HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cnvunop Structured version   Unicode version

Theorem cnvunop 27131
Description: The inverse (converse) of a unitary operator in Hilbert space is unitary. Theorem in [AkhiezerGlazman] p. 72. (Contributed by NM, 22-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
cnvunop  |-  ( T  e.  UniOp  ->  `' T  e.  UniOp )

Proof of Theorem cnvunop
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unopf1o 27129 . . 3  |-  ( T  e.  UniOp  ->  T : ~H
-1-1-onto-> ~H )
2 f1ocnv 5765 . . . 4  |-  ( T : ~H -1-1-onto-> ~H  ->  `' T : ~H -1-1-onto-> ~H )
3 f1ofo 5760 . . . 4  |-  ( `' T : ~H -1-1-onto-> ~H  ->  `' T : ~H -onto-> ~H )
42, 3syl 17 . . 3  |-  ( T : ~H -1-1-onto-> ~H  ->  `' T : ~H -onto-> ~H )
51, 4syl 17 . 2  |-  ( T  e.  UniOp  ->  `' T : ~H -onto-> ~H )
6 simpl 455 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  T  e.  UniOp
)
7 fof 5732 . . . . . . . 8  |-  ( `' T : ~H -onto-> ~H  ->  `' T : ~H --> ~H )
85, 7syl 17 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  UniOp  ->  `' T : ~H --> ~H )
98ffvelrnda 5963 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  x  e.  ~H )  ->  ( `' T `  x )  e.  ~H )
109adantrr 715 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( `' T `  x )  e.  ~H )
118ffvelrnda 5963 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H )  ->  ( `' T `  y )  e.  ~H )
1211adantrl 714 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( `' T `  y )  e.  ~H )
13 unop 27128 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  ( `' T `  x )  e.  ~H  /\  ( `' T `  y )  e.  ~H )  -> 
( ( T `  ( `' T `  x ) )  .ih  ( T `
 ( `' T `  y ) ) )  =  ( ( `' T `  x ) 
.ih  ( `' T `  y ) ) )
146, 10, 12, 13syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( ( T `  ( `' T `  x )
)  .ih  ( T `  ( `' T `  y ) ) )  =  ( ( `' T `  x ) 
.ih  ( `' T `  y ) ) )
15 f1ocnvfv2 6118 . . . . . . 7  |-  ( ( T : ~H -1-1-onto-> ~H  /\  x  e. 
~H )  ->  ( T `  ( `' T `  x )
)  =  x )
1615adantrr 715 . . . . . 6  |-  ( ( T : ~H -1-1-onto-> ~H  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( T `  ( `' T `  x ) )  =  x )
17 f1ocnvfv2 6118 . . . . . . 7  |-  ( ( T : ~H -1-1-onto-> ~H  /\  y  e. 
~H )  ->  ( T `  ( `' T `  y )
)  =  y )
1817adantrl 714 . . . . . 6  |-  ( ( T : ~H -1-1-onto-> ~H  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( T `  ( `' T `  y ) )  =  y )
1916, 18oveq12d 6250 . . . . 5  |-  ( ( T : ~H -1-1-onto-> ~H  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( ( T `  ( `' T `  x ) )  .ih  ( T `
 ( `' T `  y ) ) )  =  ( x  .ih  y ) )
201, 19sylan 469 . . . 4  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( ( T `  ( `' T `  x )
)  .ih  ( T `  ( `' T `  y ) ) )  =  ( x  .ih  y ) )
2114, 20eqtr3d 2443 . . 3  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( ( `' T `  x ) 
.ih  ( `' T `  y ) )  =  ( x  .ih  y
) )
2221ralrimivva 2822 . 2  |-  ( T  e.  UniOp  ->  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( ( `' T `  x ) 
.ih  ( `' T `  y ) )  =  ( x  .ih  y
) )
23 elunop 27085 . 2  |-  ( `' T  e.  UniOp  <->  ( `' T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
( `' T `  x )  .ih  ( `' T `  y ) )  =  ( x 
.ih  y ) ) )
245, 22, 23sylanbrc 662 1  |-  ( T  e.  UniOp  ->  `' T  e.  UniOp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1403    e. wcel 1840   A.wral 2751   `'ccnv 4939   -->wf 5519   -onto->wfo 5521   -1-1-onto->wf1o 5522   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   ~Hchil 26131    .ih csp 26134   UniOpcuo 26161
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517  ax-hilex 26211  ax-hfvadd 26212  ax-hvcom 26213  ax-hvass 26214  ax-hv0cl 26215  ax-hvaddid 26216  ax-hfvmul 26217  ax-hvmulid 26218  ax-hvdistr2 26221  ax-hvmul0 26222  ax-hfi 26291  ax-his1 26294  ax-his2 26295  ax-his3 26296  ax-his4 26297
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-op 3976  df-uni 4189  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-er 7266  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-div 10166  df-2 10553  df-cj 12986  df-re 12987  df-im 12988  df-hvsub 26183  df-unop 27056
This theorem is referenced by:  unoplin  27133  unopadj2  27151
  Copyright terms: Public domain W3C validator