HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cnvunop Structured version   Unicode version

Theorem cnvunop 26501
Description: The inverse (converse) of a unitary operator in Hilbert space is unitary. Theorem in [AkhiezerGlazman] p. 72. (Contributed by NM, 22-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
cnvunop  |-  ( T  e.  UniOp  ->  `' T  e.  UniOp )

Proof of Theorem cnvunop
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unopf1o 26499 . . 3  |-  ( T  e.  UniOp  ->  T : ~H
-1-1-onto-> ~H )
2 f1ocnv 5821 . . . 4  |-  ( T : ~H -1-1-onto-> ~H  ->  `' T : ~H -1-1-onto-> ~H )
3 f1ofo 5816 . . . 4  |-  ( `' T : ~H -1-1-onto-> ~H  ->  `' T : ~H -onto-> ~H )
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( T : ~H -1-1-onto-> ~H  ->  `' T : ~H -onto-> ~H )
51, 4syl 16 . 2  |-  ( T  e.  UniOp  ->  `' T : ~H -onto-> ~H )
6 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  T  e.  UniOp
)
7 fof 5788 . . . . . . . 8  |-  ( `' T : ~H -onto-> ~H  ->  `' T : ~H --> ~H )
85, 7syl 16 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  UniOp  ->  `' T : ~H --> ~H )
98ffvelrnda 6014 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  x  e.  ~H )  ->  ( `' T `  x )  e.  ~H )
109adantrr 716 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( `' T `  x )  e.  ~H )
118ffvelrnda 6014 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H )  ->  ( `' T `  y )  e.  ~H )
1211adantrl 715 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( `' T `  y )  e.  ~H )
13 unop 26498 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  ( `' T `  x )  e.  ~H  /\  ( `' T `  y )  e.  ~H )  -> 
( ( T `  ( `' T `  x ) )  .ih  ( T `
 ( `' T `  y ) ) )  =  ( ( `' T `  x ) 
.ih  ( `' T `  y ) ) )
146, 10, 12, 13syl3anc 1223 . . . 4  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( ( T `  ( `' T `  x )
)  .ih  ( T `  ( `' T `  y ) ) )  =  ( ( `' T `  x ) 
.ih  ( `' T `  y ) ) )
15 f1ocnvfv2 6164 . . . . . . 7  |-  ( ( T : ~H -1-1-onto-> ~H  /\  x  e. 
~H )  ->  ( T `  ( `' T `  x )
)  =  x )
1615adantrr 716 . . . . . 6  |-  ( ( T : ~H -1-1-onto-> ~H  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( T `  ( `' T `  x ) )  =  x )
17 f1ocnvfv2 6164 . . . . . . 7  |-  ( ( T : ~H -1-1-onto-> ~H  /\  y  e. 
~H )  ->  ( T `  ( `' T `  y )
)  =  y )
1817adantrl 715 . . . . . 6  |-  ( ( T : ~H -1-1-onto-> ~H  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( T `  ( `' T `  y ) )  =  y )
1916, 18oveq12d 6295 . . . . 5  |-  ( ( T : ~H -1-1-onto-> ~H  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( ( T `  ( `' T `  x ) )  .ih  ( T `
 ( `' T `  y ) ) )  =  ( x  .ih  y ) )
201, 19sylan 471 . . . 4  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( ( T `  ( `' T `  x )
)  .ih  ( T `  ( `' T `  y ) ) )  =  ( x  .ih  y ) )
2114, 20eqtr3d 2505 . . 3  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( ( `' T `  x ) 
.ih  ( `' T `  y ) )  =  ( x  .ih  y
) )
2221ralrimivva 2880 . 2  |-  ( T  e.  UniOp  ->  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( ( `' T `  x ) 
.ih  ( `' T `  y ) )  =  ( x  .ih  y
) )
23 elunop 26455 . 2  |-  ( `' T  e.  UniOp  <->  ( `' T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
( `' T `  x )  .ih  ( `' T `  y ) )  =  ( x 
.ih  y ) ) )
245, 22, 23sylanbrc 664 1  |-  ( T  e.  UniOp  ->  `' T  e.  UniOp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2809   `'ccnv 4993   -->wf 5577   -onto->wfo 5579   -1-1-onto->wf1o 5580   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   ~Hchil 25500    .ih csp 25503   UniOpcuo 25530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-hilex 25580  ax-hfvadd 25581  ax-hvcom 25582  ax-hvass 25583  ax-hv0cl 25584  ax-hvaddid 25585  ax-hfvmul 25586  ax-hvmulid 25587  ax-hvdistr2 25590  ax-hvmul0 25591  ax-hfi 25660  ax-his1 25663  ax-his2 25664  ax-his3 25665  ax-his4 25666
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-2 10585  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-hvsub 25552  df-unop 26426
This theorem is referenced by:  unoplin  26503  unopadj2  26521
  Copyright terms: Public domain W3C validator