MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe0 Structured version   Unicode version

Theorem coe0 21698
Description: The coefficients of the zero polynomial are zero. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
coe0  |-  (coeff ` 
0p )  =  ( NN0  X.  {
0 } )

Proof of Theorem coe0
StepHypRef Expression
1 0cnd 9371 . . . 4  |-  ( T. 
->  0  e.  CC )
2 ssid 3370 . . . . 5  |-  CC  C_  CC
3 ply0 21651 . . . . 5  |-  ( CC  C_  CC  ->  0p 
e.  (Poly `  CC ) )
42, 3ax-mp 5 . . . 4  |-  0p  e.  (Poly `  CC )
5 coemulc 21697 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  0p  e.  (Poly `  CC ) )  -> 
(coeff `  ( ( CC  X.  { 0 } )  oF  x.  0p ) )  =  ( ( NN0 
X.  { 0 } )  oF  x.  (coeff `  0p
) ) )
61, 4, 5sylancl 662 . . 3  |-  ( T. 
->  (coeff `  ( ( CC  X.  { 0 } )  oF  x.  0p ) )  =  ( ( NN0 
X.  { 0 } )  oF  x.  (coeff `  0p
) ) )
7 cnex 9355 . . . . . . 7  |-  CC  e.  _V
87a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  CC  e.  _V )
9 plyf 21641 . . . . . . 7  |-  ( 0p  e.  (Poly `  CC )  ->  0p : CC --> CC )
104, 9mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  0p : CC --> CC )
11 mul02 9539 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  (
0  x.  x )  =  0 )
1211adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
0  x.  x )  =  0 )
138, 10, 1, 1, 12caofid2 6346 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( ( CC  X.  { 0 } )  oF  x.  0p )  =  ( CC  X.  { 0 } ) )
14 df-0p 21123 . . . . 5  |-  0p  =  ( CC  X.  { 0 } )
1513, 14syl6eqr 2488 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( ( CC  X.  { 0 } )  oF  x.  0p )  =  0p )
1615fveq2d 5690 . . 3  |-  ( T. 
->  (coeff `  ( ( CC  X.  { 0 } )  oF  x.  0p ) )  =  (coeff `  0p ) )
17 nn0ex 10577 . . . . 5  |-  NN0  e.  _V
1817a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  NN0  e.  _V )
19 eqid 2438 . . . . . 6  |-  (coeff ` 
0p )  =  (coeff `  0p
)
2019coef3 21675 . . . . 5  |-  ( 0p  e.  (Poly `  CC )  ->  (coeff ` 
0p ) : NN0 --> CC )
214, 20mp1i 12 . . . 4  |-  ( T. 
->  (coeff `  0p
) : NN0 --> CC )
2218, 21, 1, 1, 12caofid2 6346 . . 3  |-  ( T. 
->  ( ( NN0  X.  { 0 } )  oF  x.  (coeff `  0p ) )  =  ( NN0  X.  { 0 } ) )
236, 16, 223eqtr3d 2478 . 2  |-  ( T. 
->  (coeff `  0p
)  =  ( NN0 
X.  { 0 } ) )
2423trud 1378 1  |-  (coeff ` 
0p )  =  ( NN0  X.  {
0 } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1369   T. wtru 1370    e. wcel 1756   _Vcvv 2967    C_ wss 3323   {csn 3872    X. cxp 4833   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    oFcof 6313   CCcc 9272   0cc0 9274    x. cmul 9279   NN0cn0 10571   0pc0p 21122  Polycply 21627  coeffccoe 21629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-sum 13156  df-0p 21123  df-ply 21631  df-coe 21633  df-dgr 21634
This theorem is referenced by:  dgreq0  21707  dgrlt  21708  plymul0or  21722  plydivlem4  21737  plymulx  26901  mncn0  29449  aaitgo  29472
  Copyright terms: Public domain W3C validator