MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1add Structured version   Unicode version

Theorem coe1add 17718
Description: The coefficient vector of an addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1add.y  |-  Y  =  (Poly1 `  R )
coe1add.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
coe1add.p  |-  .+b  =  ( +g  `  Y )
coe1add.q  |-  .+  =  ( +g  `  R )
Assertion
Ref Expression
coe1add  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (coe1 `  ( F  .+b  G ) )  =  ( (coe1 `  F )  oF  .+  (coe1 `  G ) ) )

Proof of Theorem coe1add
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
2 coe1add.y . . . . . 6  |-  Y  =  (Poly1 `  R )
3 eqid 2443 . . . . . 6  |-  (PwSer1 `  R
)  =  (PwSer1 `  R
)
4 coe1add.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  Y
)
52, 3, 4ply1bas 17651 . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) )
6 coe1add.q . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  R )
7 coe1add.p . . . . . 6  |-  .+b  =  ( +g  `  Y )
82, 1, 7ply1plusg 17679 . . . . 5  |-  .+b  =  ( +g  `  ( 1o mPoly  R ) )
9 simp2 989 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  F  e.  B )
10 simp3 990 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  G  e.  B )
111, 5, 6, 8, 9, 10mpladd 17521 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F  .+b  G )  =  ( F  oF  .+  G ) )
1211coeq1d 5001 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (
( F  .+b  G
)  o.  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { a } ) ) )  =  ( ( F  oF  .+  G )  o.  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o  X.  { a } ) ) ) )
13 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
142, 4, 13ply1basf 17658 . . . . . 6  |-  ( F  e.  B  ->  F : ( NN0  ^m  1o ) --> ( Base `  R
) )
15 ffn 5559 . . . . . 6  |-  ( F : ( NN0  ^m  1o ) --> ( Base `  R
)  ->  F  Fn  ( NN0  ^m  1o ) )
1614, 15syl 16 . . . . 5  |-  ( F  e.  B  ->  F  Fn  ( NN0  ^m  1o ) )
17163ad2ant2 1010 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  F  Fn  ( NN0  ^m  1o ) )
182, 4, 13ply1basf 17658 . . . . . 6  |-  ( G  e.  B  ->  G : ( NN0  ^m  1o ) --> ( Base `  R
) )
19 ffn 5559 . . . . . 6  |-  ( G : ( NN0  ^m  1o ) --> ( Base `  R
)  ->  G  Fn  ( NN0  ^m  1o ) )
2018, 19syl 16 . . . . 5  |-  ( G  e.  B  ->  G  Fn  ( NN0  ^m  1o ) )
21203ad2ant3 1011 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  G  Fn  ( NN0  ^m  1o ) )
22 df1o2 6932 . . . . . 6  |-  1o  =  { (/) }
23 nn0ex 10585 . . . . . 6  |-  NN0  e.  _V
24 0ex 4422 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
25 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { a } ) )  =  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { a } ) )
2622, 23, 24, 25mapsnf1o3 7261 . . . . 5  |-  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { a } ) ) : NN0 -1-1-onto-> ( NN0  ^m  1o )
27 f1of 5641 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { a } ) ) : NN0 -1-1-onto-> ( NN0  ^m  1o )  -> 
( a  e.  NN0  |->  ( 1o  X.  { a } ) ) : NN0 --> ( NN0  ^m  1o ) )
2826, 27mp1i 12 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (
a  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { a } ) ) : NN0 --> ( NN0  ^m  1o ) )
29 ovex 6116 . . . . 5  |-  ( NN0 
^m  1o )  e. 
_V
3029a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( NN0  ^m  1o )  e. 
_V )
3123a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  NN0  e.  _V )
32 inidm 3559 . . . 4  |-  ( ( NN0  ^m  1o )  i^i  ( NN0  ^m  1o ) )  =  ( NN0  ^m  1o )
3317, 21, 28, 30, 30, 31, 32ofco 6340 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (
( F  oF  .+  G )  o.  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o  X.  { a } ) ) )  =  ( ( F  o.  ( a  e. 
NN0  |->  ( 1o  X.  { a } ) ) )  oF  .+  ( G  o.  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o  X.  { a } ) ) ) ) )
3412, 33eqtrd 2475 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (
( F  .+b  G
)  o.  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { a } ) ) )  =  ( ( F  o.  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o  X.  { a } ) ) )  oF  .+  ( G  o.  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o  X.  { a } ) ) ) ) )
352ply1rng 17703 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  Y  e. 
Ring )
364, 7rngacl 16672 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F  .+b  G )  e.  B )
3735, 36syl3an1 1251 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F  .+b  G )  e.  B )
38 eqid 2443 . . . 4  |-  (coe1 `  ( F  .+b  G ) )  =  (coe1 `  ( F  .+b  G ) )
3938, 4, 2, 25coe1fval2 17666 . . 3  |-  ( ( F  .+b  G )  e.  B  ->  (coe1 `  ( F  .+b  G ) )  =  ( ( F 
.+b  G )  o.  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o  X.  { a } ) ) ) )
4037, 39syl 16 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (coe1 `  ( F  .+b  G ) )  =  ( ( F  .+b  G )  o.  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o  X.  { a } ) ) ) )
41 eqid 2443 . . . . 5  |-  (coe1 `  F
)  =  (coe1 `  F
)
4241, 4, 2, 25coe1fval2 17666 . . . 4  |-  ( F  e.  B  ->  (coe1 `  F )  =  ( F  o.  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { a } ) ) ) )
43423ad2ant2 1010 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (coe1 `  F )  =  ( F  o.  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { a } ) ) ) )
44 eqid 2443 . . . . 5  |-  (coe1 `  G
)  =  (coe1 `  G
)
4544, 4, 2, 25coe1fval2 17666 . . . 4  |-  ( G  e.  B  ->  (coe1 `  G )  =  ( G  o.  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { a } ) ) ) )
46453ad2ant3 1011 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (coe1 `  G )  =  ( G  o.  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { a } ) ) ) )
4743, 46oveq12d 6109 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (
(coe1 `  F )  oF  .+  (coe1 `  G
) )  =  ( ( F  o.  (
a  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { a } ) ) )  oF  .+  ( G  o.  ( a  e. 
NN0  |->  ( 1o  X.  { a } ) ) ) ) )
4834, 40, 473eqtr4d 2485 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (coe1 `  ( F  .+b  G ) )  =  ( (coe1 `  F )  oF  .+  (coe1 `  G ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2972   (/)c0 3637   {csn 3877    e. cmpt 4350    X. cxp 4838    o. ccom 4844    Fn wfn 5413   -->wf 5414   -1-1-onto->wf1o 5417   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    oFcof 6318   1oc1o 6913    ^m cmap 7214   NN0cn0 10579   Basecbs 14174   +g cplusg 14238   Ringcrg 16645   mPoly cmpl 17420  PwSer1cps1 17631  Poly1cpl1 17633  coe1cco1 17634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-ofr 6321  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-oi 7724  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-seq 11807  df-hash 12104  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-tset 14257  df-ple 14258  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-mnd 15415  df-mhm 15464  df-submnd 15465  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-mulg 15548  df-subg 15678  df-ghm 15745  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-abl 16280  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-subrg 16863  df-psr 17423  df-mpl 17425  df-opsr 17427  df-psr1 17636  df-ply1 17638  df-coe1 17639
This theorem is referenced by:  coe1addfv  17719
  Copyright terms: Public domain W3C validator