MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1mul Structured version   Unicode version

Theorem coe1mul 17817
Description: The coefficient vector of multiplication in the univariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1mul.s  |-  Y  =  (Poly1 `  R )
coe1mul.t  |-  .xb  =  ( .r `  Y )
coe1mul.u  |-  .x.  =  ( .r `  R )
coe1mul.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
Assertion
Ref Expression
coe1mul  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (coe1 `  ( F  .xb  G ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
0 ... k )  |->  ( ( (coe1 `  F ) `  x )  .x.  (
(coe1 `  G ) `  ( k  -  x
) ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, k, F    k, G, x    R, k, x    .xb , k    .x. , k, x
Allowed substitution hints:    B( x, k)    .xb (
x)    Y( x, k)

Proof of Theorem coe1mul
StepHypRef Expression
1 id 22 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Ring )
2 coe1mul.s . . 3  |-  Y  =  (Poly1 `  R )
3 coe1mul.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  Y
)
42, 3ply1bascl 17752 . 2  |-  ( F  e.  B  ->  F  e.  ( Base `  (PwSer1 `  R ) ) )
52, 3ply1bascl 17752 . 2  |-  ( G  e.  B  ->  G  e.  ( Base `  (PwSer1 `  R ) ) )
6 eqid 2450 . . 3  |-  (PwSer1 `  R
)  =  (PwSer1 `  R
)
7 eqid 2450 . . . . 5  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
8 eqid 2450 . . . . 5  |-  ( 1o mPwSer  R )  =  ( 1o mPwSer  R )
9 coe1mul.t . . . . . 6  |-  .xb  =  ( .r `  Y )
102, 7, 9ply1mulr 17774 . . . . 5  |-  .xb  =  ( .r `  ( 1o mPoly  R ) )
117, 8, 10mplmulr 17768 . . . 4  |-  .xb  =  ( .r `  ( 1o mPwSer  R ) )
12 eqid 2450 . . . . 5  |-  ( .r
`  (PwSer1 `  R ) )  =  ( .r `  (PwSer1 `  R ) )
136, 8, 12psr1mulr 17771 . . . 4  |-  ( .r
`  (PwSer1 `  R ) )  =  ( .r `  ( 1o mPwSer  R ) )
1411, 13eqtr4i 2481 . . 3  |-  .xb  =  ( .r `  (PwSer1 `  R
) )
15 coe1mul.u . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  R )
16 eqid 2450 . . 3  |-  ( Base `  (PwSer1 `  R ) )  =  ( Base `  (PwSer1 `  R ) )
176, 14, 15, 16coe1mul2 17816 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  ( Base `  (PwSer1 `  R ) )  /\  G  e.  ( Base `  (PwSer1 `  R ) ) )  ->  (coe1 `  ( F  .xb  G ) )  =  ( k  e. 
NN0  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  ( 0 ... k )  |->  ( ( (coe1 `  F ) `  x )  .x.  (
(coe1 `  G ) `  ( k  -  x
) ) ) ) ) ) )
181, 4, 5, 17syl3an 1261 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (coe1 `  ( F  .xb  G ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
0 ... k )  |->  ( ( (coe1 `  F ) `  x )  .x.  (
(coe1 `  G ) `  ( k  -  x
) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1757    |-> cmpt 4434   ` cfv 5502  (class class class)co 6176   1oc1o 6999   0cc0 9369    - cmin 9682   NN0cn0 10666   ...cfz 11524   Basecbs 14262   .rcmulr 14327    gsumg cgsu 14467   Ringcrg 16737   mPwSer cmps 17510   mPoly cmpl 17512  PwSer1cps1 17724  Poly1cpl1 17726  coe1cco1 17727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-inf2 7934  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-int 4213  df-iun 4257  df-iin 4258  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-se 4764  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-isom 5511  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-of 6406  df-ofr 6407  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-supp 6777  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-1o 7006  df-2o 7007  df-oadd 7010  df-er 7187  df-map 7302  df-pm 7303  df-ixp 7350  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-fin 7400  df-fsupp 7708  df-oi 7811  df-card 8196  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-nn 10410  df-2 10467  df-3 10468  df-4 10469  df-5 10470  df-6 10471  df-7 10472  df-8 10473  df-9 10474  df-10 10475  df-n0 10667  df-z 10734  df-uz 10949  df-fz 11525  df-fzo 11636  df-seq 11894  df-hash 12191  df-struct 14264  df-ndx 14265  df-slot 14266  df-base 14267  df-sets 14268  df-ress 14269  df-plusg 14339  df-mulr 14340  df-sca 14342  df-vsca 14343  df-tset 14345  df-ple 14346  df-0g 14468  df-gsum 14469  df-mre 14612  df-mrc 14613  df-acs 14615  df-mnd 15503  df-mhm 15552  df-submnd 15553  df-grp 15633  df-minusg 15634  df-mulg 15636  df-ghm 15833  df-cntz 15923  df-cmn 16369  df-abl 16370  df-mgp 16683  df-ur 16695  df-rng 16739  df-psr 17515  df-mpl 17517  df-opsr 17519  df-psr1 17729  df-ply1 17731  df-coe1 17732
This theorem is referenced by:  coe1tmmul2  17823  coe1tmmul  17824  coe1mul3  21673  ply1mulgsum  30976  cply1mul  30979  pmatcollpw1dstlem1  31213  pmattomply1mhmlem2  31260
  Copyright terms: Public domain W3C validator