MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1mul2lem1 Structured version   Unicode version

Theorem coe1mul2lem1 17696
Description: An equivalence for coe1mul2 17698. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
coe1mul2lem1  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( X  oR  <_  ( 1o  X.  { A } )  <->  ( X `  (/) )  e.  ( 0 ... A ) ) )

Proof of Theorem coe1mul2lem1
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1on 6923 . . . 4  |-  1o  e.  On
21a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  ->  1o  e.  On )
3 fvex 5698 . . . 4  |-  ( X `
 (/) )  e.  _V
43a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0 
^m  1o ) )  /\  a  e.  1o )  ->  ( X `  (/) )  e.  _V )
5 simpll 748 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0 
^m  1o ) )  /\  a  e.  1o )  ->  A  e.  NN0 )
6 df1o2 6928 . . . . . 6  |-  1o  =  { (/) }
7 nn0ex 10581 . . . . . 6  |-  NN0  e.  _V
8 0ex 4419 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
96, 7, 8mapsnconst 7254 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  X  =  ( 1o  X.  {
( X `  (/) ) } ) )
109adantl 463 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  ->  X  =  ( 1o  X.  { ( X `  (/) ) } ) )
11 fconstmpt 4878 . . . 4  |-  ( 1o 
X.  { ( X `
 (/) ) } )  =  ( a  e.  1o  |->  ( X `  (/) ) )
1210, 11syl6eq 2489 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  ->  X  =  ( a  e.  1o  |->  ( X `  (/) ) ) )
13 fconstmpt 4878 . . . 4  |-  ( 1o 
X.  { A }
)  =  ( a  e.  1o  |->  A )
1413a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( 1o  X.  { A } )  =  ( a  e.  1o  |->  A ) )
152, 4, 5, 12, 14ofrfval2 6336 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( X  oR  <_  ( 1o  X.  { A } )  <->  A. a  e.  1o  ( X `  (/) )  <_  A )
)
16 1n0 6931 . . 3  |-  1o  =/=  (/)
17 r19.3rzv 3770 . . 3  |-  ( 1o  =/=  (/)  ->  ( ( X `  (/) )  <_  A 
<-> 
A. a  e.  1o  ( X `  (/) )  <_  A ) )
1816, 17mp1i 12 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( ( X `  (/) )  <_  A  <->  A. a  e.  1o  ( X `  (/) )  <_  A )
)
19 elmapi 7230 . . . . . 6  |-  ( X  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  X : 1o
--> NN0 )
20 0lt1o 6940 . . . . . 6  |-  (/)  e.  1o
21 ffvelrn 5838 . . . . . 6  |-  ( ( X : 1o --> NN0  /\  (/) 
e.  1o )  -> 
( X `  (/) )  e. 
NN0 )
2219, 20, 21sylancl 657 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  ( X `
 (/) )  e.  NN0 )
2322adantl 463 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( X `  (/) )  e. 
NN0 )
2423biantrurd 505 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( ( X `  (/) )  <_  A  <->  ( ( X `  (/) )  e. 
NN0  /\  ( X `  (/) )  <_  A
) ) )
25 fznn0 11520 . . . 4  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( ( X `  (/) )  e.  ( 0 ... A
)  <->  ( ( X `
 (/) )  e.  NN0  /\  ( X `  (/) )  <_  A ) ) )
2625adantr 462 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( ( X `  (/) )  e.  ( 0 ... A )  <->  ( ( X `  (/) )  e. 
NN0  /\  ( X `  (/) )  <_  A
) ) )
2724, 26bitr4d 256 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( ( X `  (/) )  <_  A  <->  ( X `  (/) )  e.  ( 0 ... A ) ) )
2815, 18, 273bitr2d 281 1  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( X  oR  <_  ( 1o  X.  { A } )  <->  ( X `  (/) )  e.  ( 0 ... A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   _Vcvv 2970   (/)c0 3634   {csn 3874   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   Oncon0 4715    X. cxp 4834   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    oRcofr 6318   1oc1o 6909    ^m cmap 7210   0cc0 9278    <_ cle 9415   NN0cn0 10575   ...cfz 11433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-ofr 6320  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643  df-fz 11434
This theorem is referenced by:  coe1mul2lem2  17697  coe1mul2  17698
  Copyright terms: Public domain W3C validator