MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe0 Structured version   Unicode version

Theorem coe0 22819
Description: The coefficients of the zero polynomial are zero. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
coe0  |-  (coeff ` 
0p )  =  ( NN0  X.  {
0 } )

Proof of Theorem coe0
StepHypRef Expression
1 0cnd 9578 . . . 4  |-  ( T. 
->  0  e.  CC )
2 ssid 3508 . . . . 5  |-  CC  C_  CC
3 ply0 22771 . . . . 5  |-  ( CC  C_  CC  ->  0p 
e.  (Poly `  CC ) )
42, 3ax-mp 5 . . . 4  |-  0p  e.  (Poly `  CC )
5 coemulc 22818 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  0p  e.  (Poly `  CC ) )  -> 
(coeff `  ( ( CC  X.  { 0 } )  oF  x.  0p ) )  =  ( ( NN0 
X.  { 0 } )  oF  x.  (coeff `  0p
) ) )
61, 4, 5sylancl 660 . . 3  |-  ( T. 
->  (coeff `  ( ( CC  X.  { 0 } )  oF  x.  0p ) )  =  ( ( NN0 
X.  { 0 } )  oF  x.  (coeff `  0p
) ) )
7 cnex 9562 . . . . . . 7  |-  CC  e.  _V
87a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  CC  e.  _V )
9 plyf 22761 . . . . . . 7  |-  ( 0p  e.  (Poly `  CC )  ->  0p : CC --> CC )
104, 9mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  0p : CC --> CC )
11 mul02 9747 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  (
0  x.  x )  =  0 )
1211adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
0  x.  x )  =  0 )
138, 10, 1, 1, 12caofid2 6544 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( ( CC  X.  { 0 } )  oF  x.  0p )  =  ( CC  X.  { 0 } ) )
14 df-0p 22243 . . . . 5  |-  0p  =  ( CC  X.  { 0 } )
1513, 14syl6eqr 2513 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( ( CC  X.  { 0 } )  oF  x.  0p )  =  0p )
1615fveq2d 5852 . . 3  |-  ( T. 
->  (coeff `  ( ( CC  X.  { 0 } )  oF  x.  0p ) )  =  (coeff `  0p ) )
17 nn0ex 10797 . . . . 5  |-  NN0  e.  _V
1817a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  NN0  e.  _V )
19 eqid 2454 . . . . . 6  |-  (coeff ` 
0p )  =  (coeff `  0p
)
2019coef3 22795 . . . . 5  |-  ( 0p  e.  (Poly `  CC )  ->  (coeff ` 
0p ) : NN0 --> CC )
214, 20mp1i 12 . . . 4  |-  ( T. 
->  (coeff `  0p
) : NN0 --> CC )
2218, 21, 1, 1, 12caofid2 6544 . . 3  |-  ( T. 
->  ( ( NN0  X.  { 0 } )  oF  x.  (coeff `  0p ) )  =  ( NN0  X.  { 0 } ) )
236, 16, 223eqtr3d 2503 . 2  |-  ( T. 
->  (coeff `  0p
)  =  ( NN0 
X.  { 0 } ) )
2423trud 1407 1  |-  (coeff ` 
0p )  =  ( NN0  X.  {
0 } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1398   T. wtru 1399    e. wcel 1823   _Vcvv 3106    C_ wss 3461   {csn 4016    X. cxp 4986   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    oFcof 6511   CCcc 9479   0cc0 9481    x. cmul 9486   NN0cn0 10791   0pc0p 22242  Polycply 22747  coeffccoe 22749
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591  df-0p 22243  df-ply 22751  df-coe 22753  df-dgr 22754
This theorem is referenced by:  dgreq0  22828  dgrlt  22829  plymul0or  22843  plydivlem4  22858  plymulx  28769  mncn0  31329  aaitgo  31352  n0p  31677  elaa2  32256  aacllem  33604
  Copyright terms: Public domain W3C validator