MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  co02 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem co02 5348
Description: Composition with the empty set. Theorem 20 of [Suppes] p. 63. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
co02  |-  ( A  o.  (/) )  =  (/)

Proof of Theorem co02
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relco 5332 . 2  |-  Rel  ( A  o.  (/) )
2 rel0 4957 . 2  |-  Rel  (/)
3 br0 4448 . . . . . 6  |-  -.  x (/) z
43intnanr 925 . . . . 5  |-  -.  (
x (/) z  /\  z A y )
54nex 1677 . . . 4  |-  -.  E. z ( x (/) z  /\  z A y )
6 vex 3047 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
7 vex 3047 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
86, 7opelco 5005 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  o.  (/) )  <->  E. z
( x (/) z  /\  z A y ) )
95, 8mtbir 301 . . 3  |-  -.  <. x ,  y >.  e.  ( A  o.  (/) )
10 noel 3734 . . 3  |-  -.  <. x ,  y >.  e.  (/)
119, 102false 352 . 2  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  o.  (/) )  <->  <. x ,  y >.  e.  (/) )
121, 2, 11eqrelriiv 4928 1  |-  ( A  o.  (/) )  =  (/)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 371    = wceq 1443   E.wex 1662    e. wcel 1886   (/)c0 3730   <.cop 3973   class class class wbr 4401    o. ccom 4837
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pr 4638
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 3046  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-br 4402  df-opab 4461  df-xp 4839  df-rel 4840  df-co 4842
This theorem is referenced by:  co01  5349  gsumwmhm  16622  frmdgsum  16639  frmdup1  16641  efginvrel2  17370  0frgp  17422  evl1fval  18909  ust0  21227  utop2nei  21258  tngds  21649  mrsub0  30147  dfpo2  30388  cononrel1  36194
  Copyright terms: Public domain W3C validator