MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1fv Structured version   Unicode version

Theorem coe1fv 18563
Description: Value of an evaluated coefficient in a polynomial coefficient vector. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
coe1fval.a  |-  A  =  (coe1 `  F )
Assertion
Ref Expression
coe1fv  |-  ( ( F  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A `  N
)  =  ( F `
 ( 1o  X.  { N } ) ) )

Proof of Theorem coe1fv
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1fval.a . . . 4  |-  A  =  (coe1 `  F )
21coe1fval 18562 . . 3  |-  ( F  e.  V  ->  A  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( F `  ( 1o  X.  { n } ) ) ) )
32fveq1d 5850 . 2  |-  ( F  e.  V  ->  ( A `  N )  =  ( ( n  e.  NN0  |->  ( F `
 ( 1o  X.  { n } ) ) ) `  N
) )
4 sneq 3981 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  { n }  =  { N } )
54xpeq2d 4846 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  ( 1o  X.  { n }
)  =  ( 1o 
X.  { N }
) )
65fveq2d 5852 . . 3  |-  ( n  =  N  ->  ( F `  ( 1o  X.  { n } ) )  =  ( F `
 ( 1o  X.  { N } ) ) )
7 eqid 2402 . . 3  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( F `
 ( 1o  X.  { n } ) ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( F `
 ( 1o  X.  { n } ) ) )
8 fvex 5858 . . 3  |-  ( F `
 ( 1o  X.  { N } ) )  e.  _V
96, 7, 8fvmpt 5931 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( F `
 ( 1o  X.  { n } ) ) ) `  N
)  =  ( F `
 ( 1o  X.  { N } ) ) )
103, 9sylan9eq 2463 1  |-  ( ( F  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A `  N
)  =  ( F `
 ( 1o  X.  { N } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   {csn 3971    |-> cmpt 4452    X. cxp 4820   ` cfv 5568   1oc1o 7159   NN0cn0 10835  coe1cco1 18535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-ov 6280  df-om 6683  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-nn 10576  df-n0 10836  df-coe1 18540
This theorem is referenced by:  fvcoe1  18564  coe1mul2  18628  deg1le0  22802
  Copyright terms: Public domain W3C validator