MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnvuni Structured version   Unicode version

Theorem cnvuni 5102
Description: The converse of a class union is the (indexed) union of the converses of its members. (Contributed by NM, 11-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
cnvuni  |-  `' U. A  =  U_ x  e.  A  `' x
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem cnvuni
Dummy variables  y 
z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elcnv2 5093 . . . 4  |-  ( y  e.  `' U. A  <->  E. z E. w ( y  =  <. z ,  w >.  /\  <. w ,  z >.  e.  U. A ) )
2 eluni2 4167 . . . . . . 7  |-  ( <.
w ,  z >.  e.  U. A  <->  E. x  e.  A  <. w ,  z >.  e.  x
)
32anbi2i 692 . . . . . 6  |-  ( ( y  =  <. z ,  w >.  /\  <. w ,  z >.  e.  U. A )  <->  ( y  =  <. z ,  w >.  /\  E. x  e.  A  <. w ,  z
>.  e.  x ) )
4 r19.42v 2937 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  ( y  =  <. z ,  w >.  /\  <. w ,  z >.  e.  x
)  <->  ( y  = 
<. z ,  w >.  /\ 
E. x  e.  A  <. w ,  z >.  e.  x ) )
53, 4bitr4i 252 . . . . 5  |-  ( ( y  =  <. z ,  w >.  /\  <. w ,  z >.  e.  U. A )  <->  E. x  e.  A  ( y  =  <. z ,  w >.  /\  <. w ,  z
>.  e.  x ) )
652exbii 1676 . . . 4  |-  ( E. z E. w ( y  =  <. z ,  w >.  /\  <. w ,  z >.  e.  U. A )  <->  E. z E. w E. x  e.  A  ( y  = 
<. z ,  w >.  /\ 
<. w ,  z >.  e.  x ) )
7 elcnv2 5093 . . . . . 6  |-  ( y  e.  `' x  <->  E. z E. w ( y  = 
<. z ,  w >.  /\ 
<. w ,  z >.  e.  x ) )
87rexbii 2884 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  y  e.  `' x  <->  E. x  e.  A  E. z E. w ( y  = 
<. z ,  w >.  /\ 
<. w ,  z >.  e.  x ) )
9 rexcom4 3054 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  E. z E. w ( y  =  <. z ,  w >.  /\  <. w ,  z
>.  e.  x )  <->  E. z E. x  e.  A  E. w ( y  = 
<. z ,  w >.  /\ 
<. w ,  z >.  e.  x ) )
10 rexcom4 3054 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  E. w ( y  = 
<. z ,  w >.  /\ 
<. w ,  z >.  e.  x )  <->  E. w E. x  e.  A  ( y  =  <. z ,  w >.  /\  <. w ,  z >.  e.  x
) )
1110exbii 1675 . . . . 5  |-  ( E. z E. x  e.  A  E. w ( y  =  <. z ,  w >.  /\  <. w ,  z >.  e.  x
)  <->  E. z E. w E. x  e.  A  ( y  =  <. z ,  w >.  /\  <. w ,  z >.  e.  x
) )
128, 9, 113bitrri 272 . . . 4  |-  ( E. z E. w E. x  e.  A  (
y  =  <. z ,  w >.  /\  <. w ,  z >.  e.  x
)  <->  E. x  e.  A  y  e.  `' x
)
131, 6, 123bitri 271 . . 3  |-  ( y  e.  `' U. A  <->  E. x  e.  A  y  e.  `' x )
14 eliun 4248 . . 3  |-  ( y  e.  U_ x  e.  A  `' x  <->  E. x  e.  A  y  e.  `' x )
1513, 14bitr4i 252 . 2  |-  ( y  e.  `' U. A  <->  y  e.  U_ x  e.  A  `' x )
1615eqriv 2378 1  |-  `' U. A  =  U_ x  e.  A  `' x
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 367    = wceq 1399   E.wex 1620    e. wcel 1826   E.wrex 2733   <.cop 3950   U.cuni 4163   U_ciun 4243   `'ccnv 4912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pr 4601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-v 3036  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-cnv 4921
This theorem is referenced by:  funcnvuni  6652
  Copyright terms: Public domain W3C validator