Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1mul2 Structured version   Unicode version

Theorem coe1mul2 18805
 Description: The coefficient vector of multiplication in the univariate power series ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1mul2.s PwSer1
coe1mul2.t
coe1mul2.u
coe1mul2.b
Assertion
Ref Expression
coe1mul2 coe1 g coe1 coe1
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   ()

Proof of Theorem coe1mul2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fconst6g 5732 . . . . 5
2 nn0ex 10826 . . . . . 6
3 1on 7144 . . . . . . 7
43elexi 3032 . . . . . 6
52, 4elmap 7455 . . . . 5
61, 5sylibr 215 . . . 4
8 eqidd 2429 . . 3
9 eqid 2428 . . . 4 mPwSer mPwSer
10 coe1mul2.s . . . . 5 PwSer1
11 coe1mul2.b . . . . 5
1210, 11, 9psr1bas2 18726 . . . 4 mPwSer
13 coe1mul2.u . . . 4
14 coe1mul2.t . . . . 5
1510, 9, 14psr1mulr 18760 . . . 4 mPwSer
16 psr1baslem 18721 . . . 4
17 simp2 1006 . . . 4
18 simp3 1007 . . . 4
199, 12, 13, 15, 16, 17, 18psrmulfval 18552 . . 3 g
20 breq2 4370 . . . . . 6
2120rabbidv 3013 . . . . 5
22 oveq1 6256 . . . . . . 7
2322fveq2d 5829 . . . . . 6
2423oveq2d 6265 . . . . 5
2521, 24mpteq12dv 4445 . . . 4
2625oveq2d 6265 . . 3 g g
277, 8, 19, 26fmptco 6015 . 2 g
2810psr1ring 18783 . . . 4
2911, 14ringcl 17737 . . . 4
3028, 29syl3an1 1297 . . 3
31 eqid 2428 . . . 4 coe1 coe1
32 eqid 2428 . . . 4
3331, 11, 10, 32coe1fval3 18744 . . 3 coe1
3430, 33syl 17 . 2 coe1
35 eqid 2428 . . . . 5
36 eqid 2428 . . . . 5
37 simpl1 1008 . . . . . 6
38 ringcmn 17754 . . . . . 6 CMnd
3937, 38syl 17 . . . . 5 CMnd
40 fzfi 12135 . . . . . 6
4140a1i 11 . . . . 5
42 simpll1 1044 . . . . . . 7
43 simpll2 1045 . . . . . . . . 9
44 eqid 2428 . . . . . . . . . 10 coe1 coe1
4544, 11, 10, 35coe1f2 18745 . . . . . . . . 9 coe1
4643, 45syl 17 . . . . . . . 8 coe1
47 elfznn0 11838 . . . . . . . . 9
4847adantl 467 . . . . . . . 8
4946, 48ffvelrnd 5982 . . . . . . 7 coe1
50 simpll3 1046 . . . . . . . . 9
51 eqid 2428 . . . . . . . . . 10 coe1 coe1
5251, 11, 10, 35coe1f2 18745 . . . . . . . . 9 coe1
5350, 52syl 17 . . . . . . . 8 coe1
54 fznn0sub 11782 . . . . . . . . 9
5554adantl 467 . . . . . . . 8
5653, 55ffvelrnd 5982 . . . . . . 7 coe1
5735, 13ringcl 17737 . . . . . . 7 coe1 coe1 coe1 coe1
5842, 49, 56, 57syl3anc 1264 . . . . . 6 coe1 coe1
59 eqid 2428 . . . . . 6 coe1 coe1 coe1 coe1
6058, 59fmptd 6005 . . . . 5 coe1 coe1
6140elexi 3032 . . . . . . . . 9
6261mptex 6095 . . . . . . . 8 coe1 coe1
63 funmpt 5580 . . . . . . . 8 coe1 coe1
64 fvex 5835 . . . . . . . 8
6562, 63, 643pm3.2i 1183 . . . . . . 7 coe1 coe1 coe1 coe1
66 suppssdm 6882 . . . . . . . . 9 coe1 coe1 supp coe1 coe1
6759dmmptss 5293 . . . . . . . . 9 coe1 coe1
6866, 67sstri 3416 . . . . . . . 8 coe1 coe1 supp
6940, 68pm3.2i 456 . . . . . . 7 coe1 coe1 supp
70 suppssfifsupp 7851 . . . . . . 7 coe1 coe1 coe1 coe1 coe1 coe1 supp coe1 coe1 finSupp
7165, 69, 70mp2an 676 . . . . . 6 coe1 coe1 finSupp
7271a1i 11 . . . . 5 coe1 coe1 finSupp
73 eqid 2428 . . . . . . 7
7473coe1mul2lem2 18804 . . . . . 6
7574adantl 467 . . . . 5
7635, 36, 39, 41, 60, 72, 75gsumf1o 17493 . . . 4 g coe1 coe1 g coe1 coe1
77 breq1 4369 . . . . . . . . . . 11
7877elrab 3171 . . . . . . . . . 10
7978simprbi 465 . . . . . . . . 9
8079adantl 467 . . . . . . . 8
81 simplr 760 . . . . . . . . 9
82 elrabi 3168 . . . . . . . . . 10
8382adantl 467 . . . . . . . . 9
84 coe1mul2lem1 18803 . . . . . . . . 9
8581, 83, 84syl2anc 665 . . . . . . . 8
8680, 85mpbid 213 . . . . . . 7
87 eqidd 2429 . . . . . . 7
