MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coass Structured version   Unicode version

Theorem coass 5526
Description: Associative law for class composition. Theorem 27 of [Suppes] p. 64. Also Exercise 21 of [Enderton] p. 53. Interestingly, this law holds for any classes whatsoever, not just functions or even relations. (Contributed by NM, 27-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
coass  |-  ( ( A  o.  B )  o.  C )  =  ( A  o.  ( B  o.  C )
)

Proof of Theorem coass
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relco 5505 . 2  |-  Rel  (
( A  o.  B
)  o.  C )
2 relco 5505 . 2  |-  Rel  ( A  o.  ( B  o.  C ) )
3 excom 1798 . . . 4  |-  ( E. z E. w ( x C z  /\  ( z B w  /\  w A y ) )  <->  E. w E. z ( x C z  /\  ( z B w  /\  w A y ) ) )
4 anass 649 . . . . 5  |-  ( ( ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y )  <->  ( x C z  /\  (
z B w  /\  w A y ) ) )
542exbii 1645 . . . 4  |-  ( E. w E. z ( ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y )  <->  E. w E. z ( x C z  /\  ( z B w  /\  w A y ) ) )
63, 5bitr4i 252 . . 3  |-  ( E. z E. w ( x C z  /\  ( z B w  /\  w A y ) )  <->  E. w E. z ( ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y ) )
7 vex 3116 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
8 vex 3116 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
97, 8brco 5173 . . . . . 6  |-  ( z ( A  o.  B
) y  <->  E. w
( z B w  /\  w A y ) )
109anbi2i 694 . . . . 5  |-  ( ( x C z  /\  z ( A  o.  B ) y )  <-> 
( x C z  /\  E. w ( z B w  /\  w A y ) ) )
1110exbii 1644 . . . 4  |-  ( E. z ( x C z  /\  z ( A  o.  B ) y )  <->  E. z
( x C z  /\  E. w ( z B w  /\  w A y ) ) )
12 vex 3116 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
1312, 8opelco 5174 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( A  o.  B )  o.  C
)  <->  E. z ( x C z  /\  z
( A  o.  B
) y ) )
14 exdistr 1950 . . . 4  |-  ( E. z E. w ( x C z  /\  ( z B w  /\  w A y ) )  <->  E. z
( x C z  /\  E. w ( z B w  /\  w A y ) ) )
1511, 13, 143bitr4i 277 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( A  o.  B )  o.  C
)  <->  E. z E. w
( x C z  /\  ( z B w  /\  w A y ) ) )
16 vex 3116 . . . . . . 7  |-  w  e. 
_V
1712, 16brco 5173 . . . . . 6  |-  ( x ( B  o.  C
) w  <->  E. z
( x C z  /\  z B w ) )
1817anbi1i 695 . . . . 5  |-  ( ( x ( B  o.  C ) w  /\  w A y )  <->  ( E. z ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y ) )
1918exbii 1644 . . . 4  |-  ( E. w ( x ( B  o.  C ) w  /\  w A y )  <->  E. w
( E. z ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y ) )
2012, 8opelco 5174 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  o.  ( B  o.  C )
)  <->  E. w ( x ( B  o.  C
) w  /\  w A y ) )
21 19.41v 1945 . . . . 5  |-  ( E. z ( ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y )  <->  ( E. z ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y ) )
2221exbii 1644 . . . 4  |-  ( E. w E. z ( ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y )  <->  E. w
( E. z ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y ) )
2319, 20, 223bitr4i 277 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  o.  ( B  o.  C )
)  <->  E. w E. z
( ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y ) )
246, 15, 233bitr4i 277 . 2  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( A  o.  B )  o.  C
)  <->  <. x ,  y
>.  e.  ( A  o.  ( B  o.  C
) ) )
251, 2, 24eqrelriiv 5097 1  |-  ( ( A  o.  B )  o.  C )  =  ( A  o.  ( B  o.  C )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   <.cop 4033   class class class wbr 4447    o. ccom 5003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-br 4448  df-opab 4506  df-xp 5005  df-rel 5006  df-co 5008
This theorem is referenced by:  funcoeqres  5846  fcof1oinvd  6184  tposco  6986  mapen  7681  mapfien  7867  mapfienOLD  8138  hashfacen  12469  cofuass  15116  setccatid  15269  frmdup3  15866  symggrp  16230  f1omvdco2  16279  symggen  16301  psgnunilem1  16324  gsumval3OLD  16711  gsumval3  16714  gsumzf1o  16720  gsumzf1oOLD  16723  gsumzmhm  16760  gsumzmhmOLD  16761  prds1  17064  psrass1lem  17828  pf1mpf  18187  pf1ind  18190  qtophmeo  20081  uniioombllem2  21755  cncombf  21828  motgrp  23686  pjsdi2i  26780  pjadj2coi  26827  pj3lem1  26829  pj3i  26831  fcoinver  27161  fcobij  27248  fcobijfs  27249  derangenlem  28283  subfacp1lem5  28296  erdsze2lem2  28316  relexpsucl  28558  relexpadd  28564  pprodcnveq  29138  cocnv  29847  diophrw  30324  eldioph2  30327  mendrng  30774  ltrncoidN  34942  trlcoabs2N  35536  trlcoat  35537  trlcone  35542  cdlemg46  35549  cdlemg47  35550  ltrnco4  35553  tgrpgrplem  35563  tendoplass  35597  cdlemi2  35633  cdlemk2  35646  cdlemk4  35648  cdlemk8  35652  cdlemk45  35761  cdlemk54  35772  cdlemk55a  35773  erngdvlem3  35804  erngdvlem3-rN  35812  tendocnv  35836  dvhvaddass  35912  dvhlveclem  35923  cdlemn8  36019  dihopelvalcpre  36063  dih1dimatlem0  36143
  Copyright terms: Public domain W3C validator