MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1f Structured version   Unicode version

Theorem coe1f 17760
Description: Functionality of univariate polynomial coefficient vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1fval.a  |-  A  =  (coe1 `  F )
coe1f.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
coe1f.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
coe1f.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
coe1f  |-  ( F  e.  B  ->  A : NN0 --> K )

Proof of Theorem coe1f
StepHypRef Expression
1 coe1f.p . . 3  |-  P  =  (Poly1 `  R )
2 coe1f.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  P
)
31, 2ply1bascl 17752 . 2  |-  ( F  e.  B  ->  F  e.  ( Base `  (PwSer1 `  R ) ) )
4 coe1fval.a . . 3  |-  A  =  (coe1 `  F )
5 eqid 2450 . . 3  |-  ( Base `  (PwSer1 `  R ) )  =  ( Base `  (PwSer1 `  R ) )
6 eqid 2450 . . 3  |-  (PwSer1 `  R
)  =  (PwSer1 `  R
)
7 coe1f.k . . 3  |-  K  =  ( Base `  R
)
84, 5, 6, 7coe1f2 17758 . 2  |-  ( F  e.  ( Base `  (PwSer1 `  R ) )  ->  A : NN0 --> K )
93, 8syl 16 1  |-  ( F  e.  B  ->  A : NN0 --> K )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1757   -->wf 5498   ` cfv 5502   NN0cn0 10666   Basecbs 14262  PwSer1cps1 17724  Poly1cpl1 17726  coe1cco1 17727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-int 4213  df-iun 4257  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-of 6406  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-supp 6777  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-1o 7006  df-oadd 7010  df-er 7187  df-map 7302  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-fin 7400  df-fsupp 7708  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-nn 10410  df-2 10467  df-3 10468  df-4 10469  df-5 10470  df-6 10471  df-7 10472  df-8 10473  df-9 10474  df-10 10475  df-n0 10667  df-z 10734  df-uz 10949  df-fz 11525  df-struct 14264  df-ndx 14265  df-slot 14266  df-base 14267  df-sets 14268  df-ress 14269  df-plusg 14339  df-mulr 14340  df-sca 14342  df-vsca 14343  df-tset 14345  df-ple 14346  df-psr 17515  df-opsr 17519  df-psr1 17729  df-ply1 17731  df-coe1 17732
This theorem is referenced by:  coe1addfv  17812  coe1subfv  17813  coe1tmmul2  17823  coe1tmmul  17824  coe1pwmul  17826  coe1sclmul  17829  coe1sclmulfv  17830  coe1sclmul2  17831  ply1coefsupp  17840  ply1coe  17841  ply1coeOLD  17842  deg1ldgdomn  21667  coe1mul3  21673  deg1add  21677  deg1sublt  21684  deg1mul2  21688  deg1mul3  21689  deg1mul3le  21690  ply1divex  21710  uc1pmon1p  21725  ply1rem  21737  fta1g  21741  drnguc1p  21744  plypf1  21782  hbtlem2  29604  coe1fvalcl  30958  coe1fsupp  30959  coe1fzgsumdlem  30965  pmatcollpw1lem2  31210  pmatcollpw1lem4  31216  mply1topmatcl  31238  cayhamlem3  31328
  Copyright terms: Public domain W3C validator