MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  co02 Structured version   Unicode version

Theorem co02 5348
Description: Composition with the empty set. Theorem 20 of [Suppes] p. 63. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
co02  |-  ( A  o.  (/) )  =  (/)

Proof of Theorem co02
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relco 5333 . 2  |-  Rel  ( A  o.  (/) )
2 rel0 4960 . 2  |-  Rel  (/)
3 noel 3638 . . . . . . 7  |-  -.  <. x ,  z >.  e.  (/)
4 df-br 4290 . . . . . . 7  |-  ( x
(/) z  <->  <. x ,  z >.  e.  (/) )
53, 4mtbir 299 . . . . . 6  |-  -.  x (/) z
65intnanr 901 . . . . 5  |-  -.  (
x (/) z  /\  z A y )
76nex 1605 . . . 4  |-  -.  E. z ( x (/) z  /\  z A y )
8 vex 2973 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
9 vex 2973 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
108, 9opelco 5007 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  o.  (/) )  <->  E. z
( x (/) z  /\  z A y ) )
117, 10mtbir 299 . . 3  |-  -.  <. x ,  y >.  e.  ( A  o.  (/) )
12 noel 3638 . . 3  |-  -.  <. x ,  y >.  e.  (/)
1311, 122false 350 . 2  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  o.  (/) )  <->  <. x ,  y >.  e.  (/) )
141, 2, 13eqrelriiv 4930 1  |-  ( A  o.  (/) )  =  (/)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1364   E.wex 1591    e. wcel 1761   (/)c0 3634   <.cop 3880   class class class wbr 4289    o. ccom 4840
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pr 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-br 4290  df-opab 4348  df-xp 4842  df-rel 4843  df-co 4845
This theorem is referenced by:  co01  5349  gsumwmhm  15516  frmdgsum  15533  frmdup1  15535  efginvrel2  16217  0frgp  16269  ust0  19694  utop2nei  19725  tngds  20134  evl1fval  21436  dfpo2  27478
  Copyright terms: Public domain W3C validator