MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1mul2lem1 Structured version   Unicode version

Theorem coe1mul2lem1 17721
Description: An equivalence for coe1mul2 17723. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
coe1mul2lem1  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( X  oR  <_  ( 1o  X.  { A } )  <->  ( X `  (/) )  e.  ( 0 ... A ) ) )

Proof of Theorem coe1mul2lem1
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1on 6927 . . . 4  |-  1o  e.  On
21a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  ->  1o  e.  On )
3 fvex 5701 . . . 4  |-  ( X `
 (/) )  e.  _V
43a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0 
^m  1o ) )  /\  a  e.  1o )  ->  ( X `  (/) )  e.  _V )
5 simpll 753 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0 
^m  1o ) )  /\  a  e.  1o )  ->  A  e.  NN0 )
6 df1o2 6932 . . . . . 6  |-  1o  =  { (/) }
7 nn0ex 10585 . . . . . 6  |-  NN0  e.  _V
8 0ex 4422 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
96, 7, 8mapsnconst 7258 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  X  =  ( 1o  X.  {
( X `  (/) ) } ) )
109adantl 466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  ->  X  =  ( 1o  X.  { ( X `  (/) ) } ) )
11 fconstmpt 4882 . . . 4  |-  ( 1o 
X.  { ( X `
 (/) ) } )  =  ( a  e.  1o  |->  ( X `  (/) ) )
1210, 11syl6eq 2491 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  ->  X  =  ( a  e.  1o  |->  ( X `  (/) ) ) )
13 fconstmpt 4882 . . . 4  |-  ( 1o 
X.  { A }
)  =  ( a  e.  1o  |->  A )
1413a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( 1o  X.  { A } )  =  ( a  e.  1o  |->  A ) )
152, 4, 5, 12, 14ofrfval2 6337 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( X  oR  <_  ( 1o  X.  { A } )  <->  A. a  e.  1o  ( X `  (/) )  <_  A )
)
16 1n0 6935 . . 3  |-  1o  =/=  (/)
17 r19.3rzv 3773 . . 3  |-  ( 1o  =/=  (/)  ->  ( ( X `  (/) )  <_  A 
<-> 
A. a  e.  1o  ( X `  (/) )  <_  A ) )
1816, 17mp1i 12 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( ( X `  (/) )  <_  A  <->  A. a  e.  1o  ( X `  (/) )  <_  A )
)
19 elmapi 7234 . . . . . 6  |-  ( X  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  X : 1o
--> NN0 )
20 0lt1o 6944 . . . . . 6  |-  (/)  e.  1o
21 ffvelrn 5841 . . . . . 6  |-  ( ( X : 1o --> NN0  /\  (/) 
e.  1o )  -> 
( X `  (/) )  e. 
NN0 )
2219, 20, 21sylancl 662 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  ( X `
 (/) )  e.  NN0 )
2322adantl 466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( X `  (/) )  e. 
NN0 )
2423biantrurd 508 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( ( X `  (/) )  <_  A  <->  ( ( X `  (/) )  e. 
NN0  /\  ( X `  (/) )  <_  A
) ) )
25 fznn0 11524 . . . 4  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( ( X `  (/) )  e.  ( 0 ... A
)  <->  ( ( X `
 (/) )  e.  NN0  /\  ( X `  (/) )  <_  A ) ) )
2625adantr 465 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( ( X `  (/) )  e.  ( 0 ... A )  <->  ( ( X `  (/) )  e. 
NN0  /\  ( X `  (/) )  <_  A
) ) )
2724, 26bitr4d 256 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( ( X `  (/) )  <_  A  <->  ( X `  (/) )  e.  ( 0 ... A ) ) )
2815, 18, 273bitr2d 281 1  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( X  oR  <_  ( 1o  X.  { A } )  <->  ( X `  (/) )  e.  ( 0 ... A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   A.wral 2715   _Vcvv 2972   (/)c0 3637   {csn 3877   class class class wbr 4292    e. cmpt 4350   Oncon0 4719    X. cxp 4838   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    oRcofr 6319   1oc1o 6913    ^m cmap 7214   0cc0 9282    <_ cle 9419   NN0cn0 10579   ...cfz 11437
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-ofr 6321  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-n0 10580  df-z 10647  df-fz 11438
This theorem is referenced by:  coe1mul2lem2  17722  coe1mul2  17723
  Copyright terms: Public domain W3C validator