MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  co02 Structured version   Unicode version

Theorem co02 5360
Description: Composition with the empty set. Theorem 20 of [Suppes] p. 63. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
co02  |-  ( A  o.  (/) )  =  (/)

Proof of Theorem co02
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relco 5344 . 2  |-  Rel  ( A  o.  (/) )
2 rel0 4969 . 2  |-  Rel  (/)
3 br0 4463 . . . . . 6  |-  -.  x (/) z
43intnanr 923 . . . . 5  |-  -.  (
x (/) z  /\  z A y )
54nex 1674 . . . 4  |-  -.  E. z ( x (/) z  /\  z A y )
6 vex 3081 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
7 vex 3081 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
86, 7opelco 5017 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  o.  (/) )  <->  E. z
( x (/) z  /\  z A y ) )
95, 8mtbir 300 . . 3  |-  -.  <. x ,  y >.  e.  ( A  o.  (/) )
10 noel 3762 . . 3  |-  -.  <. x ,  y >.  e.  (/)
119, 102false 351 . 2  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  o.  (/) )  <->  <. x ,  y >.  e.  (/) )
121, 2, 11eqrelriiv 4940 1  |-  ( A  o.  (/) )  =  (/)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 370    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1867   (/)c0 3758   <.cop 3999   class class class wbr 4417    o. ccom 4849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pr 4652
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-rab 2782  df-v 3080  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-br 4418  df-opab 4476  df-xp 4851  df-rel 4852  df-co 4854
This theorem is referenced by:  co01  5361  gsumwmhm  16581  frmdgsum  16598  frmdup1  16600  efginvrel2  17318  0frgp  17370  evl1fval  18857  ust0  21171  utop2nei  21202  tngds  21593  mrsub0  29983  dfpo2  30223
  Copyright terms: Public domain W3C validator