Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  coe1fsupp Structured version   Unicode version

Theorem coe1fsupp 30831
Description: The coefficient vector of a univariate polynomial is a finitely supported mapping from the nonnegative integers to the elements of the coefficient class/ring for the polynomial. (Contributed by AV, 3-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1fvalcl.a  |-  A  =  (coe1 `  F )
coe1fvalcl.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
coe1fvalcl.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
coe1fvalcl.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
coe1fsupp.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
coe1fsupp  |-  ( F  e.  B  ->  A  e.  { g  e.  ( K  ^m  NN0 )  |  g finSupp  .0.  } )
Distinct variable groups:    A, g    g, K    .0. , g
Allowed substitution hints:    B( g)    P( g)    R( g)    F( g)

Proof of Theorem coe1fsupp
StepHypRef Expression
1 coe1fvalcl.a . . . 4  |-  A  =  (coe1 `  F )
2 coe1fvalcl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  P
)
3 coe1fvalcl.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
4 coe1fvalcl.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  R
)
51, 2, 3, 4coe1f 17667 . . 3  |-  ( F  e.  B  ->  A : NN0 --> K )
6 fvex 5701 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  e.  _V
74, 6eqeltri 2513 . . . . 5  |-  K  e. 
_V
8 nn0ex 10585 . . . . 5  |-  NN0  e.  _V
97, 8pm3.2i 455 . . . 4  |-  ( K  e.  _V  /\  NN0  e.  _V )
10 elmapg 7227 . . . 4  |-  ( ( K  e.  _V  /\  NN0 
e.  _V )  ->  ( A  e.  ( K  ^m  NN0 )  <->  A : NN0
--> K ) )
119, 10mp1i 12 . . 3  |-  ( F  e.  B  ->  ( A  e.  ( K  ^m  NN0 )  <->  A : NN0
--> K ) )
125, 11mpbird 232 . 2  |-  ( F  e.  B  ->  A  e.  ( K  ^m  NN0 ) )
13 coe1fsupp.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
141, 2, 3, 13coe1sfi 17668 . 2  |-  ( F  e.  B  ->  A finSupp  .0.  )
15 breq1 4295 . . 3  |-  ( g  =  A  ->  (
g finSupp  .0.  <->  A finSupp  .0.  ) )
1615elrab 3117 . 2  |-  ( A  e.  { g  e.  ( K  ^m  NN0 )  |  g finSupp  .0.  }  <->  ( A  e.  ( K  ^m  NN0 )  /\  A finSupp  .0.  ) )
1712, 14, 16sylanbrc 664 1  |-  ( F  e.  B  ->  A  e.  { g  e.  ( K  ^m  NN0 )  |  g finSupp  .0.  } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2719   _Vcvv 2972   class class class wbr 4292   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    ^m cmap 7214   finSupp cfsupp 7620   NN0cn0 10579   Basecbs 14174   0gc0g 14378  Poly1cpl1 17633  coe1cco1 17634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-tset 14257  df-ple 14258  df-psr 17423  df-mpl 17425  df-opsr 17427  df-psr1 17636  df-ply1 17638  df-coe1 17639
This theorem is referenced by:  coe1ae0  30832  mptcoe1fsupp  30833  mptcoe1matfsupp  30891  pmatcoe1fsupp  30892  mp2pm2mplem4  30919
  Copyright terms: Public domain W3C validator