MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coass Structured version   Unicode version

Theorem coass 5361
Description: Associative law for class composition. Theorem 27 of [Suppes] p. 64. Also Exercise 21 of [Enderton] p. 53. Interestingly, this law holds for any classes whatsoever, not just functions or even relations. (Contributed by NM, 27-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
coass  |-  ( ( A  o.  B )  o.  C )  =  ( A  o.  ( B  o.  C )
)

Proof of Theorem coass
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relco 5341 . 2  |-  Rel  (
( A  o.  B
)  o.  C )
2 relco 5341 . 2  |-  Rel  ( A  o.  ( B  o.  C ) )
3 excom 1787 . . . 4  |-  ( E. z E. w ( x C z  /\  ( z B w  /\  w A y ) )  <->  E. w E. z ( x C z  /\  ( z B w  /\  w A y ) ) )
4 anass 649 . . . . 5  |-  ( ( ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y )  <->  ( x C z  /\  (
z B w  /\  w A y ) ) )
542exbii 1635 . . . 4  |-  ( E. w E. z ( ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y )  <->  E. w E. z ( x C z  /\  ( z B w  /\  w A y ) ) )
63, 5bitr4i 252 . . 3  |-  ( E. z E. w ( x C z  /\  ( z B w  /\  w A y ) )  <->  E. w E. z ( ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y ) )
7 vex 2980 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
8 vex 2980 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
97, 8brco 5015 . . . . . 6  |-  ( z ( A  o.  B
) y  <->  E. w
( z B w  /\  w A y ) )
109anbi2i 694 . . . . 5  |-  ( ( x C z  /\  z ( A  o.  B ) y )  <-> 
( x C z  /\  E. w ( z B w  /\  w A y ) ) )
1110exbii 1634 . . . 4  |-  ( E. z ( x C z  /\  z ( A  o.  B ) y )  <->  E. z
( x C z  /\  E. w ( z B w  /\  w A y ) ) )
12 vex 2980 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
1312, 8opelco 5016 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( A  o.  B )  o.  C
)  <->  E. z ( x C z  /\  z
( A  o.  B
) y ) )
14 exdistr 1925 . . . 4  |-  ( E. z E. w ( x C z  /\  ( z B w  /\  w A y ) )  <->  E. z
( x C z  /\  E. w ( z B w  /\  w A y ) ) )
1511, 13, 143bitr4i 277 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( A  o.  B )  o.  C
)  <->  E. z E. w
( x C z  /\  ( z B w  /\  w A y ) ) )
16 vex 2980 . . . . . . 7  |-  w  e. 
_V
1712, 16brco 5015 . . . . . 6  |-  ( x ( B  o.  C
) w  <->  E. z
( x C z  /\  z B w ) )
1817anbi1i 695 . . . . 5  |-  ( ( x ( B  o.  C ) w  /\  w A y )  <->  ( E. z ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y ) )
1918exbii 1634 . . . 4  |-  ( E. w ( x ( B  o.  C ) w  /\  w A y )  <->  E. w
( E. z ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y ) )
2012, 8opelco 5016 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  o.  ( B  o.  C )
)  <->  E. w ( x ( B  o.  C
) w  /\  w A y ) )
21 19.41v 1920 . . . . 5  |-  ( E. z ( ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y )  <->  ( E. z ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y ) )
2221exbii 1634 . . . 4  |-  ( E. w E. z ( ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y )  <->  E. w
( E. z ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y ) )
2319, 20, 223bitr4i 277 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  o.  ( B  o.  C )
)  <->  E. w E. z
( ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y ) )
246, 15, 233bitr4i 277 . 2  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( A  o.  B )  o.  C
)  <->  <. x ,  y
>.  e.  ( A  o.  ( B  o.  C
) ) )
251, 2, 24eqrelriiv 4939 1  |-  ( ( A  o.  B )  o.  C )  =  ( A  o.  ( B  o.  C )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   <.cop 3888   class class class wbr 4297    o. ccom 4849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pr 4536
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-br 4298  df-opab 4356  df-xp 4851  df-rel 4852  df-co 4854
This theorem is referenced by:  funcoeqres  5676  fcof1o  6002  tposco  6781  mapen  7480  mapfien  7662  mapfienOLD  7932  hashfacen  12212  cofuass  14804  setccatid  14957  frmdup3  15549  symggrp  15910  f1omvdco2  15959  symggen  15981  psgnunilem1  16004  gsumval3OLD  16387  gsumval3  16390  gsumzf1o  16396  gsumzf1oOLD  16399  gsumzmhm  16435  gsumzmhmOLD  16436  prds1  16711  psrass1lem  17452  pf1mpf  17791  pf1ind  17794  qtophmeo  19395  uniioombllem2  21068  cncombf  21141  pjsdi2i  25566  pjadj2coi  25613  pj3lem1  25615  pj3i  25617  fcobij  26030  fcobijfs  26031  derangenlem  27064  subfacp1lem5  27077  erdsze2lem2  27097  relexpsucl  27339  relexpadd  27345  pprodcnveq  27919  cocnv  28624  diophrw  29102  eldioph2  29105  mendrng  29554  ltrncoidN  33777  trlcoabs2N  34371  trlcoat  34372  trlcone  34377  cdlemg46  34384  cdlemg47  34385  ltrnco4  34388  tgrpgrplem  34398  tendoplass  34432  cdlemi2  34468  cdlemk2  34481  cdlemk4  34483  cdlemk8  34487  cdlemk45  34596  cdlemk54  34607  cdlemk55a  34608  erngdvlem3  34639  erngdvlem3-rN  34647  tendocnv  34671  dvhvaddass  34747  dvhlveclem  34758  cdlemn8  34854  dihopelvalcpre  34898  dih1dimatlem0  34978
  Copyright terms: Public domain W3C validator