MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coass Structured version   Unicode version

Theorem coass 5509
Description: Associative law for class composition. Theorem 27 of [Suppes] p. 64. Also Exercise 21 of [Enderton] p. 53. Interestingly, this law holds for any classes whatsoever, not just functions or even relations. (Contributed by NM, 27-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
coass  |-  ( ( A  o.  B )  o.  C )  =  ( A  o.  ( B  o.  C )
)

Proof of Theorem coass
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relco 5488 . 2  |-  Rel  (
( A  o.  B
)  o.  C )
2 relco 5488 . 2  |-  Rel  ( A  o.  ( B  o.  C ) )
3 excom 1854 . . . 4  |-  ( E. z E. w ( x C z  /\  ( z B w  /\  w A y ) )  <->  E. w E. z ( x C z  /\  ( z B w  /\  w A y ) ) )
4 anass 647 . . . . 5  |-  ( ( ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y )  <->  ( x C z  /\  (
z B w  /\  w A y ) ) )
542exbii 1673 . . . 4  |-  ( E. w E. z ( ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y )  <->  E. w E. z ( x C z  /\  ( z B w  /\  w A y ) ) )
63, 5bitr4i 252 . . 3  |-  ( E. z E. w ( x C z  /\  ( z B w  /\  w A y ) )  <->  E. w E. z ( ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y ) )
7 vex 3109 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
8 vex 3109 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
97, 8brco 5162 . . . . . 6  |-  ( z ( A  o.  B
) y  <->  E. w
( z B w  /\  w A y ) )
109anbi2i 692 . . . . 5  |-  ( ( x C z  /\  z ( A  o.  B ) y )  <-> 
( x C z  /\  E. w ( z B w  /\  w A y ) ) )
1110exbii 1672 . . . 4  |-  ( E. z ( x C z  /\  z ( A  o.  B ) y )  <->  E. z
( x C z  /\  E. w ( z B w  /\  w A y ) ) )
12 vex 3109 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
1312, 8opelco 5163 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( A  o.  B )  o.  C
)  <->  E. z ( x C z  /\  z
( A  o.  B
) y ) )
14 exdistr 1781 . . . 4  |-  ( E. z E. w ( x C z  /\  ( z B w  /\  w A y ) )  <->  E. z
( x C z  /\  E. w ( z B w  /\  w A y ) ) )
1511, 13, 143bitr4i 277 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( A  o.  B )  o.  C
)  <->  E. z E. w
( x C z  /\  ( z B w  /\  w A y ) ) )
16 vex 3109 . . . . . . 7  |-  w  e. 
_V
1712, 16brco 5162 . . . . . 6  |-  ( x ( B  o.  C
) w  <->  E. z
( x C z  /\  z B w ) )
1817anbi1i 693 . . . . 5  |-  ( ( x ( B  o.  C ) w  /\  w A y )  <->  ( E. z ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y ) )
1918exbii 1672 . . . 4  |-  ( E. w ( x ( B  o.  C ) w  /\  w A y )  <->  E. w
( E. z ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y ) )
2012, 8opelco 5163 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  o.  ( B  o.  C )
)  <->  E. w ( x ( B  o.  C
) w  /\  w A y ) )
21 19.41v 1776 . . . . 5  |-  ( E. z ( ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y )  <->  ( E. z ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y ) )
2221exbii 1672 . . . 4  |-  ( E. w E. z ( ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y )  <->  E. w
( E. z ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y ) )
2319, 20, 223bitr4i 277 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  o.  ( B  o.  C )
)  <->  E. w E. z
( ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y ) )
246, 15, 233bitr4i 277 . 2  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( A  o.  B )  o.  C
)  <->  <. x ,  y
>.  e.  ( A  o.  ( B  o.  C
) ) )
251, 2, 24eqrelriiv 5085 1  |-  ( ( A  o.  B )  o.  C )  =  ( A  o.  ( B  o.  C )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 367    = wceq 1398   E.wex 1617    e. wcel 1823   <.cop 4022   class class class wbr 4439    o. ccom 4992
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-br 4440  df-opab 4498  df-xp 4994  df-rel 4995  df-co 4997
This theorem is referenced by:  funcoeqres  5828  fcof1oinvd  6171  tposco  6978  mapen  7674  mapfien  7859  mapfienOLD  8129  hashfacen  12487  relexpsucnnl  12947  relexpaddnn  12966  cofuass  15377  setccatid  15562  estrccatid  15600  frmdup3lem  16233  symggrp  16624  f1omvdco2  16672  symggen  16694  psgnunilem1  16717  gsumval3OLD  17107  gsumval3  17110  gsumzf1o  17116  gsumzf1oOLD  17119  gsumzmhm  17155  gsumzmhmOLD  17156  prds1  17458  psrass1lem  18224  pf1mpf  18583  pf1ind  18586  qtophmeo  20484  uniioombllem2  22158  cncombf  22231  motgrp  24131  pjsdi2i  27274  pjadj2coi  27321  pj3lem1  27323  pj3i  27325  fcoinver  27674  fcobij  27779  fcobijfs  27780  derangenlem  28879  subfacp1lem5  28892  erdsze2lem2  28912  pprodcnveq  29761  cocnv  30456  diophrw  30931  eldioph2  30934  mendring  31382  rngccatidALTV  33051  ringccatidALTV  33114  ltrncoidN  36249  trlcoabs2N  36845  trlcoat  36846  trlcone  36851  cdlemg46  36858  cdlemg47  36859  ltrnco4  36862  tgrpgrplem  36872  tendoplass  36906  cdlemi2  36942  cdlemk2  36955  cdlemk4  36957  cdlemk8  36961  cdlemk45  37070  cdlemk54  37081  cdlemk55a  37082  erngdvlem3  37113  erngdvlem3-rN  37121  tendocnv  37145  dvhvaddass  37221  dvhlveclem  37232  cdlemn8  37328  dihopelvalcpre  37372  dih1dimatlem0  37452  corclrtrcl  38234  cotrclrtrcl  38235  cortrclrcl  38236  cortrcltrcl  38237  cortrclrtrcl  38238
  Copyright terms: Public domain W3C validator