MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnxmet Structured version   Unicode version

Theorem cnxmet 21010
Description: The absolute value metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnxmet  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )

Proof of Theorem cnxmet
StepHypRef Expression
1 cnmet 21009 . 2  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( Met `  CC )
2 metxmet 20567 . 2  |-  ( ( abs  o.  -  )  e.  ( Met `  CC )  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
31, 2ax-mp 5 1  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1762    o. ccom 4998   ` cfv 5581   CCcc 9481    - cmin 9796   abscabs 13019   *Metcxmt 18169   Metcme 18170
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-sup 7892  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-rp 11212  df-xadd 11310  df-seq 12066  df-exp 12125  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-xmet 18178  df-met 18179
This theorem is referenced by:  cnbl0  21011  cnfldms  21013  cnfldtopn  21019  cnfldhaus  21022  blcvx  21033  tgioo2  21038  recld2  21049  zdis  21051  reperflem  21053  addcnlem  21098  divcn  21102  iitopon  21113  dfii3  21117  cncfmet  21142  cncfcn  21143  cnheibor  21185  cnllycmp  21186  ipcn  21416  lmclim  21471  cnflduss  21526  reust  21543  ellimc3  22013  dvlipcn  22125  dvlip2  22126  dv11cn  22132  lhop1lem  22144  ftc1lem6  22172  ulmdvlem1  22524  ulmdvlem3  22526  psercn  22550  pserdvlem2  22552  pserdv  22553  abelthlem2  22556  abelthlem3  22557  abelthlem5  22559  abelthlem7  22562  abelth  22565  dvlog2lem  22756  dvlog2  22757  efopnlem2  22761  efopn  22762  logtayl  22764  logtayl2  22766  cxpcn3  22845  rlimcnp  23018  xrlimcnp  23021  efrlim  23022  ftalem3  23071  smcnlem  25271  hhcnf  26488  tpr2rico  27518  qqhucn  27597  lgamucov  28208  lgamcvg2  28225  blscon  28317  cnllyscon  28318  ftc1cnnc  29655  cntotbnd  29884  reheibor  29927  iooabslt  31053  limcrecl  31128  islpcn  31138  stirlinglem5  31335
  Copyright terms: Public domain W3C validator