MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnxmet Unicode version

Theorem cnxmet 18760
Description: The absolute value metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnxmet  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )

Proof of Theorem cnxmet
StepHypRef Expression
1 cnmet 18759 . 2  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( Met `  CC )
2 metxmet 18317 . 2  |-  ( ( abs  o.  -  )  e.  ( Met `  CC )  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC ) )
31, 2ax-mp 8 1  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1721    o. ccom 4841   ` cfv 5413   CCcc 8944    - cmin 9247   abscabs 11994   * Metcxmt 16641   Metcme 16642
This theorem is referenced by:  cnbl0  18761  cnfldms  18763  cnfldtopn  18769  cnfldhaus  18772  blcvx  18782  tgioo2  18787  recld2  18798  zdis  18800  reperflem  18802  addcnlem  18847  divcn  18851  iitopon  18862  dfii3  18866  cncfmet  18891  cncfcn  18892  cnheibor  18933  cnllycmp  18934  ipcn  19153  lmclim  19208  cnflduss  19263  ellimc3  19719  dvlipcn  19831  dvlip2  19832  dv11cn  19838  lhop1lem  19850  ftc1lem6  19878  ulmdvlem1  20269  ulmdvlem3  20271  psercn  20295  pserdvlem2  20297  pserdv  20298  abelthlem2  20301  abelthlem3  20302  abelthlem5  20304  abelthlem7  20307  abelth  20310  dvlog2lem  20496  dvlog2  20497  efopnlem2  20501  efopn  20502  logtayl  20504  logtayl2  20506  cxpcn3  20585  rlimcnp  20757  xrlimcnp  20760  efrlim  20761  ftalem3  20810  smcnlem  22146  hhcnf  23361  tpr2rico  24263  reust  24297  qqhucn  24329  rrhre  24340  lgamucov  24775  lgamcvg2  24792  blscon  24884  cnllyscon  24885  ftc1cnnc  26178  cntotbnd  26395  reheibor  26438  stirlinglem5  27694
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-xadd 10667  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-xmet 16650  df-met 16651
  Copyright terms: Public domain W3C validator