Theorem co02 5348

Description: Composition with the empty set. Theorem 20 of [Suppes] p. 63. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
co02	|- ( A o. (/) ) = (/)

Proof of Theorem co02

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relco 5332	. 2 |- Rel ( A o. (/) )
2		rel0 4957	. 2 |- Rel (/)
3		br0 4448	. . . . . 6 |- -. x (/) z
4	3	intnanr 925	. . . . 5 |- -. ( x (/) z /\ z A y )
5	4	nex 1677	. . . 4 |- -. E. z ( x (/) z /\ z A y )
6		vex 3047	. . . . 5 |- x e. _V
7		vex 3047	. . . . 5 |- y e. _V
8	6, 7	opelco 5005	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( A o. (/) ) <-> E. z ( x (/) z /\ z A y ) )
9	5, 8	mtbir 301	. . 3 |- -. <. x , y >. e. ( A o. (/) )
10		noel 3734	. . 3 |- -. <. x , y >. e. (/)
11	9, 10	2false 352	. 2 |- ( <. x , y >. e. ( A o. (/) ) <-> <. x , y >. e. (/) )
12	1, 2, 11	eqrelriiv 4928	1 |- ( A o. (/) ) = (/)

Syntax hints:   /\ wa 371   = wceq 1443   E.wex 1662   e. wcel 1886   (/)c0 3730   <.cop 3973   class class class wbr 4401   o. ccom 4837

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pr 4638

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 3046  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-br 4402  df-opab 4461  df-xp 4839  df-rel 4840  df-co 4842

This theorem is referenced by:  co01  5349  gsumwmhm  16622  frmdgsum  16639  frmdup1  16641  efginvrel2  17370  0frgp  17422  evl1fval  18909  ust0  21227  utop2nei  21258  tngds  21649  mrsub0  30147  dfpo2  30388  cononrel1  36194