MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1mul2lem1 Structured version   Unicode version

Theorem coe1mul2lem1 18095
Description: An equivalence for coe1mul2 18097. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
coe1mul2lem1  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( X  oR  <_  ( 1o  X.  { A } )  <->  ( X `  (/) )  e.  ( 0 ... A ) ) )

Proof of Theorem coe1mul2lem1
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1on 7137 . . . 4  |-  1o  e.  On
21a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  ->  1o  e.  On )
3 fvex 5875 . . . 4  |-  ( X `
 (/) )  e.  _V
43a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0 
^m  1o ) )  /\  a  e.  1o )  ->  ( X `  (/) )  e.  _V )
5 simpll 753 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0 
^m  1o ) )  /\  a  e.  1o )  ->  A  e.  NN0 )
6 df1o2 7142 . . . . . 6  |-  1o  =  { (/) }
7 nn0ex 10800 . . . . . 6  |-  NN0  e.  _V
8 0ex 4577 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
96, 7, 8mapsnconst 7464 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  X  =  ( 1o  X.  {
( X `  (/) ) } ) )
109adantl 466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  ->  X  =  ( 1o  X.  { ( X `  (/) ) } ) )
11 fconstmpt 5042 . . . 4  |-  ( 1o 
X.  { ( X `
 (/) ) } )  =  ( a  e.  1o  |->  ( X `  (/) ) )
1210, 11syl6eq 2524 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  ->  X  =  ( a  e.  1o  |->  ( X `  (/) ) ) )
13 fconstmpt 5042 . . . 4  |-  ( 1o 
X.  { A }
)  =  ( a  e.  1o  |->  A )
1413a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( 1o  X.  { A } )  =  ( a  e.  1o  |->  A ) )
152, 4, 5, 12, 14ofrfval2 6540 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( X  oR  <_  ( 1o  X.  { A } )  <->  A. a  e.  1o  ( X `  (/) )  <_  A )
)
16 1n0 7145 . . 3  |-  1o  =/=  (/)
17 r19.3rzv 3921 . . 3  |-  ( 1o  =/=  (/)  ->  ( ( X `  (/) )  <_  A 
<-> 
A. a  e.  1o  ( X `  (/) )  <_  A ) )
1816, 17mp1i 12 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( ( X `  (/) )  <_  A  <->  A. a  e.  1o  ( X `  (/) )  <_  A )
)
19 elmapi 7440 . . . . . 6  |-  ( X  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  X : 1o
--> NN0 )
20 0lt1o 7154 . . . . . 6  |-  (/)  e.  1o
21 ffvelrn 6018 . . . . . 6  |-  ( ( X : 1o --> NN0  /\  (/) 
e.  1o )  -> 
( X `  (/) )  e. 
NN0 )
2219, 20, 21sylancl 662 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  ( X `
 (/) )  e.  NN0 )
2322adantl 466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( X `  (/) )  e. 
NN0 )
2423biantrurd 508 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( ( X `  (/) )  <_  A  <->  ( ( X `  (/) )  e. 
NN0  /\  ( X `  (/) )  <_  A
) ) )
25 fznn0 11768 . . . 4  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( ( X `  (/) )  e.  ( 0 ... A
)  <->  ( ( X `
 (/) )  e.  NN0  /\  ( X `  (/) )  <_  A ) ) )
2625adantr 465 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( ( X `  (/) )  e.  ( 0 ... A )  <->  ( ( X `  (/) )  e. 
NN0  /\  ( X `  (/) )  <_  A
) ) )
2724, 26bitr4d 256 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( ( X `  (/) )  <_  A  <->  ( X `  (/) )  e.  ( 0 ... A ) ) )
2815, 18, 273bitr2d 281 1  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( X  oR  <_  ( 1o  X.  { A } )  <->  ( X `  (/) )  e.  ( 0 ... A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   _Vcvv 3113   (/)c0 3785   {csn 4027   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   Oncon0 4878    X. cxp 4997   -->wf 5583   ` cfv 5587  (class class class)co 6283    oRcofr 6522   1oc1o 7123    ^m cmap 7420   0cc0 9491    <_ cle 9628   NN0cn0 10794   ...cfz 11671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-ofr 6524  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-n0 10795  df-z 10864  df-fz 11672
This theorem is referenced by:  coe1mul2lem2  18096  coe1mul2  18097
  Copyright terms: Public domain W3C validator