Theorem co02 5360

Description: Composition with the empty set. Theorem 20 of [Suppes] p. 63. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
co02	|- ( A o. (/) ) = (/)

Proof of Theorem co02

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relco 5344	. 2 |- Rel ( A o. (/) )
2		rel0 4969	. 2 |- Rel (/)
3		br0 4463	. . . . . 6 |- -. x (/) z
4	3	intnanr 923	. . . . 5 |- -. ( x (/) z /\ z A y )
5	4	nex 1674	. . . 4 |- -. E. z ( x (/) z /\ z A y )
6		vex 3081	. . . . 5 |- x e. _V
7		vex 3081	. . . . 5 |- y e. _V
8	6, 7	opelco 5017	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( A o. (/) ) <-> E. z ( x (/) z /\ z A y ) )
9	5, 8	mtbir 300	. . 3 |- -. <. x , y >. e. ( A o. (/) )
10		noel 3762	. . 3 |- -. <. x , y >. e. (/)
11	9, 10	2false 351	. 2 |- ( <. x , y >. e. ( A o. (/) ) <-> <. x , y >. e. (/) )
12	1, 2, 11	eqrelriiv 4940	1 |- ( A o. (/) ) = (/)

Syntax hints:   /\ wa 370   = wceq 1437   E.wex 1659   e. wcel 1867   (/)c0 3758   <.cop 3999   class class class wbr 4417   o. ccom 4849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pr 4652

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-rab 2782  df-v 3080  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-br 4418  df-opab 4476  df-xp 4851  df-rel 4852  df-co 4854

This theorem is referenced by:  co01  5361  gsumwmhm  16581  frmdgsum  16598  frmdup1  16600  efginvrel2  17318  0frgp  17370  evl1fval  18857  ust0  21171  utop2nei  21202  tngds  21593  mrsub0  29983  dfpo2  30223