d  e.  ( NN0 
^m  1o )  |  ( d `  (/) )  e.  ( 0 ... k
) } )
16 fveq1 5864 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  d  ->  (
c `  (/) )  =  ( d `  (/) ) )
1716eleq1d 2513 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  d  ->  (
( c `  (/) )  e.  ( 0 ... k
)  <->  ( d `  (/) )  e.  ( 0 ... k ) ) )
1817cbvrabv 3044 . . . . . . . 8  |-  { c  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  (
c `  (/) )  e.  ( 0 ... k
) }  =  {
d  e.  ( NN0 
^m  1o )  |  ( d `  (/) )  e.  ( 0 ... k
) }
1915, 18syl6eqr 2503 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  { d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  oR  <_  ( 1o 
X.  { k } ) }  =  {
c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |  ( c `  (/) )  e.  ( 0 ... k
) } )
204mptpreima 5328 . . . . . . 7  |-  ( `' ( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) )
" ( 0 ... k ) )  =  { c  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  ( c `  (/) )  e.  ( 0 ... k ) }
2119, 8, 203eqtr4g 2510 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  H  =  ( `' ( c  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( c `
 (/) ) ) "
( 0 ... k
) ) )
2221imaeq2d 5168 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) )
" H )  =  ( ( c  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) ) " ( `' ( c  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) ) " (
0 ... k ) ) ) )
23 f1ofo 5821 . . . . . . 7  |-  ( ( c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o ) -1-1-onto-> NN0  ->  ( c  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o )
-onto->
NN0 )
245, 23ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( c  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( c `
 (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o ) -onto-> NN0
25 elfznn0 11887 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( 0 ... k )  ->  a  e.  NN0 )
2625ssriv 3436 . . . . . 6  |-  ( 0 ... k )  C_  NN0
27 foimacnv 5831 . . . . . 6  |-  ( ( ( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o ) -onto-> NN0  /\  ( 0 ... k )  C_  NN0 )  ->  ( (
c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) )
" ( `' ( c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) )
" ( 0 ... k ) ) )  =  ( 0 ... k ) )
2824, 26, 27mp2an 678 . . . . 5  |-  ( ( c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) )
" ( `' ( c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) )
" ( 0 ... k ) ) )  =  ( 0 ... k )
2922, 28syl6eq 2501 . . . 4  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) )
" H )  =  ( 0 ... k
) )
30 f1oeq3 5807 . . . 4  |-  ( ( ( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) )
" H )  =  ( 0 ... k
)  ->  ( (
( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) )  |`  H ) : H -1-1-onto-> (
( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) )
" H )  <->  ( (
c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) )  |`  H ) : H -1-1-onto-> (
0 ... k ) ) )
3129, 30syl 17 . . 3  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) )  |`  H ) : H -1-1-onto-> (
( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) )
" H )  <->  ( (
c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) )  |`  H ) : H -1-1-onto-> (
0 ... k ) ) )
32 resmpt 5154 . . . 4  |-  ( H 
C_  ( NN0  ^m  1o )  ->  ( ( c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) )  |`  H )  =  ( c  e.  H  |->  ( c `  (/) ) ) )
33 f1oeq1 5805 . . . 4  |-  ( ( ( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) )  |`  H )  =  ( c  e.  H  |->  ( c `  (/) ) )  ->  ( ( ( c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) )  |`  H ) : H -1-1-onto-> (
0 ... k )  <->  ( c  e.  H  |->  ( c `
 (/) ) ) : H -1-1-onto-> ( 0 ... k
) ) )
3411, 32, 333syl 18 . . 3  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) )  |`  H ) : H -1-1-onto-> (
0 ... k )  <->  ( c  e.  H  |->  ( c `
 (/) ) ) : H -1-1-onto-> ( 0 ... k
) ) )
3531, 34bitrd 257 . 2  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) )  |`  H ) : H -1-1-onto-> (
( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) )
" H )  <->  ( c  e.  H  |->  ( c `
 (/) ) ) : H -1-1-onto-> ( 0 ... k
) ) )
3613, 35mpbid 214 1  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( c  e.  H  |->  ( c `
 (/) ) ) : H -1-1-onto-> ( 0 ... k
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    = wceq 1444    e. wcel 1887   {crab 2741    C_ wss 3404   (/)c0 3731   {csn 3968   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461    X. cxp 4832   `'ccnv 4833    |` cres 4836   "cima 4837   -1-1->wf1 5579   -onto->wfo 5580   -1-1-onto->wf1o 5581   ` cfv 5582  (class class class)co 6290    oRcofr 6530   1oc1o 7175    ^m cmap 7472   0cc0 9539    <_ cle 9676   NN0cn0 10869   ...cfz 11784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-ofr 6532  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785
This theorem is referenced by:  coe1mul2  18862
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