MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnvuni Structured version   Unicode version

Theorem cnvuni 4983
Description: The converse of a class union is the (indexed) union of the converses of its members. (Contributed by NM, 11-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
cnvuni  |-  `' U. A  =  U_ x  e.  A  `' x
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem cnvuni
Dummy variables  y 
z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elcnv2 4974 . . . 4  |-  ( y  e.  `' U. A  <->  E. z E. w ( y  =  <. z ,  w >.  /\  <. w ,  z >.  e.  U. A ) )
2 eluni2 4166 . . . . . . 7  |-  ( <.
w ,  z >.  e.  U. A  <->  E. x  e.  A  <. w ,  z >.  e.  x
)
32anbi2i 698 . . . . . 6  |-  ( ( y  =  <. z ,  w >.  /\  <. w ,  z >.  e.  U. A )  <->  ( y  =  <. z ,  w >.  /\  E. x  e.  A  <. w ,  z
>.  e.  x ) )
4 r19.42v 2922 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  ( y  =  <. z ,  w >.  /\  <. w ,  z >.  e.  x
)  <->  ( y  = 
<. z ,  w >.  /\ 
E. x  e.  A  <. w ,  z >.  e.  x ) )
53, 4bitr4i 255 . . . . 5  |-  ( ( y  =  <. z ,  w >.  /\  <. w ,  z >.  e.  U. A )  <->  E. x  e.  A  ( y  =  <. z ,  w >.  /\  <. w ,  z
>.  e.  x ) )
652exbii 1713 . . . 4  |-  ( E. z E. w ( y  =  <. z ,  w >.  /\  <. w ,  z >.  e.  U. A )  <->  E. z E. w E. x  e.  A  ( y  = 
<. z ,  w >.  /\ 
<. w ,  z >.  e.  x ) )
7 elcnv2 4974 . . . . . 6  |-  ( y  e.  `' x  <->  E. z E. w ( y  = 
<. z ,  w >.  /\ 
<. w ,  z >.  e.  x ) )
87rexbii 2866 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  y  e.  `' x  <->  E. x  e.  A  E. z E. w ( y  = 
<. z ,  w >.  /\ 
<. w ,  z >.  e.  x ) )
9 rexcom4 3043 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  E. z E. w ( y  =  <. z ,  w >.  /\  <. w ,  z
>.  e.  x )  <->  E. z E. x  e.  A  E. w ( y  = 
<. z ,  w >.  /\ 
<. w ,  z >.  e.  x ) )
10 rexcom4 3043 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  E. w ( y  = 
<. z ,  w >.  /\ 
<. w ,  z >.  e.  x )  <->  E. w E. x  e.  A  ( y  =  <. z ,  w >.  /\  <. w ,  z >.  e.  x
) )
1110exbii 1712 . . . . 5  |-  ( E. z E. x  e.  A  E. w ( y  =  <. z ,  w >.  /\  <. w ,  z >.  e.  x
)  <->  E. z E. w E. x  e.  A  ( y  =  <. z ,  w >.  /\  <. w ,  z >.  e.  x
) )
128, 9, 113bitrri 275 . . . 4  |-  ( E. z E. w E. x  e.  A  (
y  =  <. z ,  w >.  /\  <. w ,  z >.  e.  x
)  <->  E. x  e.  A  y  e.  `' x
)
131, 6, 123bitri 274 . . 3  |-  ( y  e.  `' U. A  <->  E. x  e.  A  y  e.  `' x )
14 eliun 4247 . . 3  |-  ( y  e.  U_ x  e.  A  `' x  <->  E. x  e.  A  y  e.  `' x )
1513, 14bitr4i 255 . 2  |-  ( y  e.  `' U. A  <->  y  e.  U_ x  e.  A  `' x )
1615eqriv 2425 1  |-  `' U. A  =  U_ x  e.  A  `' x
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 370    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872   E.wrex 2715   <.cop 3947   U.cuni 4162   U_ciun 4242   `'ccnv 4795
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pr 4603
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-v 3024  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-nul 3705  df-if 3855  df-sn 3942  df-pr 3944  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-cnv 4804
This theorem is referenced by:  funcnvuni  6704
  Copyright terms: Public domain W3C validator