MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnxmet Structured version   Unicode version

Theorem cnxmet 20374
Description: The absolute value metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnxmet  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )

Proof of Theorem cnxmet
StepHypRef Expression
1 cnmet 20373 . 2  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( Met `  CC )
2 metxmet 19931 . 2  |-  ( ( abs  o.  -  )  e.  ( Met `  CC )  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
31, 2ax-mp 5 1  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1756    o. ccom 4865   ` cfv 5439   CCcc 9301    - cmin 9616   abscabs 12744   *Metcxmt 17823   Metcme 17824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-er 7122  df-map 7237  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-sup 7712  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-rp 11013  df-xadd 11111  df-seq 11828  df-exp 11887  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-xmet 17832  df-met 17833
This theorem is referenced by:  cnbl0  20375  cnfldms  20377  cnfldtopn  20383  cnfldhaus  20386  blcvx  20397  tgioo2  20402  recld2  20413  zdis  20415  reperflem  20417  addcnlem  20462  divcn  20466  iitopon  20477  dfii3  20481  cncfmet  20506  cncfcn  20507  cnheibor  20549  cnllycmp  20550  ipcn  20780  lmclim  20835  cnflduss  20890  reust  20907  ellimc3  21376  dvlipcn  21488  dvlip2  21489  dv11cn  21495  lhop1lem  21507  ftc1lem6  21535  ulmdvlem1  21887  ulmdvlem3  21889  psercn  21913  pserdvlem2  21915  pserdv  21916  abelthlem2  21919  abelthlem3  21920  abelthlem5  21922  abelthlem7  21925  abelth  21928  dvlog2lem  22119  dvlog2  22120  efopnlem2  22124  efopn  22125  logtayl  22127  logtayl2  22129  cxpcn3  22208  rlimcnp  22381  xrlimcnp  22384  efrlim  22385  ftalem3  22434  smcnlem  24114  hhcnf  25331  tpr2rico  26364  qqhucn  26443  lgamucov  27046  lgamcvg2  27063  blscon  27155  cnllyscon  27156  ftc1cnnc  28492  cntotbnd  28721  reheibor  28764  stirlinglem5  29899
  Copyright terms: Public domain W3C validator