Theorem cocnvcnv2 4409

Description: A composition is not affected by a double converse of its second argument.

Assertion

Ref	Expression
cocnvcnv2	|- (A o. `'`'B) = (A o. B)

Proof of Theorem cocnvcnv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvcnv2 4360	. . 3 |- `'`'B = (B |` _V)
2	1	coeq2i 4126	. 2 |- (A o. `'`'B) = (A o. (B |` _V))
3		resco 4402	. 2 |- ((A o. B) |` _V) = (A o. (B |` _V))
4		relco 4392	. . 3 |- Rel (A o. B)
5		dfrel3 4381	. . 3 |- (Rel (A o. B) <-> ((A o. B) |` _V) = (A o. B))
6	4, 5	mpbi 206	. 2 |- ((A o. B) |` _V) = (A o. B)
7	2, 3, 6	3eqtr2i 1915	1 |- (A o. `'`'B) = (A o. B)

Syntax hints:   = wceq 1298  _Vcvv 2292  `'ccnv 3985   |` cres 3988   o. ccom 3990  Rel wrel 3991

This theorem is referenced by:  dfdm2 4421  cofunex2g 4502

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-res 4006

Copyright terms: Public domain