MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  codir Structured version   Unicode version

Theorem codir 5375
Description: Two ways of saying a relation is directed. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
codir  |-  ( ( A  X.  B ) 
C_  ( `' R  o.  R )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  E. z
( x R z  /\  y R z ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z    x, R, y, z

Proof of Theorem codir
StepHypRef Expression
1 opelxp 5018 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  X.  B
)  <->  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )
2 df-br 4440 . . . . 5  |-  ( x ( `' R  o.  R ) y  <->  <. x ,  y >.  e.  ( `' R  o.  R
) )
3 vex 3109 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
4 vex 3109 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
5 brcodir 5374 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V )  ->  ( x ( `' R  o.  R ) y  <->  E. z ( x R z  /\  y R z ) ) )
63, 4, 5mp2an 670 . . . . 5  |-  ( x ( `' R  o.  R ) y  <->  E. z
( x R z  /\  y R z ) )
72, 6bitr3i 251 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( `' R  o.  R )  <->  E. z
( x R z  /\  y R z ) )
81, 7imbi12i 324 . . 3  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  ( A  X.  B
)  ->  <. x ,  y >.  e.  ( `' R  o.  R
) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  E. z ( x R z  /\  y R z ) ) )
982albii 1646 . 2  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  X.  B
)  ->  <. x ,  y >.  e.  ( `' R  o.  R
) )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  E. z
( x R z  /\  y R z ) ) )
10 relxp 5098 . . 3  |-  Rel  ( A  X.  B )
11 ssrel 5079 . . 3  |-  ( Rel  ( A  X.  B
)  ->  ( ( A  X.  B )  C_  ( `' R  o.  R
)  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  ( A  X.  B )  ->  <. x ,  y >.  e.  ( `' R  o.  R
) ) ) )
1210, 11ax-mp 5 . 2  |-  ( ( A  X.  B ) 
C_  ( `' R  o.  R )  <->  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  ( A  X.  B )  ->  <. x ,  y
>.  e.  ( `' R  o.  R ) ) )
13 r2al 2832 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  E. z ( x R z  /\  y R z )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  E. z
( x R z  /\  y R z ) ) )
149, 12, 133bitr4i 277 1  |-  ( ( A  X.  B ) 
C_  ( `' R  o.  R )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  E. z
( x R z  /\  y R z ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367   A.wal 1396   E.wex 1617    e. wcel 1823   A.wral 2804   _Vcvv 3106    C_ wss 3461   <.cop 4022   class class class wbr 4439    X. cxp 4986   `'ccnv 4987    o. ccom 4992   Rel wrel 4993
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-br 4440  df-opab 4498  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997
This theorem is referenced by:  dirge  16069  filnetlem3  30441
  Copyright terms: Public domain W3C validator