Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coaval Structured version   Unicode version

Theorem coaval 15270
 Description: Value of composition for composable arrows. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
homdmcoa.o compa
homdmcoa.h Homa
homdmcoa.f
homdmcoa.g
coaval.x comp
Assertion
Ref Expression
coaval

Proof of Theorem coaval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 homdmcoa.o . . 3 compa
2 eqid 2467 . . 3 Nat Nat
3 coaval.x . . 3 comp
41, 2, 3coafval 15266 . 2 Nat Nat coda coda coda
5 homdmcoa.h . . . . 5 Homa
62, 5homarw 15248 . . . 4 Nat
7 homdmcoa.g . . . 4
86, 7sseldi 3507 . . 3 Nat
92, 5homarw 15248 . . . . 5 Nat
10 homdmcoa.f . . . . . 6
1110adantr 465 . . . . 5
129, 11sseldi 3507 . . . 4 Nat
135homacd 15243 . . . . . 6 coda
1411, 13syl 16 . . . . 5 coda
15 simpr 461 . . . . . . 7
1615fveq2d 5876 . . . . . 6
177adantr 465 . . . . . . 7
185homadm 15242 . . . . . . 7
1917, 18syl 16 . . . . . 6
2016, 19eqtrd 2508 . . . . 5
2114, 20eqtr4d 2511 . . . 4 coda
22 fveq2 5872 . . . . . 6 coda coda
2322eqeq1d 2469 . . . . 5 coda coda
2423elrab 3266 . . . 4 Nat coda Nat coda
2512, 21, 24sylanbrc 664 . . 3 Nat coda
26 otex 4718 . . . 4 coda coda
2726a1i 11 . . 3 coda coda
28 simprr 756 . . . . . 6
2928fveq2d 5876 . . . . 5
305homadm 15242 . . . . . . 7
3111, 30syl 16 . . . . . 6
3231adantrr 716 . . . . 5
3329, 32eqtrd 2508 . . . 4
3415fveq2d 5876 . . . . . 6 coda coda
355homacd 15243 . . . . . . 7 coda
3617, 35syl 16 . . . . . 6 coda
3734, 36eqtrd 2508 . . . . 5 coda
3837adantrr 716 . . . 4 coda
3920adantrr 716 . . . . . . 7
4033, 39opeq12d 4227 . . . . . 6
4140, 38oveq12d 6313 . . . . 5 coda
42 simprl 755 . . . . . 6
4342fveq2d 5876 . . . . 5
4428fveq2d 5876 . . . . 5
4541, 43, 44oveq123d 6316 . . . 4 coda
4633, 38, 45oteq123d 4234 . . 3 coda coda
478, 25, 27, 46ovmpt2dv2 6431 . 2 Nat Nat coda coda coda
484, 47mpi 17 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  crab 2821  cvv 3118  cop 4039  cotp 4041  cfv 5594  (class class class)co 6295   cmpt2 6297  c2nd 6794  compcco 14584  cdoma 15222  codaccoda 15223  Natcarw 15224  Homachoma 15225  compaccoa 15256 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-ot 4042  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-doma 15226  df-coda 15227  df-homa 15228  df-arw 15229  df-coa 15258 This theorem is referenced by:  coa2  15271  coahom  15272  arwlid  15274  arwrid  15275  arwass  15276
 Copyright terms: Public domain W3C validator