MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1mul2lem1 Structured version   Unicode version

Theorem coe1mul2lem1 18182
Description: An equivalence for coe1mul2 18184. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
coe1mul2lem1  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( X  oR  <_  ( 1o  X.  { A } )  <->  ( X `  (/) )  e.  ( 0 ... A ) ) )

Proof of Theorem coe1mul2lem1
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1on 7139 . . . 4  |-  1o  e.  On
21a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  ->  1o  e.  On )
3 fvex 5866 . . . 4  |-  ( X `
 (/) )  e.  _V
43a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0 
^m  1o ) )  /\  a  e.  1o )  ->  ( X `  (/) )  e.  _V )
5 simpll 753 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0 
^m  1o ) )  /\  a  e.  1o )  ->  A  e.  NN0 )
6 df1o2 7144 . . . . . 6  |-  1o  =  { (/) }
7 nn0ex 10807 . . . . . 6  |-  NN0  e.  _V
8 0ex 4567 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
96, 7, 8mapsnconst 7466 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  X  =  ( 1o  X.  {
( X `  (/) ) } ) )
109adantl 466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  ->  X  =  ( 1o  X.  { ( X `  (/) ) } ) )
11 fconstmpt 5033 . . . 4  |-  ( 1o 
X.  { ( X `
 (/) ) } )  =  ( a  e.  1o  |->  ( X `  (/) ) )
1210, 11syl6eq 2500 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  ->  X  =  ( a  e.  1o  |->  ( X `  (/) ) ) )
13 fconstmpt 5033 . . . 4  |-  ( 1o 
X.  { A }
)  =  ( a  e.  1o  |->  A )
1413a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( 1o  X.  { A } )  =  ( a  e.  1o  |->  A ) )
152, 4, 5, 12, 14ofrfval2 6542 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( X  oR  <_  ( 1o  X.  { A } )  <->  A. a  e.  1o  ( X `  (/) )  <_  A )
)
16 1n0 7147 . . 3  |-  1o  =/=  (/)
17 r19.3rzv 3908 . . 3  |-  ( 1o  =/=  (/)  ->  ( ( X `  (/) )  <_  A 
<-> 
A. a  e.  1o  ( X `  (/) )  <_  A ) )
1816, 17mp1i 12 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( ( X `  (/) )  <_  A  <->  A. a  e.  1o  ( X `  (/) )  <_  A )
)
19 elmapi 7442 . . . . . 6  |-  ( X  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  X : 1o
--> NN0 )
20 0lt1o 7156 . . . . . 6  |-  (/)  e.  1o
21 ffvelrn 6014 . . . . . 6  |-  ( ( X : 1o --> NN0  /\  (/) 
e.  1o )  -> 
( X `  (/) )  e. 
NN0 )
2219, 20, 21sylancl 662 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  ( X `
 (/) )  e.  NN0 )
2322adantl 466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( X `  (/) )  e. 
NN0 )
2423biantrurd 508 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( ( X `  (/) )  <_  A  <->  ( ( X `  (/) )  e. 
NN0  /\  ( X `  (/) )  <_  A
) ) )
25 fznn0 11778 . . . 4  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( ( X `  (/) )  e.  ( 0 ... A
)  <->  ( ( X `
 (/) )  e.  NN0  /\  ( X `  (/) )  <_  A ) ) )
2625adantr 465 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( ( X `  (/) )  e.  ( 0 ... A )  <->  ( ( X `  (/) )  e. 
NN0  /\  ( X `  (/) )  <_  A
) ) )
2724, 26bitr4d 256 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( ( X `  (/) )  <_  A  <->  ( X `  (/) )  e.  ( 0 ... A ) ) )
2815, 18, 273bitr2d 281 1  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( X  oR  <_  ( 1o  X.  { A } )  <->  ( X `  (/) )  e.  ( 0 ... A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793   _Vcvv 3095   (/)c0 3770   {csn 4014   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495   Oncon0 4868    X. cxp 4987   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    oRcofr 6524   1oc1o 7125    ^m cmap 7422   0cc0 9495    <_ cle 9632   NN0cn0 10801   ...cfz 11681
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-ofr 6526  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-n0 10802  df-z 10871  df-fz 11682
This theorem is referenced by:  coe1mul2lem2  18183  coe1mul2  18184
  Copyright terms: Public domain W3C validator