MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  co02 Structured version   Unicode version

Theorem co02 5351
Description: Composition with the empty set. Theorem 20 of [Suppes] p. 63. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
co02  |-  ( A  o.  (/) )  =  (/)

Proof of Theorem co02
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relco 5336 . 2  |-  Rel  ( A  o.  (/) )
2 rel0 4964 . 2  |-  Rel  (/)
3 noel 3641 . . . . . . 7  |-  -.  <. x ,  z >.  e.  (/)
4 df-br 4293 . . . . . . 7  |-  ( x
(/) z  <->  <. x ,  z >.  e.  (/) )
53, 4mtbir 299 . . . . . 6  |-  -.  x (/) z
65intnanr 906 . . . . 5  |-  -.  (
x (/) z  /\  z A y )
76nex 1600 . . . 4  |-  -.  E. z ( x (/) z  /\  z A y )
8 vex 2975 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
9 vex 2975 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
108, 9opelco 5011 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  o.  (/) )  <->  E. z
( x (/) z  /\  z A y ) )
117, 10mtbir 299 . . 3  |-  -.  <. x ,  y >.  e.  ( A  o.  (/) )
12 noel 3641 . . 3  |-  -.  <. x ,  y >.  e.  (/)
1311, 122false 350 . 2  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  o.  (/) )  <->  <. x ,  y >.  e.  (/) )
141, 2, 13eqrelriiv 4934 1  |-  ( A  o.  (/) )  =  (/)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   (/)c0 3637   <.cop 3883   class class class wbr 4292    o. ccom 4844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pr 4531
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-br 4293  df-opab 4351  df-xp 4846  df-rel 4847  df-co 4849
This theorem is referenced by:  co01  5352  gsumwmhm  15523  frmdgsum  15540  frmdup1  15542  efginvrel2  16224  0frgp  16276  evl1fval  17762  ust0  19794  utop2nei  19825  tngds  20234  dfpo2  27565
  Copyright terms: Public domain W3C validator