MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  co02 Unicode version

Theorem co02 5092
Description: Composition with the empty set. Theorem 20 of [Suppes] p. 63. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
co02  |-  ( A  o.  (/) )  =  (/)

Proof of Theorem co02
StepHypRef Expression
1 relco 5077 . 2  |-  Rel  ( A  o.  (/) )
2 rel0 4717 . 2  |-  Rel  (/)
3 noel 3366 . . . . . . 7  |-  -.  <. x ,  z >.  e.  (/)
4 df-br 3921 . . . . . . 7  |-  ( x
(/) z  <->  <. x ,  z >.  e.  (/) )
53, 4mtbir 292 . . . . . 6  |-  -.  x (/) z
65intnanr 886 . . . . 5  |-  -.  (
x (/) z  /\  z A y )
76nex 1587 . . . 4  |-  -.  E. z ( x (/) z  /\  z A y )
8 vex 2730 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
9 vex 2730 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
108, 9opelco 4760 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  o.  (/) )  <->  E. z
( x (/) z  /\  z A y ) )
117, 10mtbir 292 . . 3  |-  -.  <. x ,  y >.  e.  ( A  o.  (/) )
12 noel 3366 . . 3  |-  -.  <. x ,  y >.  e.  (/)
1311, 122false 341 . 2  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  o.  (/) )  <->  <. x ,  y >.  e.  (/) )
141, 2, 13eqrelriiv 4688 1  |-  ( A  o.  (/) )  =  (/)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   (/)c0 3362   <.cop 3547   class class class wbr 3920    o. ccom 4584
This theorem is referenced by:  co01  5093  gsumwmhm  14302  frmdgsum  14319  frmdup1  14321  efginvrel2  14871  0frgp  14923  tngds  17996  evl1fval  19242  dfpo2  23282
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-br 3921  df-opab 3975  df-xp 4594  df-rel 4595  df-co 4597
  Copyright terms: Public domain W3C validator