88 eqidd 2429 . . . . . . 7 coe1 coe1 coe1 coe1
89 fveq2 5825 . . . . . . . 8 coe1 coe1
90 oveq2 6257 . . . . . . . . 9
9190fveq2d 5829 . . . . . . . 8 coe1 coe1
9289, 91oveq12d 6267 . . . . . . 7 coe1 coe1 coe1 coe1
9386, 87, 88, 92fmptco 6015 . . . . . 6 coe1 coe1 coe1 coe1
94 simpll2 1045 . . . . . . . . 9
9544fvcoe1 18743 . . . . . . . . 9 coe1
9694, 83, 95syl2anc 665 . . . . . . . 8 coe1
97 df1o2 7149 . . . . . . . . . . . . . 14
98 0ex 4499 . . . . . . . . . . . . . 14
9997, 2, 98mapsnconst 7472 . . . . . . . . . . . . 13
10083, 99syl 17 . . . . . . . . . . . 12
101100oveq2d 6265 . . . . . . . . . . 11
1023a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
103 vex 3025 . . . . . . . . . . . . 13
104103a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
105 fvex 5835 . . . . . . . . . . . . 13
106105a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
107102, 104, 106ofc12 6514 . . . . . . . . . . 11
108101, 107eqtrd 2462 . . . . . . . . . 10
109108fveq2d 5829 . . . . . . . . 9
110 simpll3 1046 . . . . . . . . . 10
111 fznn0sub 11782 . . . . . . . . . . 11
11286, 111syl 17 . . . . . . . . . 10
11351coe1fv 18742 . . . . . . . . . 10 coe1
114110, 112, 113syl2anc 665 . . . . . . . . 9 coe1
115109, 114eqtr4d 2465 . . . . . . . 8 coe1
11696, 115oveq12d 6267 . . . . . . 7 coe1 coe1
117116mpteq2dva 4453 . . . . . 6 coe1 coe1
11893, 117eqtr4d 2465 . . . . 5 coe1 coe1
119118oveq2d 6265 . . . 4 g coe1 coe1 g
12076, 119eqtrd 2462 . . 3 g coe1 coe1 g
121120mpteq2dva 4453 . 2 g coe1 coe1 g
12227, 34, 1213eqtr4d 2472 1 coe1 g coe1 coe1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1872  crab 2718  cvv 3022   wss 3379  c0 3704  csn 3941   class class class wbr 4366   cmpt 4425   cxp 4794   cdm 4796   ccom 4800  con0 5385   wfun 5538  wf 5540  wf1o 5543  cfv 5544  (class class class)co 6249   cof 6487   cofr 6488   supp csupp 6869  c1o 7130   cmap 7427  cfn 7524   finSupp cfsupp 7836  cc0 9490   cle 9627   cmin 9811  cn0 10820  cfz 11735  cbs 15064  cmulr 15134  c0g 15281   g cgsu 15282  CMndccmn 17373  crg 17723   mPwSer cmps 18518  PwSer1cps1 18711  coe1cco1 18714 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-inf2 8099  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-iin 4245  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-se 4756  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-isom 5553  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-of 6489  df-ofr 6490  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-supp 6870  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-2o 7138  df-oadd 7141  df-er 7318  df-map 7429  df-pm 7430  df-ixp 7478  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-fsupp 7837  df-oi 7978  df-card 8325  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-7 10624  df-8 10625  df-9 10626  df-10 10627  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-seq 12164  df-hash 12466  df-struct 15066  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-sets 15070  df-ress 15071  df-plusg 15146  df-mulr 15147  df-sca 15149  df-vsca 15150  df-tset 15152  df-ple 15153  df-0g 15283  df-gsum 15284  df-mre 15435  df-mrc 15436  df-acs 15438  df-mgm 16431  df-sgrp 16470  df-mnd 16480  df-mhm 16525  df-submnd 16526  df-grp 16616  df-minusg 16617  df-mulg 16619  df-ghm 16824  df-cntz 16914  df-cmn 17375  df-abl 17376  df-mgp 17667  df-ur 17679  df-ring 17725  df-psr 18523  df-opsr 18527  df-psr1 18716  df-coe1 18719 This theorem is referenced by:  coe1mul  18806
 Copyright terms: Public domain W3C validator