MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe0 Unicode version

Theorem coe0 20127
Description: The coefficients of the zero polynomial are zero. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
coe0  |-  (coeff ` 
0 p )  =  ( NN0  X.  {
0 } )

Proof of Theorem coe0
StepHypRef Expression
1 0cn 9040 . . . . 5  |-  0  e.  CC
21a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  0  e.  CC )
3 ssid 3327 . . . . 5  |-  CC  C_  CC
4 ply0 20080 . . . . 5  |-  ( CC  C_  CC  ->  0 p  e.  (Poly `  CC )
)
53, 4ax-mp 8 . . . 4  |-  0 p  e.  (Poly `  CC )
6 coemulc 20126 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  0 p  e.  (Poly `  CC ) )  -> 
(coeff `  ( ( CC  X.  { 0 } )  o F  x.  0 p ) )  =  ( ( NN0  X.  { 0 } )  o F  x.  (coeff `  0 p ) ) )
72, 5, 6sylancl 644 . . 3  |-  (  T. 
->  (coeff `  ( ( CC  X.  { 0 } )  o F  x.  0 p ) )  =  ( ( NN0  X.  { 0 } )  o F  x.  (coeff `  0 p ) ) )
8 cnex 9027 . . . . . . 7  |-  CC  e.  _V
98a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  CC  e.  _V )
10 plyf 20070 . . . . . . 7  |-  ( 0 p  e.  (Poly `  CC )  ->  0 p : CC --> CC )
115, 10mp1i 12 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  0 p : CC --> CC )
12 mul02 9200 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  (
0  x.  x )  =  0 )
1312adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
0  x.  x )  =  0 )
149, 11, 2, 2, 13caofid2 6294 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( ( CC  X.  { 0 } )  o F  x.  0 p )  =  ( CC  X.  { 0 } ) )
15 df-0p 19515 . . . . 5  |-  0 p  =  ( CC  X.  { 0 } )
1614, 15syl6eqr 2454 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( ( CC  X.  { 0 } )  o F  x.  0 p )  =  0 p )
1716fveq2d 5691 . . 3  |-  (  T. 
->  (coeff `  ( ( CC  X.  { 0 } )  o F  x.  0 p ) )  =  (coeff `  0 p
) )
18 nn0ex 10183 . . . . 5  |-  NN0  e.  _V
1918a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  NN0  e.  _V )
20 eqid 2404 . . . . . 6  |-  (coeff ` 
0 p )  =  (coeff `  0 p
)
2120coef3 20104 . . . . 5  |-  ( 0 p  e.  (Poly `  CC )  ->  (coeff ` 
0 p ) : NN0 --> CC )
225, 21mp1i 12 . . . 4  |-  (  T. 
->  (coeff `  0 p
) : NN0 --> CC )
2319, 22, 2, 2, 13caofid2 6294 . . 3  |-  (  T. 
->  ( ( NN0  X.  { 0 } )  o F  x.  (coeff `  0 p ) )  =  ( NN0  X.  { 0 } ) )
247, 17, 233eqtr3d 2444 . 2  |-  (  T. 
->  (coeff `  0 p
)  =  ( NN0 
X.  { 0 } ) )
2524trud 1329 1  |-  (coeff ` 
0 p )  =  ( NN0  X.  {
0 } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    T. wtru 1322    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   {csn 3774    X. cxp 4835   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    o Fcof 6262   CCcc 8944   0cc0 8946    x. cmul 8951   NN0cn0 10177   0 pc0p 19514  Polycply 20056  coeffccoe 20058
This theorem is referenced by:  dgreq0  20136  dgrlt  20137  plymul0or  20151  plydivlem4  20166  mncn0  27212  aaitgo  27235
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-0p 19515  df-ply 20060  df-coe 20062  df-dgr 20063
  Copyright terms: Public domain W3C validator