Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1fzgsumd Structured version   Unicode version

Theorem coe1fzgsumd 18214
 Description: Value of an evaluated coefficient in a finite group sum of polynomials. (Contributed by AV, 8-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1fzgsumd.p Poly1
coe1fzgsumd.b
coe1fzgsumd.r
coe1fzgsumd.k
coe1fzgsumd.m
coe1fzgsumd.n
Assertion
Ref Expression
coe1fzgsumd coe1 g g coe1
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem coe1fzgsumd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1fzgsumd.m . 2
2 coe1fzgsumd.n . . 3
3 raleq 3063 . . . . . . 7
43anbi2d 703 . . . . . 6
5 mpteq1 4533 . . . . . . . . . 10
65oveq2d 6311 . . . . . . . . 9 g g
76fveq2d 5876 . . . . . . . 8 coe1 g coe1 g
87fveq1d 5874 . . . . . . 7 coe1 g coe1 g
9 mpteq1 4533 . . . . . . . 8 coe1 coe1
109oveq2d 6311 . . . . . . 7 g coe1 g coe1
118, 10eqeq12d 2489 . . . . . 6 coe1 g g coe1 coe1 g g coe1
124, 11imbi12d 320 . . . . 5 coe1 g g coe1 coe1 g g coe1
13 raleq 3063 . . . . . . 7
1413anbi2d 703 . . . . . 6
15 mpteq1 4533 . . . . . . . . . 10
1615oveq2d 6311 . . . . . . . . 9 g g
1716fveq2d 5876 . . . . . . . 8 coe1 g coe1 g
1817fveq1d 5874 . . . . . . 7 coe1 g coe1 g
19 mpteq1 4533 . . . . . . . 8 coe1 coe1
2019oveq2d 6311 . . . . . . 7 g coe1 g coe1
2118, 20eqeq12d 2489 . . . . . 6 coe1 g g coe1 coe1 g g coe1
2214, 21imbi12d 320 . . . . 5 coe1 g g coe1 coe1 g g coe1
23 raleq 3063 . . . . . . 7
2423anbi2d 703 . . . . . 6
25 mpteq1 4533 . . . . . . . . . 10
2625oveq2d 6311 . . . . . . . . 9 g g
2726fveq2d 5876 . . . . . . . 8 coe1 g coe1 g
2827fveq1d 5874 . . . . . . 7 coe1 g coe1 g
29 mpteq1 4533 . . . . . . . 8 coe1 coe1
3029oveq2d 6311 . . . . . . 7 g coe1 g coe1
3128, 30eqeq12d 2489 . . . . . 6 coe1 g g coe1 coe1 g g coe1
3224, 31imbi12d 320 . . . . 5 coe1 g g coe1 coe1 g g coe1
33 raleq 3063 . . . . . . 7
3433anbi2d 703 . . . . . 6
35 mpteq1 4533 . . . . . . . . . 10
3635oveq2d 6311 . . . . . . . . 9 g g
3736fveq2d 5876 . . . . . . . 8 coe1 g coe1 g
3837fveq1d 5874 . . . . . . 7 coe1 g coe1 g
39 mpteq1 4533 . . . . . . . 8 coe1 coe1
4039oveq2d 6311 . . . . . . 7 g coe1 g coe1
4138, 40eqeq12d 2489 . . . . . 6 coe1 g g coe1 coe1 g g coe1
4234, 41imbi12d 320 . . . . 5 coe1 g g coe1 coe1 g g coe1
43 mpt0 5714 . . . . . . . . . . . . 13
4443oveq2i 6306 . . . . . . . . . . . 12 g g
45 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13
4645gsum0 15779 . . . . . . . . . . . 12 g
4744, 46eqtri 2496 . . . . . . . . . . 11 g
4847fveq2i 5875 . . . . . . . . . 10 coe1 g coe1
4948a1i 11 . . . . . . . . 9 coe1 g coe1
5049fveq1d 5874 . . . . . . . 8 coe1 g coe1
51 coe1fzgsumd.r . . . . . . . . . 10
52 coe1fzgsumd.p . . . . . . . . . . 11 Poly1
53 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11
5452, 45, 53coe1z 18174 . . . . . . . . . 10 coe1
5551, 54syl 16 . . . . . . . . 9 coe1
5655fveq1d 5874 . . . . . . . 8 coe1
57 fvex 5882 . . . . . . . . 9
58 coe1fzgsumd.k . . . . . . . . 9
59 fvconst2g 6125 . . . . . . . . 9
6057, 58, 59sylancr 663 . . . . . . . 8
6150, 56, 603eqtrd 2512 . . . . . . 7 coe1 g
62 mpt0 5714 . . . . . . . . 9 coe1
6362oveq2i 6306 . . . . . . . 8 g coe1 g
6453gsum0 15779 . . . . . . . 8 g
6563, 64eqtri 2496 . . . . . . 7 g coe1
6661, 65syl6eqr 2526 . . . . . 6 coe1 g g coe1
6766adantr 465 . . . . 5 coe1 g g coe1
68 coe1fzgsumd.b . . . . . . . . 9
6952, 68, 51, 58coe1fzgsumdlem 18213 . . . . . . . 8 coe1 g g coe1 coe1 g g coe1
70693expia 1198 . . . . . . 7 coe1 g g coe1 coe1 g g coe1
7170a2d 26 . . . . . 6 coe1 g g coe1 coe1 g g coe1
72 impexp 446 . . . . . 6 coe1 g g coe1 coe1 g g coe1
73 impexp 446 . . . . . 6 coe1 g g coe1 coe1 g g coe1
7471, 72, 733imtr4g 270 . . . . 5 coe1 g g coe1 coe1 g g coe1
7512, 22, 32, 42, 67, 74findcard2s 7773 . . . 4 coe1 g g coe1
7675expd 436 . . 3 coe1 g g coe1
772, 76mpcom 36 . 2 coe1 g g coe1
781, 77mpd 15 1 coe1 g g coe1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  wral 2817  cvv 3118   cun 3479  c0 3790  csn 4033   cmpt 4511   cxp 5003  cfv 5594  (class class class)co 6295  cfn 7528  cn0 10807  cbs 14507  c0g 14712   g cgsu 14713  crg 17070  Poly1cpl1 18086  coe1cco1 18087 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-ofr 6536  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-hash 12386  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-tset 14591  df-ple 14592  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15839  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-mulg 15932  df-subg 16070  df-ghm 16137  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-subrg 17298  df-psr 17875  df-mpl 17877  df-opsr 17879  df-psr1 18089  df-ply1 18091  df-coe1 18092 This theorem is referenced by:  gsummoncoe1  18216  cpmatmcllem  19088  decpmatmullem  19141  mp2pm2mplem4  19179
 Copyright terms: Public domain W3C validator